Выступил Лев Суханов, с докладом о голоморфных римановых многообразиях, по статье Думитреску и Зегиба "Global rigidity of holomorphic Riemannian metrics on compact complex 3-manifolds", и Миша Вербицкий, с рассказом о том, как строить теорию Ходжа с помощью супералгебр Ли.
Перед этим, Миша Вербицкий выступит с кратким докладом "Гипотеза Фаррелла-Джонса", по статье W. Lueck "K- and L-theory of group rings", с обзором открытых вопросов и результатов топологической К-теории и геометрической теории групп.
I will talk about new methods that use representation theory of real reductive groups to give some highly non-trivial estimates of periods of automorphic functions. I will also try to explain why these estimates are important in number theory. The talk will be essentially elementary - I will deal only with representations of the group SL(2,R).
Также Миша Вербицкий расскажет о работе Громова
"Almost flat manifold" (почти плоские многообразия).
Теорема Громова о почти плоских многообразиях
утверждает, что для любого n найдется \epsilon
такое, что любое компактное n-многообразие M
с диаметром D и секционной кривизной, всюду
ограниченной по модулю числом $D^{-2}\epsilon$,
диффеоморфно нильмногообразию, то есть фактору
R^n по нильпотентной группе. Эта теорема является
обобщением теоремы Бибербаха ("проблемы Гильберта
18") о кристаллографических группах.
Происходящее тематически связано с тем, что обсуждалось
на прошлой лекции, но логически не связано, и
должно быть понятно студентам, которые слыхали
про связности и кривизну риманова многообразия.
Также, Миша Вербицкий выступил с сообщением "Вариации структур Ходжа, поля Хиггса и явная конструкция униформизации по Симпсону"
Будет рассказано про то, как строить смешанную структуру Ходжа на когомологиях и на мальцевском пополнении фундаментальной группы алгебраического многообразия. В качестве приложения будет получена теорема Торелли для некомпактной алгебраической кривой, которая говорит, что кривая однозначно задается своей смешанной структурой Ходжа. Доклад рассчитан на студентов 2-3 курса и старше.
Дима Каледин продолжит рассказ о смешанных структурах Ходжа и теореме Торелли.
Метрика Кобаяши и лемма Броди (Миша Вербицкий):
Метрика Кобаяши есть каноническая финслерова псевдометрика, которая определяется геометрией комплексного многообразия. Я расскажу ее определение, и докажу лемму Броди, из которой следует, что метрика Кобаяши непрерывно меняется в семействах многообразий, если она положительна.
L^2-техника Хёрмандера и теорема Сью о продолжении положительных голоморфных расслоений (Всеволод Шевчишин):
L^2-техника Хёрмандера (Hormander) является одним из самых сильных инструментов в комплексном анализе. Я сделаю краткий обзор этой теорииm а также (сформулирую и) докажу теорему Сью (Y.-T. Siu) о продолжении голоморфных векторных расслоений с положительной кривизной. Кроме того, будут рассмотены тождества типа Акицуки-Накано-Бохнера-Кодаиры-... о соотношениях между операторами $\part$ и $\dbar$ и их Лапласианами, а также обобщение оных на случай голоморфных векторных расслоений.
Пространства Берковича и аналитическая геометрия над неархимедовыми полями (Дмитрий Кубрак):
Если $X$ алгебраическое многообразие над $\mathbb C$, то ему естественным образом соответствует комплексное многообразие $X^{an}$. Польза от выхода в аналитическую категорию из алгебраической неоценима, и пространства Берковича --- это попытка заменить объекты аналитической категории в случае схем над неархимедовыми полями ($\mathbb Q_p$, $\mathbb k((t))$). Я расскажу их определение, конструкцию спектра Берковича и о GAGA-функторе в этом контексте. Также в процессе постараюсь рассказать о применениях.
L^2-техника Хёрмандера и теорема Сью о продолжении положительных голоморфных расслоений (Всеволод Шевчишин):
L^2-техника Хёрмандера (Hormander) является одним из самых сильных инструментов в комплексном анализе. Я сделаю краткий обзор этой теорииm а также (сформулирую и) докажу теорему Сью (Y.-T. Siu) о продолжении голоморфных векторных расслоений с положительной кривизной. Кроме того, будут рассмотены тождества типа Акицуки-Накано-Бохнера-Кодаиры-... о соотношениях между операторами $\part$ и $\dbar$ и их Лапласианами, а также обобщение оных на случай голоморфных векторных расслоений.
Википедия: Тhe Duistermaat-Heckman formula, due to Duistermaat and Heckman (1982), states that the pushforward of the canonical (Liouville) measure on a symplectic manifold under the moment map is a piecewise polynomial measure. Atiyah & Bott (1984) showed how to deduce the Duistermaat-Heckman formula from a localization theorem for equivariant cohomology.
Саша Ананьин, "Голоморфное сечение"
Речь пойдёт о кэлеровых многообразиях с топологией тотального пространства расслоения на открытые диски над поверхностью и голоморфным 2-шаром в качестве универсального накрытия. Есть способ строить такие многообразия в больших количествах. По неизвестной науке причине, все так построенные примеры удовлетворяют соотношению $2(e+\chi)=3\tau$, где $\chi$ --- эйлерова характеристика базы расслоения, $e$ --- число Эйлера расслоения и $\tau$ --- инвариант Толедо соответствующего представления фундаментальной группы. Гипотеза, объясняющая это странное явление: каждый (или хотя бы один) из упомянутых примеров допускает структуру расслоения имеющую голоморфное сечение.
Миша Вербицкий расскажет об иррегулярных сасакиево-эйнштейновых многообразиях: "Гипотеза Мартелли-Спаркса-Яу и алгебраичность объемов сасакиевых многообразий"
Контактные многообразия суть многообразия, конус которых имеет автоморфную относительно гомотетий симплектическую структуру. Аналог этого понятия в комплексной геометрии называется сасакиево многообразие (Sasakian manifold). Сасакиевы многообразия суть многообразия, конус над которыми снабжен автоморфной кэлеровой структурой. Довольно долго считалось, что все эйнштейновы многообразия Сасаки регулярны, то есть изоморфны положительным S^1-расслоениям над проективной базой, но в 2005-м физики обнаружили много неожиданных примеров иррегулярных эйнштейновых сасакиевых многообразий. Мартелли-Спаркс-Яу ( http://arxiv.org/abs/hep-th/0603021 ) установили, что функционал объема сасакиева многообразия есть действие Эйнштейна-Гильберта. С помощью формулы Дюйстермаата-Хекмана, Мартелли-Спаркс-Яу доказали, что объем эйнштейнова многообразия Сасаки - алгебраическое число, и сформулировали гипотезу (доселе не доказанную) о степени этого числа. Доклад рассчитан на студентов, и будет понятен тем слушателям, кто знает, что такое кэлерово многообразие.
Мультипликаторный идеал связан с особой метрикой на расслоении; это идеал, порожденный всеми сечениями с интегрируемым квадратом. Я расскажу, что такое особая метрика, и дам определение мультипликаторного идеала. Теорема Наделя о занулении когомологий это обобщение теоремы Кодаиры-Накано; она доказывается точно так же, как теорема Кодаиры-Накано, но ее утверждение много сильнее, и позволяет доказывать многие классические теоремы алгебраической геометрии гораздо проще. Лекция должна быть доступна студентам, владеющим основами комплексного анализа (плюрисубгармонические функции, пучки, когомологии).
Андрей Солдатенков - "Мультипликаторные идеалы и особенности тэта-дивизора"
Мультипликаторные идеалы в алгебро-геометрическом контексте придумал Надель, хотя до него нечто подобное появлялось у Кона (J.J. Kohn) при изучении \bar\partial-задачи Неймана. Мультипликаторные идеалы оказались очень удобным инструментом для характеризации особенностей различных геометрических объектов (дивизоров, линейных систем и т.д.). В частности, они весьма активно используются в работах последних лет по программе минимальных моделей и всему что с ней связано (Hacon-McKernan-Siu-Demailly et. al.). Я расскажу про мультипликаторные идеалы и их основные свойства и в качестве иллюстрации докажу теорему Коллара про особенности тэта-дивизора. Если останется время, то я скажу пару слов про идею доказательства теоремы Сиу об инвариантности плюриродов (все это по статье Lazarsfeld "A short course on multiplier ideals").
Теорема о вырождении спектральной последовательности Ходжа-де Рама это чисто алгебраическое утверждение, но долгое время единственное известное доказательство использовало трансцедентные методы (собственно теорию Ходжа). Чисто алгебраическое доказательство было дано в 1987 году Делинем и Иллюзи. Оно работает через сведение в положительную характеристику. Я немного расскажу вообще о том, как устроен комплекс де Рама в положительной характеристике -- вкратце, там есть все то же, что и характеристике 0, плюс полезные дополнительные структуры -- а затем перескажу доказательство Делиня-Иллюзи.
Я вкратце объясню, что такое кристальные когомологии, как они связаны с когомологиями де Рама, и как их вычислять с помощью комплекса де Рама-Витта (введенного Делинем и Иллюзи).
Я расскажу про то, какое отношение формальные группы имеют к топологии, конкретно, попытаюсь объяснить, откуда взялся манифест (точного утверждения там нет) "ориентированная когомологическая теория - это когерентный пучок над стеком модулей формальных групп". Подозреваю, что доказать получится не очень много, но я хотя бы постараюсь объяснить все слова. Доклад начнётся с определения спектра.
Пусть G -- группа Ли, а \Gamma - дискретная подгруппа в G. \Gamma называется решеткой, если фактор G/\Gamma имеет конечный объем относительно меры Хаара. Теория Ратнер изучает действия погрупп H\subset G на факторе G/\Gamma, где H -- подгруппа G, порожденная идемпотентами. Из нее следует, что замыкание орбиты H -- всегда орбита большей подгруппы, тоже порожденной идемпотентами.
Миша Вербицкий, "Теорема Ратнер и пространства модулей"
Я расскажу о том, как применять теорему Ратнер в алгебраической геометрии, на примере пространства модулей K3-поверхностей. Я выведу из нее простое доказательство того факта, что метрика Кобаяши на неалгебраических K3 равна нулю. Знание алгебраической геометрии не предполагается, все, что нужно (по модулю многообразий) я расскажу по ходу.
Следуя работе МакМуллена "Dynamics on K3 surfaces: Salem numbers and Siegel disks" я расскажу об автоморфизмах поверхностех K3 с дисками Зигеля. Для этого в начале речь будет идти об автоморфизмах K3 и числах Сэлема. Если получится, то будет рассказано о применениях теоремы о существовании автоморфизмов с дисками Зигеля для изучения дифференциальной геометрии K3.
Я планирую изложить введение в технику исключительных наборов и полуортогональных разложений в производной категории (что является достаточно общей и мощной технологией) и, во второй части доклада рассказать промежуточный результат моей дипломной работы - тип расщепления исключительных расслоений состоит из линейных расслоений с двумя соседними степенями.
От слушателей предполагается базовое знакомство с теорией алгебраических векторных расслоений и с определениями когомологий пучков, однако дополнительные знания гомологической алгебры также приветствуются.
In this talk, we will introduce the notion of extremal almost-Kahler metrics. These metrics appear as a natural generalization of Calabi extremal Kahler metrics to the symplectic case. We give examples of such metrics, look to obstructions of their existence and also study their deformations.
Gueo Grantcharov (Florida International University), Split signature metrics on complex surfaces.
I'll consider a quaternionic-like structures on complex surfaces which we called para hypercomplex. A complex surface with such struture has torsion first Chern class and many of these surfaces admit such structures. The structure is also related to a split signature metrics.
Я расскажу (по крайней мере, начну рассказывать) про теорему Пападимы и Юзвинского о том, что для формального топологического пространства кошулевость алгебры когомологий над Q равносильна рациональной асферичности этого пространства.
Миша Вербицкий, "Калибрации на многообразиях и теория потенциала"
Калибрация есть замкнутая k-форма на многообразии, принимающая на каждом k-векторе значение, не превосходящее риманова объема. Калиброванное k-мерное подмногообразие есть такое, риманов объем которого равен калибрации. Это понятие введено Харви и Лоусоном в 1982-м году, и остается центральным в дифференциальной геометрии. Я расскажу про калибрации, приведу примеры, и объясню схему доказательства формальности кэлеровых многообразий в формате, который обобщается на многообразия с калибрациями.
Группа Кузена это связная комплексная группа Ли, не допускающая непостоянных голоморфных функций. Можно доказать, что группы Кузена получаются как факторы C^n по дискретным абелевым подгруппам. Я расскажу о работе Кузена 1910-го года, где эти группы были определены, и современном доказательстве теоремы Кузена, принадлежащем Хакльберри и Маргулису. Литература: A. T. Huckleberry and G. A. Margulis, Invariant analytic hypersurfaces, Inventiones Mathematicae 71 (1983), no. 1, 235-240.
Всеволод Шевчишин, О лагранжевых вложениях в бутылки Клейна
Будет рассказана теорема о несуществовании лагранжевого вложения бутылки Клейна в CP^2.
Пространства твисторов суть комплексные многообразия, ассоциированные с рядом геометрических объектов: римановыми многообразиями, гиперкэлеровыми многообразиями, гиперкомплексными многообразиями, кватернионно-кэлеровыми многообразиями и некоторыми другими. Пространства твисторов обыкновенно неалгебраические и даже некэлеровы, зато на них очень много рациональных кривых. Я расскажу конструкцию пространства твисторов, и объясню, как можно алгебро-геометрическими методами (с помощью рациональных кривых) изучать симплектические структуры на пространствах твисторов. В частности, я расскажу, почему пространства твисторов не допускают эрмитовой симплектической структуры. Литература: "Rational curves and special metrics on twistor spaces".
Григорий Папаянов, "dd^c-лемма для симплектических эрмитовых многообразий"
Эрмитова симплектическая форма на комплексном многообразии $(M,I)$ есть симплектическая форма, которая удовлетворяет $\omega(x,Ix)>0$ для любого ненулевого касательного вектора $х$. Я докажу dd^c-лемму для таких многообразий. Из нее следует, что существование эрмитовой симплектической структуры приводит к сильным ограничениям на топологию многообразия, примерно тем же самым, которые накладываются кэлеровой структурой.
We will introduce generalized geometry (in the sense of Hitchin), and construct twistor spaces in this setting. The usual twistor space construction starts with an S^2-family of complex structures on a hyperkahler manifold M, and assembles them into a complex structure on S^2xM. For the generalized twistor construction we describe an S^2xS^2-family of generalized complex structures on M, and show that they can be combined to give a generalized complex structure on S^2xS^2xM.
Я опишу спинорное представление для группы Spin(n,n), расскажу про derived brackets (производные скобки), определю обобщенные комплексные структуры, чистые спиноры, и докажу, что замкнутая форма задает обобщенную комплексную структуру, если она является чистым спинором для Spin(n,n). Рассказ будет понятен для студентов, знакомых с основами линейной алгебры и дифференциальными формами.
Никон Курносов, "Инвариант Футаки"
Инвариант Футаки является препятствием к существованию метрики Кэлера-Эйнштейна на многообразиях Фано. Он задается как линейная форма на алгебре Ли голоморфных векторных полей на многообразии. Я определю инвариант Футаки, и докажу, что он является препятствием.
В группе диффеоморфизмов какого-нибудь многообразия X есть очевидная нормальная подгруппа Т связная компонента единицы. Существует странный факт: эта компонента связности Т- простая группа. Я постараюсь рассказать его доказательство, придуманное Терстоном. В докладе, возможно, будут какие-то черные ящики, в которых я не разобрался, но все равно осталось довольно много интересного и нетривиального.
Misha Verbitsky, Flux conjectures and group of symplectomorphisms
Гипотеза о флюксе (flux conjecture) утверждает, что группа гамильтоновых диффеоморфизмов замкнута в группе симплектоморфизмов. Эта гипотеза доказана в C^1-случае Каору Оно; C^0-замкнутость до сих пор не доказана. Я расскажу несколько элементарных сюжетов вокруг этой гипотезы, по работам Баньяги, а также "On the Flux Conjectures" (Lalonde, McDuff, Polterovich). Лекция должна быть понятна студентам, знакомым с понятием симплектического многообразия.
Используя известные факты о диффеоморфизмах тора, мы расскажем, почему группа диффеоморфизмов R^n совпадает со своим коммутантом. Из этого выводится простота группы диффеоморфизмов многообразия.
Всеволод Шевчишин, "О группе симплектоморфизмов CP^2".
Следуя Громову, мы опишем гомотопический тип группы симплектоморфизмов проективной плоскости. Будет доказано, что эта группа гомотопически эквивалентна группе линейных автоморфизмов.
Андрей Солдатенков расскажет о том, что такое голоморфно симплектическое (гиперкэлерово) многообразие, какие бывают примеры таких многообразий, а также об одном из их важнейших свойств - существовании невырожденной квадратичной формы на вторых когомологиях - формы Бовиля-Богомолова.
Всеволод Шевчишин расскажет про оценки на числа Бетти для гиперкэлеровых многообразий размерности четыре, по статье Guan, On the Betti numbers of irreducible compact hyperkahler manifolds of complex dimension four.
В докладе я расскажу о группах порожденных отражениями (конечных, аффинных и гиперболических), а также об основных понятиях с ними связанных. Также будет рассказано о простом доказательстве теоремы Вальдшпургера (придуманным совместно с П.В.Бибиковым) --- теореме которая должна была быть известна классикам таким как Шевалле, Кокстер, однако была придумана лишь в 2007г. Эта теорема утверждает следующее. Если С --- камера Вейля а С^ двойственный в ней конус, то С^ является дизъюнктным объединением конусов вида (1-w)C\circ, где w пробегает все элементы группы Вейля, а C\circ --- внутренность камеры Вейля. Для понимания доклада никаких предварительных знаний не требуется.
Андрей Солдатенков, "Соотношения Фуджики для гиперкэлеровых многообразий"
В качестве продолжения моего доклада в прошлый четверг я объясню, как доказать соотношения Фуджики для формы Бовиля-Богомолова на гиперкэлеровом многообразии.
Следуя работе D. Kotschick, S. Schreieder The Hodge ring of Kaehler manifolds, я расскажу о структуре кольца Ходжа. Используя идеалы этого кольца, мы увидим, какие линейные комбинации чисел Ходжа бирационально инвариантны, а какие являются топологическими инвариантами. Сама задача топологической инвариантности чисел Ходжа - давняя задача Хирцебруха. Авторам удалось полностью её решить, используя линейные комбинации чисел Ходжа и классов Черна.
Миша Вербицкий, "3-мерные кэлеровы многообразия, не имеющие нетривиальных подмногообразий"
Я расскажу доказательство следующей теоремы (Campana, Demailly, Verbitsky). Пусть M - компактное, кэлерово 3-мерное многообразие, не имеющие нетривиальных комплексных подмногообразий. Тогда это тор.
Я расскажу о применении CAT-геометрии к задачам теории модулей.
CAT-пространство есть геодезическое метрическое пространство
с ограничениями на кривизну, полученными из условия сравнения
треугольников. CAT-пространство с неположительной кривизной
является асферическим (то есть его накрытие стягиваемо).
Используя это соображение, Дэниел Оллкок (Daniel Allcock)
доказал асферичность пространства модулей поверхостей Энриквеса.
Я буду следовать статьям
The period lattice for Enriques surfaces,
Asphericity of moduli spaces via curvature.
Для понимания доклада не нужно ничего, кроме базовых
знаний из алгебраической геометрии и топологии
(комплексные многообразия, когомологии де Рама,
К3 поверхности).
Андрей Солдатенков, "Пространство модулей кубических поверхностей".
Следуя работе Allcock, Carlson, Toledo "The complex hyperbolic geometry of the moduli space of cubic surfaces", я опишу пространство модулей кубических поверхностей в P^3. Структура Ходжа на когомологиях кубической поверхности тривиальна и не несет никакой информации о поверхности. Но можно рассмотреть трехлистное накрытие P^3, разветвленное в данной поверхности, получив при этом кубический трифолд в P^4. Для кубических трифолдов имеется теорема Торелли, доказанная Клеменсом и Гриффитсом, которая позволяет восстановить трифолд по поляризованной структуре Ходжа на третьих когомологиях. С помощью этой конструкции Аллкок, Карлсон и Толедо строят отображение периодов для маркированных кубических поверхностей, образом которого является дополнение к семейству гиперплоскостей в четырехмерном шаре. Я опишу данную конструкцию и постараюсь (на сколько позволит время) доказать некоторые свойства отображения периодов.
Доклад посвящен спектральной геометрии, разделу дифференциальной геометрии, занимающемуся спектром оператора Лапласа на многообразиях. Мы ограничимся случаем компактных поверхностей и разберем экстремальные свойства собственных значений, их связь с минимальными подмногообразиями в сферах, в частности, гипотезами Яу и Лоусона.
Григорий Папаянов, "Пространство твисторов кватернионно-кэлеровых многообразий".
Раздутие в гладком подмногообразии легко определить и в том случае, когда оба многообразия просто вещественно гладкие, без всякой алгебры. Получается что-то вроде хирургии. Я докажу (по статье Г. Михалкина "Blow-up Equivalence of Smooth Closed Manifolds"), что из любого n-мерного компактного гладкого многообразия раздутиями и сдутиями в гладких подмногообразиях можно получить любое другое. Будет много геометрических рассуждений в духе базовой дифференциальной топологии, а еще используются некоторые факты из вещественной алгебраической геометрии. Нужно представлять себе, что такое кобордизм и хирургия, а еще необходимо не в первый раз слышать про раздутия (то есть, видимо, нужно быть знакомым с алгебраической геометрией).
Всеволод Шевчишин, "Лагранжевы поверхности в симплектических пучках Лефшеца"
Знакомство содержанием части I не предполагается: я вкратце повторю то, что рассказал до этого.
Гладкое многообразие называется формальным, если его алгебра де Рама - формальная дифференциальная градуированная алгебра (dga). Общее многообразие не является формальным, однако таковыми являются некоторые интересные классы многообразий, например компактные кэлеровы многообразия. Я расскажу о формальности многообразий и докажу, что всякое компактное кэлерово многообразие является формальным (все необходимые сведения из кэлеровой геометрии и теории dga я сообщу).
Артур Томберг, "Гиперкомплексные структуры на однородных пространствах".
В статье "Compact hypercomplex and quaternionic manifolds" Д. Джойс описывает построение гиперкомплексных и кватернионных структур на компактных многообразиях двумя разными способами: с помощью структурной теории алгебр Ли на однородных многообразиях и как фактор по действию групп Ли некоторых главных расслоений со связностью. Я постараюсь изложить оба подхода и описать простейшие примеры этих конструкций.
S-\Lambda двойственность - это утверждение об эквивалентности некоторых производных категорий. Его доказательство - один из шагов в доказательстве теоремы, устанавливающей связь между категорией пучков на проективизации некоторого конечномерного векторного пространства и категорией модулей над внешней алгеброй этого пространства. В этот четверг будет рассказана алгебраическая часть (собственно S-\Lambda двойственность). Изложение планируется сделать понятным (в частности, будет дано определение производной категории), однако с неизбежностью будут использоваться некоторые чёрные ящики. От слушателей желательно знакомство с языком категорий и готовность поверить в несколько алгебраических утверждений.
Никон Курносов, "Кольцо Ходжа кэлеровых многообразий"
Следуя работе D. Kotschick, S. Schreieder The Hodge ring of Kaehler manifolds, я расскажу о структуре кольца Ходжа. Используя идеалы этого кольца, мы увидим, какие линейные комбинации чисел Ходжа бирационально инвариантны, а какие являются топологическими инвариантами. Сама задача топологической инвариантности чисел Ходжа - давняя задача Хирцебруха. Авторам удалось полностью её решить, используя линейные комбинации чисел Ходжа и классов Черна.
Группа Кремоны Cr(2) есть группа всех бирациональных автоморфизмов CP^2. В 2010-м году Серж Канта и Стефан Лами доказали, что Cr(2) не проста (содержит нормальные подгруппы): http://arxiv.org/abs/1007.0895 Доказательство, которое стало одним из важнейших результатов бирациональной геометрии последних лет, следует такой стратегии. Канта и Лами доказывают, что группа Cr(2) действует изометриями на пространстве Пикара-Манина (пределе H^2(M) для разных раздутий M \arrow CP^2), и на гиперболоиде в этом пространстве, который гиперболичен по Громову. Они доказывают, что для любой группы G с малыми сокращениями, действующей изометриями на пространстве Пикара-Манина, и содержащей изометрию определенного типа, у G есть нормальные подгруппы. Я расскажу про основные понятия теории пространств, гиперболических по Громову, и каким образом Канта и Лами применили их к изучению группы Кремоны. Никаких знаний помимо первого курса (метрические пространства, когомологии де Рама) не потребуется.
Григорий Папаянов, "Метрики, для которых произведение гармонических форм гармонично".
Наличие на гладком многообразии метрики, для которой произведение гармонических форм гармонично, называется геометрической формальностью. Геометрическая формальность многообразия влечёт за собой обычную формальность (в смысле рациональной теории гомотопий) и на самом деле накладывает куда более сильные ограничения на когомологии - например, среди римановых поверхностей геометрически формальными являются только сфера и тор, в то время как просто формальными - все. Дитер Котщик в статье "On products of harmonic forms" (arXiv:math/0004009) высказал (и доказал в размерностях, меньших пяти) гипотезу о том, что вещественные когомологии геометрически формальных многообразий такие же, как и у компактных глобально симметричных пространств. Мы разберём эту статью.
Рене Том придумал способ строить по векторному расслоению E -> B пространство M(E), которое обладает многими приятными свойствами. Его когомологии изоморфны сдвинутым когомологиям B (изоморфизм Тома). Пространства Тома помогают изучать характеристические классы, тесно связаны с кобордизмами, и сводят некоторые вопросы про многообразия к вопросам из гомотопической топологии. Для понимания доклада достаточно понимать все слова в этом анонсе.
Дмитрий Пирожков, "Кольцо неориентированных кобордизмов"
В первой части задача классификации многообразий с точностью до неориентированного кобордизма свелась к вычислению гомотопических групп пространств Тома. Я расскажу, как Том в 1958 году их сосчитал. Нужно знать стандартную алгебраическую топологию (алгебра Стинрода, классифицирующие пространства, классы Штифеля-Уитни). Несмотря на это, доказательство в основном состоит из манипуляций с симметрическими многочленами. Попутно докажем, что любой класс Z/2Z-гомологий является образом фундаментального класса при отображении из гладкого многообразия.
Будут даны определение, примеры подгрупп и простейшие свойства плоской группы Кремоны. Доклад является подготовительным к последующим обсуждениям непростоты этой группы. Предварительных знаний не требуется.
Миша Вербицкий, "Группа Кремоны и гиперболическая геометрия"
Плоская группа Кремоны (группа автоморфизмов поля рациональных функций от двух переменных) действует целочисленными изометриями на гильбертовом пространстве, которое называется пространство Пикара-Манина. Я повторю конструкцию этого действия и расскажу, как интерпретировать геометрию гиперболических изометрий бесконечномерного пространства Лобачевского в терминах голоморфной динамики группы Кремоны. Я закончу геометрической формулировкой теоремы Канта и Лами о непростоте группы Кремоны, перечислив свойства группы Кремоны, из которых следует наличие нормальных подгрупп.
Я расскажу про то, как строить элементы группы Кремоны, "тугие" в смысле Канта-Лами, то есть гиперболические элементы, оси которых в пространстве Пикара-Манина ведут себя некоторым специальным образом по отношению к другим элементам группы Кремоны.
Миша Вербицкий, "Группы с малыми сокращениями"
Теория малых сокращений появилась в работах Макса Дэна, который построил алгоритм различения слов для фундаментальной группы римановой поверхности и некоторых других групп. В работах Рипса и Громова понятие группы с малыми сокращениями получило геометрические интерпретации, приведя, среди прочего, к появлению теории гиперболических групп по Громову. Я расскажу про алгоритм Дэна и опишу, каким образом Громов переводит на геометрический язык конструкции, которые возникают в теории групп с малыми сокращениями. Эти методы применяются в работе Канта и Лами о нормальных подгруппах в группе Кремоны, но моя лекция будет формально независимой от предыдущих; никаких знаний, кроме общих понятий геометрии и теории групп, не потребуется.
Теория дифференциальных операторов в положительной характеристике сильно отличается от такой теории в характеристике 0. Например, кольцо (пучок) дифференциальных операторов на многообразии имеет очень большой центр и, более того, является алгеброй Адзумаи над своим центром. Я докажу это утверждение, а также объясню, что такое p-кривизна. Мой доклад призван подготовить слушателей к докладу Мити Кубрака. Никаких предварительных знаний про дифференциальные операторы и алгебры Адзумаи не требуется. Предполагается, что слушатели знакомы с начальными понятиями алгебраической геометрии.
Дмитрий Кубрак, "О некоторых элементах p-кручения группы Брауэра симплектических разрешений в характеристике p".
Я расскажу о совместной работе с Ромой Травкиным в которой доказывается, что приходящие из 1-форм алгебры Адзумаи на некоторых симплектических разрешениях спускаются на базу разрешения, а также что для всех разрешений это верно по крайней мере локально (этально) по базе. Если останется время, то я также расскажу о том как глобальный спуск дает семейство t-структур на D^b(\mathrm{Coh}(X)), параметризуемых некоторой решеткой, а точнее точками решетки в алькове, высекаемом некоторыми гиперплоскостями.
Я расскажу про свои статьи с Безрукавниковым про квантование симплектических алгебраических многообразий, в характеристике 0 и в характеристике p.
Геометрическая теория инвариантов описывает как правильно строить "правильные" факторы X//G алгебраических многоообразий (аффинных и проективных) по действию редуктивных групп G. В частности, нужно научиться находить "правильные" орбиты ( "(полу)стабильные" ) и отделять их от "неправильных". Такие факторы X//G назаваются категорными или GIT-факторами. Конструкция "симплектической редукции" обобщает теорему Э.Нётер и позволяет сводить задачу об интегрировании гамильтоновой системы X к меньшей системе при условии наличия у системы группы симметрий H. Соответствие между этими конструкциями заключается в том, что симплектическая редукция системы X фактически совпадает с GIT-фактором X//G (при этом G будет комплексификацией группы H). При этом оказывается, что стабильные орбиты в X (в GIT-смысле) образуют прообраз ноля при отображении моментов \mu: X -> h , где h -- алгебра Ли группы H. Я расскажу об этом соответствии, а также о некоторых бесконечномерных примерах этого соответствия. В частности, в случае проблемы построения простанств модулей голоморфных расслоений соотвествие соответствующее условие "\mu=0" является уравнением Эрмита-Эйнштейна, соответствие "GIT <=> sympl." reduction есть по сути соответствие Кобаяши-Хитчина, а "правильные" расслоения суть расслоения стабильные по Мамфорду.
В работе Bakry, Оревкова и Zani arXiv:1309.5632v1 [math.PR] 22 Sep 2013 "ортогональные полиномы и операторы диффузии" решается некая классификационная задача (о классификации "систем ортогональных полиномов на плоскости"), значительный кусок которой оказывается странным образом связан с группами, порожденными отражениями. Аналогичная классификация в более высоких размерностях неизвестна. Я попытаюсь изложить примерный ход этой классификации, и обсудить интересные вопросы, связанные с этим странным совпадением.
Пусть Q -- иррациональная, невырожденная, неопределенная квадратичная форма на R^n, n > 2. Гипотеза Оппенхейма (1929) утверждает, что множество $Q(\Z^3)$ плотно в R. Она доказана Маргулисом в 1987 с использованием эргодической теории. Я расскажу формулировку теоремы Ратнер об орбитах, и выведу из нее доказательство гипотезы Оппенхейма. Лекция предполагается полностью элементарной; для понимания происходящего потребуется знакомство с понятиями группы Ли и многообразия.
Миша Вербицкий, "Симплектические упаковки и алгебраическая геометрия"
"Симплектическая упаковка" шаров в симплектическое многообразие есть вложение объединения шаров с обычной симплектической метрикой. Плотность упаковки есть отношение симплектического объема многообразия к суммарному объему шаров. Одной из важных задач симплектической геометрии является нахождение симплектических упаковок максимальной плотности. Макдуфф и Полтерович доказали, что плотность симплектических упаковок связана с теорией чисел Сешадри, известной из алгебраической геометрии.
Число Сешадри для точки x на проективном многообразии M есть инфимум отношения объема кривой C к кратности особенности C в x для всех кривых на M. Макдуфф и Полтерович доказали, что число Сешадри для x ограничивает сверху максимальный радиус симплектического шара с центром в x. Я расскажу вкратце, какие вещи известны о симплектических упаковках, и как они связаны с числами Сешадри. Слушателям понадобится знакомство с основами алгебраической геометрии, определением кэлерова многообразия и симплектических структур.
Известно, что компактное кэлерово многообразие, гомотопически эквивалентное комплексному тору, биголоморфно ему. Для произвольных комплексных многообразий есть примеры, когда диффеоморфное тору многообразие не биголоморфно ему. В докладе я расскажу о работе Катанезе, Огизо и Петернелла, в которой они доказали, что комплексные 3-многообразия, допускающие непостоянные мероморфные функции и гомотопически эквивалентные тору, биголоморфны ему.
Миша Вербицкий, "Теорема Агола и другие гипотезы трехмерной геометрии"
В 2012 году Йан Агол опубликовал препринт "Виртуальная гипотеза Хакена", закрыв почти все открытые к тому моменту проблемы 3-мерной топологии. Процитирую Дэнни Калегари: ...I think it is no overstatement to say that this marks the end of an era in 3-manifold topology, since the proof ties up just about every loose end left over on the list of problems in 3-manifold topology from Thurston's famous Bulletin article... it is hard to think of a question about fundamental groups of hyperbolic 3-manifolds that it doesn't answer.
В числе этих проблем (часть из которых относится к геометрической теории групп, а часть - к геометрии 3-мерных многообразий) упомяну "виртуальную гипотезу Терстона о слоении", утверждающую, что каждое гиперболическое 3-многообразие имеет конечное накрытие, которое расслаивается над окружностью (сам Терстон отозвался об этой гипотезе так: "это сомнительно звучащее утверждение, кажется, имеет определенный шанс оказаться справедливым"). Я расскажу схему доказательства Агола (основанного на теории гиперболических групп и CAT(0)-пространств Громова), и дам точные формулировки использованных теорем. Доклад предполагается обзорный, никаких специальных знаний, кроме основ топологии (гомотопические группы, когомологии) не требуется.
Литература:
В начале 1970-х Д. Сулливан определил функтор проконечного пополнения на гомотопической категории. Он переводит топологическое пространство в топологическое пространство, все гомотопические группы которого проконечны, и является универсальным среди всех таких функторов. Когомологии и гомотопические группы проконечного пополнения X равны проконечным пополнениям когомологий и гомотопических груп X. Для алгебраических многообразий, нерв категории этальных накрытий гомотопически эквивалентен проконечному пополнению топологического пространства X; это позволяет определить проконечное пополнение (оно же "этальный гомотопический тип") у любого алгебраического многообразия, и считать его проконечные ("этальные") когомологии, не выходя из алгебраической категории. Рассказ будет доступен студентам, освоившим начала топологии.
Алексей Голота, "Фундаментальная групповая схема и геометрия в положительной характеристике"
Для связной целой схемы над совершенным полем М. Нори определил фундаментальную групповую схему. Она классифицирует G-торсоры, где G --- конечная групповая схема. Если поле имеет характеристику 0, то имеет место теорема сравнения между групповой схемой Нори и этальной фундаментальной группой, но в характеристике p они отличаются. Помимо определения и основных свойств фундаментальной групповой схемы, я расскажу доказательство следующей теоремы (Бисвас - дос Сантос): если односвязное многообразие над алгебраически замкнутым полем характеристики p не имеет глобальных 1-форм, то его групповая схема Нори тривиальна.
Следуя [1], я дам три разных определения локальных систем ранга 1, и
определю абсолютное подмножество в пространстве модулей, как подмножество
алгебраическое в каждой из трех реализаций. Будет доказана теорема: такое
подмножество есть конечное объединение под-торов на точки кручения. Класс
абсолютных подмножеств замкнут относительно естественных операций. В
доказательстве используется теорема из трансцедентной теории чисел [2],
которую я хочу объяснить, чуть-чуть поговорить о следствиях и объяснить
идеи доказательства.
[1] CARLOS SIMPSON: SUBSPACES OF MODULI SPACES OF RANK ONE LOCAL SYSTEMS.
[2] G. Wustholz, Algebraische Punkte auf analytischen Untergruppen
algebraischer Gruppen, Ann. Math. 129 (1989), pp. 501-517.
Дмитрий Пирожков, "Теорема Гротендика-Римана-Роха над C"
Теорема Гротендика-Римана-Роха описывает, что происходит с характеристическими классами расслоений при взятии прямого образа в K-теории. В частности, при прямом образе в точку получается выражение эйлеровой характеристики пучка через его классы Черна. Я расскажу доказательство этой теоремы над C (где вместо групп Чжоу можно брать обычные сингулярные когомологии) по первой главе статьи Baum, Fulton, MacPherson "Riemann-Roch for Singular Varieties". Нужно знать, что такое характер Черна, класс Тодда, производный прямой образ.
Я расскажу о работах Хитчина и Симпсона, которые построили гиперкэлерову структуру на пространстве модулей локальных систем на компактном кэлеровом многообразии.
Григорий Папаянов
Следуя запискам лекций Марко Гуалтиери, http://arxiv.org/abs/math/0409093 "Generalized geometry and the Hodge decomposition", я расскажу об обобщении разложения Ходжа и dd^c-леммы, полученном в обобщенной кэлеровой геометрии Хитчина и Гуалтиери.
Геометрия Аракелова была придумана, чтобы попытаться обобщить классические известные формулы теории пересечений из проективной алгебраической геометрии на теоретико-числовой случай. То есть, когда рассматриваются схемы, определенные над Q. Для этого схема пополняется так называемыми слоями над бесконечностью, которые являются комплексными многообразиями. Однако на этих многообразиях (слоях на бесконечности) теория пересечений не является классической. Я расскажу о понятиях, необходимых для построения теории пересечений в геометрии Аракелова, в том числе о вторичных характеристических классах.
Геометрия Аракелова была придумана, чтобы попытаться обобщить классические известные формулы теории пересечений из проективной алгебраической геометрии на теоретико-числовой случай. То есть, когда рассматриваются схемы, определенные над Q. Для этого схема пополняется так называемыми слоями над бесконечностью, которые являются комплексными многообразиями. Однако на этих многообразиях (слоях на бесконечности) теория пересечений не является классической. Я расскажу о понятиях, необходимых для построения теории пересечений в геометрии Аракелова, в том числе о вторичных характеристических классах.
По просьбам публики, я немного расскажу о понятии обобщенной комплексной и обобщенной кэлеровой структуры в смысле Хитчина, Галтиери и пр. (определения, физическое происхождение, примеры, общие результаты), а также о том, как это все проявляется в конкретном случае поверхностей Дель Пеццо.
Я расскажу о конструкции контрпримера к гипотезе Ходжа на комплексном торе, полученном в 2002-м году Клэр Вуазен. Я опишу основные ингредиенты доказательства Вуазен (стабильные расслоения, связности Янг-Миллса, группа Мамфорда-Тэйта) и расскажу про конструкцию контрпримера. Для понимания доклада будет достаточно знать основы комплексной алгебраической геометрии (комплексные многообразия, кэлеровы формы, разложение Ходжа) и теории групп Ли.
Я расскажу о том, что происходит в первой половине статьи Димитрова, Хайдена, Кацаркова и Концевича ( "Dynamical systems and categories"), а именно, о том, что такое сложность объекта в триангулированной категории (с выделенным генератором), как определить энтропию функтора, и к каким инвариантам категории это может привести.
Никон Курносов, "Специальные кэлеровые многообразия"
Следуя статье Д. Фрида "Special Kahler Manifolds", я расскажу о специальных кэлеровых многообразиях. Условие специальности включает в себя наличие плоской связности на касательном расслоении кэлерова многообразия. На кокасательном расслоении к таким многообразиям есть гиперкэлерова структура. Такое специально кэлеровое многобразие задаёт алгебраическую интегрируемую систему, а на тотальном пространстве к ней есть гиперкэлерова структура. В завершении я скажу пару слов о связи специально кэлеровых многобразий с физическими теориями.
I will introduce Grothendieck ring of varieties (ring of generalized Euler characteristic or so-called "motivic measures") and show how it could be used for solving rationality problems, using theorem of Larsen and Lunts. I will demonstrate a beautiful identity in this ring, that relates symmetric square of cubic hypersurface with its Fano variety of lines. We will use this identity to show, that if class of an affine line is not a zero divisor in the Grothendieck ring of complex varieties, then variety of lines on a rational cubic fourfold is birational to symmetric square of a K3 surface, in particular, generic cubic fourfold is irrational. This is a joint work with Evgeny Shinder.
Burt Totaro proved in 1992 that the cotangent bundle to any surface of genus at least 2 is not diffeomorphic to an affine variety. Mark McLean (developing ideas of Paul Seidel) has recently proved that the cotangent bundle to any hyperbolic manifold is not symplectomorphic to an affine variety. I will explain his proof, which makes use of Symplectic homology, a version of Floer homology for exact symplectic manifolds.
Родион Деев, "$h$-принцип и специальность для комплексных проективных многообразий (по статье Ф. Кампаны и Й. Винкельмана)"
Говорят, что комплексное многообразие удовлетворяет $h$-принципу, если всякое непрерывное отображение в него из комплексного подмногообразия $\mathbb C^n$ можно прогомотопировать в голоморфное. Это условие имеет некоторые приятные следствия, одно из которых (в проективном случае) -- <<специальность>> -- специфическое условие, более-менее противоположное <<общему типу>>; в докладе будут доказаны разные следствия из $h$-принципа. Никаких предварительных знаний для понимания доклада не требуется.
В своей статье "Non-Hermitian Yang-Mills connections", Д. Каледин и М. Вербицкий, среди прочего, изучают твисторные пространства гиперкэлеровых многообразий и доказывают, что эти пространства являются сбалансированными (balanced manifolds), что существенно упрощает изучение их пространства модулей голоморфных расслоений. В своем докладе я расскажу про условие сбалансированности, чем оно полезно, а также как обобщить результат Вербицкого и Каледина на твисторные пространства общих гиперкомплексных многообразий.
Лев Суханов, Теория Морса для пары коммутирующих векторных полей
Доклад будет посвящен изложению результатов моей курсовой - а именно, какие алгебраические структуры (аналогичные Морсовскому комплексу) контролируют комбинаторику вырождений орбит пары коммутирующих векторных полей. Предварительных знаний не требуется.
Группа G_2 определяется как стабилизатор общей 3-формы на семимерном вещественном пространстве. Другое определение -- G_2 есть группа автоморфизмов алгебры октав. Я определю октавы (8-мерную неассоциативную алгебру с делением) и расскажу про группу G_2 и ее вещественные формы.
Николай Коновалов, "Класс Кёрби-Зибенманна (Kirby-Siebenmann)"
Одной из задач геометрической топологии является классификация гладких структур на топологическом многообразии. Эта задача сложна, но тем не менее, если рассматривать многообразия большой размерности (а именно больше 4), то эту задачу можно к теории препятствии, а если гладкие структуры заменить на PL-структуры (то есть вместо гладких функции рассматривать кусочно-линейные), то это препятствие будет только одно. Цель доклада построить это препятствие (как раз таки и называемое классом Кёрби-Зибенманна).
Для произвольного n-мерного комплексного тора классификация голоморфных векторных расслоений ранга > 1, или, более общо, рефлексивных пучков, неизвестна. Тем не менее, для "большинства" торов категория рефлексивных пучков устроена достаточно просто. Такие торы называются "общими" (generic). Я расскажу, что о них известно, и как классифицировать рефлексивные пучки на них с помощью категорий Таннаки и представлений про-аффинных групповых схем. Все необходимые определения и результаты, относящиеся к двойственности Таннаки и стабильности расслоений, я напомню. Для понимания доклада достаточно базовых знаний о комплексной геометрии.
Артур Томберг, "Сбалансированность твисторных пространств гиперкомплексных многообразий"
В своей статье "Non-Hermitian Yang-Mills connections", Д. Каледин и М. Вербицкий, среди прочего, изучают твисторные пространства гиперкэлеровых многообразий и доказывают, что эти пространства являются сбалансированными (balanced manifolds), что существенно упрощает изучение их пространства модулей голоморфных расслоений. В своем докладе я расскажу про условие сбалансированности, чем оно полезно, а также как обобщить результат Вербицкого и Каледина на твисторные пространства общих гиперкомплексных многообразий.
First title: Hilbert schemes of points on surfaces
Abstract: In the present talk, I will introduce Hilbert schemes of points on smooth quasi-projective surfaces. I will describe in details Hilbert schemes of points on the complex affine plane. The talk will be very introductory and it will be based on the first Chapter of [Nakajima, Lectures on Hilbert schemes of points on surfaces].
Second title: Hilbert schemes, moduli spaces of sheaves and gauge theories
Abstract: Gauge theories in four dimension represent an important source of conjectures relating the (equivariant) cohomology and K-theory of Hilbert schemes of points on surfaces (or, more generally, of moduli spaces of framed sheaves) and representation theory of infinite-dimensional Lie algebras. The goal of the present talk is to give an overview of the main results and conjectures in this area.
The representation variety of the fundamental group of a surface of genus g into SU(n) carries a classical symplectic form by Atiyah, Bott and Goldman. Its volume was computed by Witten and is given by the so-called Witten zeta-function. Studying symmetries of representation varieties induced by cyclic group actions on surfaces, Reznikov and Katzarkov proved that the volume of the representation variety is divisible by p, if g is divisible by p. Together with Witten's computation, this yields a number-theoretic corollary which generalises the von Staudt theorem on divisibility of Bernoulli numbers.
Римановой метрике на многообразии можно сопоставить спектр оператора Лапласа, действующего на функциях --- счётный набор положительных чисел. Зная его, можно получить довольно много информации о самом римановом многообразии, однако всё же не всю --- первый пример изоспектральных, но не не изометричных метрик на 16-мерных торах построил Милнор, пользуясь теорией модулярных форм. Мы рассмотрим метод Сунады, позволяющий получать изоспектральные (и зачастую не изометричные и даже не гомотопически эквивалентные) многообразия, и во многом аналогичный известному в теории чисел способу получать числовые поля с одинаковыми дзета-функциями.
Кэлеров конус комплексного многообразия есть множество всех классов когомологий, представимых кэлеровой формой. Мори доказал, что кэлеров конус многообразия Фано (многообразия с обильным каноническим расслоением) полиэдральный. Это очевидно неверно для других многообразий, например для поверхностей К3. Гипотеза Моррисона и Каваматы утверждает, что фактор кэлерова конуса по группе автоморфизмов многообразия Калаби-Яу является конечным полиэдральным пространством. Я кратко расскажу о К3-поверхностях и докажу для них гипотезу Моррисона-Каваматы. Доклад должен быть понятен студентам, знакомым с основами алгебраической геометрии.
Никон Курносов, "Группа монодромии для схемы Гильберта К3 поверхности"
Я расскажу о ограничениях на группу монодромии для схем Гильберта для K3. В частности надеюсь объяснить, почему действующий тождественно на $H^2(K^{[n]},\mathbb{Z})$ оператор монодромии действует тождествено и на $H^k(K^{[n]},\mathbb{Z}), 0 \leq k \leq n + 2$. И расскажу о подгруппе $Mon(2)$, действующих на вторых когомологиях. Оказывается, эта группа порождена отражениями в решётке $H^2(K^{[n]},\mathbb{Z})$. Рассказ основан на статье "Integral constraints on the monodromy group of the hyperkahler resolution of a symmetric product of a K3 surface", Eyal Markman.
По просьбам публики, я расскажу о подходе к теории деформаций, основанном на решении уравнения Маурера-Картана в DG алгебрах Ли и L_\infty-алгебрах, максимально приземленно, с конкретными примерами, и без каких-либо современных обобщений.
Аннотация: Частичные изометрии отрезков - комбинаторный объект, состоящий из отрезка действительной оси и семейства изометрий между парами его подотрезков.
Исторически первый и наиболее известный представитель этого класса - перекладывания отрезков, естественным образом возникающий в теории измеримых слоений на поверхностях как отображение первого возвращения на трансверсаль. В докладе мы кратко обсудим основные свойства этих отображений: динамические (минимальность, эргодичность, число инвариантных мер), топологические (связь показателей Ляпунова перекладываний и поведения слоев слоения) и геометрические (поток Тейхмюллера в пространстве модулей).
Также мы рассмотрим два обобщения перекладываний отрезков - отображения сдвигов (interval translation mappings) и системы изометрий, обсудим задачи, мотивирующие появление этих конструкций и проверим, какие из найденных свойств перекладываний обобщаются, а какие - заменяются на противоположные.
Доклад частично основан на совместной работе с Артуром Авилой и Паскалем Юбером.
Будет рассказано доказательство теоремы Дельзана о том, что гладкое компактное многообразие без края, обладающее гамильтоновым действием тора половинной размерности, является неособым проективным торическим многообразием.
Это утверждение тесно связно с теоремой Атьи-Гийемина-Стернберга о выпуклости: образ отображения моментов гамильтонова действия тора на многообразии, имеющего лишь изолированные неподвижные точки, является выпуклой оболочкой образов этих неподвижных точек - то есть выпуклым многогранником.
Lecture notes:
http://bogomolov-lab.ru/G-sem/symplectic_torus_actions_3.pdf
Миша Вербицкий
Однородные комплексные многообразия
Однородное комплексное многообразие есть многообразие, группа автоморфизмов которого действует на нем транзитивно. Я расскажу классификационную теорему Бореля-Реммерта-Титса о структуре односвязных компактных однородных комплексных многообразий, и объясню, как ее использовать для построения однородных многообразий. Я проиллюстрирую происходящее примерами, построив многообразия Калаби-Экмана и комплексные структуры на компактных группах Ли. Если хватит времени, я расскажу про обобщение этой конструкции, известное как "многообразия момента-угла", которое строится по любому торическому многообразию. Выступление должно быть доступно студентам, знакомым с понятием комплексного многообразия и канонического расслоения и знающим начала теории групп Ли.
Resume: Рациональное или соответственно линейчатое 4-многообразие -- это многообразие, диффеоморфное соответствующей комплексной поверхности. Иначе говоря, это либо CP^2, либо произведение S^2xY где Y -- риманова поверхность, либо их (кратные) раздутия. А о комплексной структуре мы забываем (либо не фиксируем).
Симплектический конус компактного гладкого многообразия X -- это множество тех классов когомологий в H^2(X,\R) которые представимы симплектической формой (Т.е. аналогично Кэлеровому конусу комплексного многобразия X, состоящего из классов представимых Кэлеровой формой).
В большинстве случаев о симплектическом конусе известно сравнительно (ну, кроме очевидных вещей). Но в случае когда X -- рац. или лин. 4-образие, можно дать достаточно полное его описание. Что я и сделаю. Кроме того, я рассажу о двух-трёх других тесно связанных задачах:
Симплектическое многообразие М допускает полную симплектическую упаковку, если для каждого набора симплектических шаров суммарным объемом меньше, чем объем М, этот набор шаров допускает инъективный симлектоморфизм в М. Три года назад вышла статья Латшева, Макдаф и Шленка, которые доказали, что симплектический тор вещественной размерности 2 допускает полную симплектическую упаковку. В совместной работе с М. Энтовым, мы доказали, что любой симплектический тор и любое гиперкэлерово многообразие допускает полную симплектическую упаковку, заодно существенно упростив доказательство Латшева, Макдаф и Шленка. Я вкратце расскажу, как это доказывается, и перечислю открытые вопросы теории симплектических упаковок (если хватит времени - намечу пути их решенияя).
От слушателей предполагается владение основами комплексной
алгебраической геометрии (теория Ходжа, дифференциальные формы).
Андрей Кустарев
Теорема Дельзана и проективные торические многообразия
Мы обсудим доказательство теоремы Дельзана о том, что гладкое компактное симплектическое многообразие без края, обладающее гамильтоновым действием тора половинной размерности, является неособым проективным торическим многообразием. Это утверждение тесно связно с рассказанной ранее теоремой Атьи-Гийемина-Стернберга о выпуклости.
Антон Айзенберг (Osaka City University)
Торические оригами многообразия
Оригами многообразия возникли относительно недавно как естественное обобщение симплектических многообразий. В то время как обычная симплектическая форма обязана быть невырожденной во всех точках многообразия, у оригами формы допускаются вырождения, но они --- простые и хорошо контролируемые. Можно определить гамильтоново действие тора на оригами многообразии по аналогии с симплектическим случаем. Оригами многообразия с гамильтоновым действием тора половинной размерности называются торическими оригами многообразиями. Их можно классифицировать с помощью оригами шаблонов, что является обобщением теоремы Дельзанта. Оригами шаблон представляет из себя набор дельзантовых многогранников с дополнительной информацией о ``складках'' (или склейках), и в случае $\dim M = 4$ визуально напоминает многократно сложенный на плоскости лист бумаги, что является одним из объяснений для термина ``оригами''. Я планирую в первую очередь объяснить описанные выше базовые конструкции и рассказать о задачах, возникающих в этой области. Если будет время и интерес, расскажу о наших недавних результатах про когомологии и эквивариантные когомологии торических оригами многообразий или о препятствиях к существованию оригами структуры на заданном квазиторическом многообразии.
Аннотация: я расскажу про связь псевдо-аносовских диффеоморфизмов и квадратичных дифференциалов на поверхностях и покажу, как построить примеры таких диффеоморфизмов, используя индукцию Rauzy для перекладываний отрезков. Основные идеи изложены в двух классических статьях Howard Masur и John Smillie (1993) и William Veech (1982).
Миша Вербицкий (ВШЭ)
Полиэдрально кэлеровы многообразия
Полиэдральное пространство есть метрическое пространство, полученное склейкой плоских полиэдров по граням. Вне граней коразмерности два, полиэдральное пространство имеет структуру гладкого многообразия с плоской ортогональной связностью. Если голономия этой связности лежит в U(n), пространство называется полиэдрально кэлеровым многообразием. Полиэдрально кэлеровы многообразия снабжены структурой комплексного многообразия, обыкновенно негладкого. В размерности 2 это комплексные кривые с коническими особенностями; наоборот, каждая комплексная кривая снабжена структурой полиэдрального кэлерова многообразия. Дима Панов в своей диссертации http://arxiv.org/abs/0901.1840 построил комплексную структуру на полиэдрально кэлеровых многообразиях в размерности 4, и изучил свойства полученных таким образом комплексных поверхностей. Я расскажу вкратце о том, как работает его доказательство, и какие результаты таким образом получаются.
На множестве петель в трёхмерном римановом многообразии (или, более общо, подмногообразий коразмерности два подходящей сигнатуры в псевдоримановом многообразии) есть структура гладкого многообразия. Я дам определение КР-многообразий, построю КР-структуру на тотальном пространстве некоторого специфического расслоения и использую её для того, чтобы показать, в каком смысле это пространство петель является комплексным (и даже кэлеровым). Лекция основана на работе Клода ЛеБрюна "A Kahler structure on the space of string worldsheets", http://bogomolov-lab.ru/G-sem/LeBrun-worldsheets-1993.pdf .
Никон Курносов (ВШЭ)
Примеры Гуана односвязных некэлеровых
голоморфно симплектических многообразий.
В докладе я расскажу про конструкцию Гуана и Богомолова http://bogomolov-lab.ru/G-sem/Bogomolov-Guan.pdf , с помощью которой можно получить компактные комплексные многообразия без кэлеровой структуры. Подобные примеры строятся через схемы Гильберта для поверхностей $S$ с $c_1= m \geq 3$.
Рационально связное -- многообразие, через любые две общие точки которого проходит рациональная кривая (P^1). Я расскажу про попытку немножко изменить это определение. Что, если заменить в этом определении P^1 на другую кривую C? Я попытаюсь ответить на этот вопрос, следуя статье http://arxiv.org/abs/1208.4055 .
Дмитрий Пирожков (ВШЭ)
A_n-пространства и пространства петель
Для любого H-пространства X можно найти пространство Y так, чтобы X \times Y было пространством петель, но умножение не сохранится. Если X было H-ассоциативным, то Y можно выбрать H-пространством, и умножение в X \times Y будет согласовано с умножением в X, но ассоциатор изменится. В общем случае для A_n-пространства X можно добиться эквивалентности пространству петель как A_(n-1)-пространству. Я попробую рассказать этот факт, в основном по книжке Сташеффа "H-Spaces from a Homotopy Point of View". От слушателей нужны знания алгебраической топологии, а операды не обязательно.
По каждому числовому полю $K$ можно построить аналитический объект: дзета-функцию Дедекинда $\zeta_K (s)$. Этот объект определяет многие классические инварианты поля: степень, дискриминант, нормальное замыкание, произведение числа классов на регулятор и тд. В то же время утверждение о том, что дзета-функция определяет поле с точностью до изоморфизма неверно, хотя соответствующий контрпример построить непросто (минимальный такой пример существует для полей степени 7). В докладе я постараюсь рассказать какие инварианты поля определяет $\zeta_K(s)$. Если хватит сил и терпения я расскажу как "подкрутить" $\zeta_K(s)$ на один конкретный кубический характер так, чтобы подкрученная $\zeta$ уже полностью определяла класс изоморфизма поля. В конце можно будет обсудить аналог конструкции для функциональных полей(сравнить свойства дзета-функция Хассе-Вейля и дзета-функции Goss'а). Главным инструментом будет теориа Галуа и, как следствие, теория конечных групп.
Владимир Жгун (ВШЭ)
Симплектические многообразия с инвариантными лагранжевыми подмногообразиями.
(По совместным работам с Д.А.Тимашевым)
Основным объектом исследований является симплектическое алгебраическое многообразие с действием редуктивной группы, содержащее лагранжево подмногообразие, инвариантное относительно действия этой группы. Мы будем также считать, что оно снабжено отображением моментов. Типичным примером таких многообразий является кокасательное расслоение к многообразию с действием редуктивной группы (нулевое сечение будет инвариантным лагранжевым). Оказывается рассматриваемые симплектические многообразия обладают многими свойствами аналогичным свойствам кокасательных расслоений, хотя таковыми не являются. Мы обсудим соответствующие результаты для кокасательных расслоений и то, как они обобщаются на данный класс многообразий.
Гомеоморфизмы замкнутой ориентированной поверхности (возможно, с отмеченными точками, множество которых предполагается инвариантным), рассматриваемые с точностью до изотопии, образуют группу, называемую группой классов отображений или группой Тейхмюллера данной поверхности. Теорема классификации, о которой пойдет речь, утверждает, что любой элемент этой группы представляется гомеоморфизмом одного из трех типов: 1) конечного порядка (или циклический); 2) псевдоаносовский гомеоморфизм; 3) приводимый гомеоморфизм. В последнем случае после перестройки поверхности по некоторому инвариантному семейству кривых гомеоморфизм "распадается" на псевдоаносовские и циклические "части". Наибольший интерес представляют псевдоаносовские гомеоморфизмы, о которых принято думать как гомеоморфизмах общего положения. Я буду следовать подходу Бествины и Хенделя, основным инструментом в котором являются трейн-трэки (железнодорожные пути). Этот подход фактически дает алгоритм, позволяющий определить тип и описать геометрически любой данный гомеоморфизм.
Миша Вербицкий (ВШЭ)
Почти комплексные 6-многообразия
Я определю каноническую форму объема на почти комплексном многообразии комплексной размерности 3, и определю градиентный поток, связанный с соответствующим функционалом объема. Затем я опишу неподвижные точки этого потока: это будут интегрируемые комплексные структуры и так называемые "приблизительно кэлеровы". Если будет время, я расскажу о приблизительно кэлеровых многообразиях; я дам много равносильных определений таких многообразий, и опишу их главные свойства.
Часто возникает множество "общих" в каком-то смысле отображений между данными многообразиями (наш основной пример - иммерсии, отображения с невырожденным дифференциалом). Интересна топология этого пространства отображений, например, каковы его компоненты связности. Несмотря на сложность вопроса, он часто оказывается равносилен похожей чисто топологической задаче, это наблюдение называется h-принципом. Мы докажем h-принцип для иммерсий, что позволит легко их классифицировать с точностью до изотопии в малых размерностях. Например, мы увидим что стандартное и антиподальное вложение $S^2$ в $\mathbb{R}^3$ изотопны, то есть, вывернем сферу наизнанку. Будет много картинок.
Родион Деев (ВШЭ)
Теория Диксмье-Дуади
Вторые когомологии гладкого многообразия классифицируют линейные расслоения над ним, причём групповая структура задаётся тензорным перемножением расслоений, а класс когомологий может быть построен по расслоению как кривизна любой связности в нём. Я попытаюсь дать похожее геометрическое описание третьих когомологий как классов эквивалентности специального рода расслоений, для которых можно определить связность, кривизна которой будет 3-формой.
I will outline the main steps in Seidel's proof of mirror symmetry for the quartic K3 surface, with an emphasis on the Fukaya category of the K3.
Миша Вербицкий (ВШЭ)
Симплектические упаковки произвольными телами и
эргодическая теория
Пусть (C,\omega) - открытое подмножество плоского симплектического пространства, а M - симплектическое многообразие. Упаковочная константа v(C,M) есть супремум всех z таких, что C с симплектической структурой z\omega допускает симплектическое вложение в M. Пусть теперь M есть тор либо гиперкэлерово многообразие симплектического объема 1, а его симплектическая форма не пропорциональна рациональной. Вместе с Мишей Энтовым мы доказали, что число v(C,M) не зависит от выбора M в его классе деформаций. Из этого следует, что любой набор одинаковых симплектических кубов с суммарным объемом меньше V допускает симплектическое вложение в симплектический тор объема V. Я расскажу подробнее про этот результат и вкратце объясню, как он выводится из эргодичности действия группы диффеоморфизмов на вторых когомологиях многообразия.
Основным объектом исследований является симплектическое алгебраическое многообразие с действием редуктивной группы, содержащее лагранжево подмногообразие, инвариантное относительно действия этой группы. Мы будем также считать, что оно снабжено отображением моментов. Типичным примером таких многообразий является кокасательное расслоение к многообразию с действием редуктивной группы (нулевое сечение будет инвариантным лагранжевым). Оказывается рассматриваемые симплектические многообразия обладают многими свойствами аналогичным свойствам кокасательных расслоений, хотя таковыми не являются. Мы обсудим соответствующие результаты для кокасательных расслоений и то, как они обобщаются на данный класс многообразий.
Никон Курносов (ВШЭ)
О инвариантах Розанского-Виттена для гиперкэлеровых многообразий.
Доклад будет посвящён инвариантам, предложенным Розанским и Виттеном для гиперкэлеровых многообразий. Но в виду "физичности" их определения, я буду исходить из определения Сейвона и Хитчина. Будут рассмотрены примеры наиболее простых графов и вычислений для них, что сделали Сейвон и Хитчин, а также использование инвариантов Розанского-Виттена для получения неравенств на числа Бетти гиперкэлеровых многообразий.
Пространство Тейхмюллера симплектических структур определяется как фактор бесконечномерного многообразия всех симплектических структур по изотопиям. Мозер доказал, что это всегда гладкое многообразие (возможно, нехаусдорфово). Я воспроизведу его доказательство, опишу геометрические структуры, естественно возникающие на пространстве Тейхмюллера симплектических структур, и (если хватит времени) расскажу о нашей работе с Катей Америк, в которой получено явное описание пространства Тейхмюллера симплектических структур на гиперкэлеровом многообразии.
Никон Курносов (ВШЭ)
О инвариантах Розанского-Виттена для гиперкэлеровых многообразий.
Доклад будет посвящён инвариантам, предложенным Розанским и Виттеном для гиперкэлеровых многообразий. Но в виду "физичности" их определения, я буду исходить из определения Сейвона и Хитчина. Будут рассмотрены примеры наиболее простых графов и вычислений для них, что сделали Сейвон и Хитчин, а также использование инвариантов Розанского-Виттена для получения неравенств на числа Бетти гиперкэлеровых многообразий.
Спектральная геометрия изучает связь геометрических свойств многообразия со спектром и собственными функциями оператора Лапласа. Мы познакомимся с классическими результатами и посмотрим, как различные (дифгемовские, функанские и топологические) рассуждения сожительствуют в этой науке.
Алексей Голота (ВШЭ)
Non-Kaehler counterexamples to Abundance and Iitaka
conjectures
Abundance conjecture is one of the most important open questions in birational geometry. The generalized version of this conjecture says that the Kodaira dimension of a compact Kaehler manifold equals its numerical dimension. In fact the statement makes sense for any compact complex manifold but it turns out to be false for non-Kaehler ones. In this talk I will briefly recall the statements of the conjectures; then I will describe the counterexamples constructed by G.Magnusson.
Группа Вирасоро есть центральное расширение группы диффеоморфизмов окружности. Она естественным образом является комплексным многообразием; я расскажу про то, как устроена эта комплексная структура, и про соответствующую геометрическую структуру на группе диффеоморфизмов окружности.
Григорий Папаянов (ВШЭ)
Теория деформаций геометрических структур Рюши Гото
Я собираюсь рассказывать про принадлежащий Рюши Гото унифицированный подход к теории деформаций гиперкэлеровых, G_2-, Spin(7)-многообразий и многообразий Калаби-Яу, в общем, ко всем геометрическим структурам, которые задаются каким-то набором замкнутых дифференциальных форм. Я покажу, как получать утверждения о том, что во всех вышеприведенных случаях деформации не имеют препятствий (то есть, каждая касательная деформация продолжается до настоящей).
Я напомню понятие тропического многообразия и примеры его приложений в выпуклой и перечислительной геометрии. Затем я расскажу про тропические многообразия с полиномиальными весами и продемонстрирую, как они естественным образом возникают в задачах выпуклой и перечислительной геометрии.
Я расскажу о методе локализации дифференциальных операторов, которым воспользовался Виттен для получения аналитического доказательства неравенств Морса. Я буду следовать статье Демайи "Holomorphic Morse inequalities", где аргумент Виттена использовался для получения голоморфной версии неравенств Морса, с помощью которой Демайи доказал много важных результатов алгебраической геометрии, но я не планирую рассказывать про голоморфную версию.
Никон Курносов (ВШЭ)
Об инвариантах Розанского-Виттена для гиперкэлеровых многообразий.
Доклад будет посвящён инвариантам узлов, построенным Розанским и Виттеном на основе гиперкэлеровых многообразий. Но в виду "физичности" их определения, я буду исходить из определения Сейвона и Хитчина. Будут рассмотрены примеры наиболее простых графов и вычислений для них, что сделали Сейвон и Хитчин, а также использование инвариантов Розанского-Виттена для получения результатов по топологии гиперкэлеровых многообразий.
Дзета-функция Капранова от алгебраического многообразия определяется как производящая функция от классов симметрических степеней многообразия в кольце Гротендика многообразий. Для совершенных dg-категорий Гантер и Капранов предложили конструкцию симметрических степеней, и можно рассмотреть их классы в кольце Гротендика от совершенных категорий. Совместность двух определений формилируется не совсем очевидно, и ее удается доказать пока лишь в тех случаях, когда известны хорошие разрешения особенностей для симметрических степеней (в размерностях 1,2, а также для симметрических квадратов). Про это я и расскажу, а также про известную компактификацию конфигурационных пространств (Фултона-Макферсона-Аксельрода-Зингера).
На векторном расслоении над поверхностью существует плоская связность тогда и только тогда, когда индекс Кронекера класса Эйлера меньше рода поверхности. Я расскажу доказательство этого утверждения, следуя статье Милнора "On the existence of a connection with curvature zero".
Миша Вербицкий (ВШЭ)
"Кэлерова гиперболичность по Громову".
Кэлерово многообразие называется гиперболическим
по Громову, если кэлерова форма на его накрытии
точна и равна дифференциалу от ограниченной формы.
Это свойство следует из обычной (вещественной)
гиперболичности, и влечет гиперболичность по
Кобаяши (отсутствие целых кривых). Я расскажу
про работу Громова
"Kahler hyperbolicity and L2-Hodge theory",
где из кэлеровой гиперболичности выводятся разные
интересные свойства, в частности, зануление
L^2-когомологий. Доклад будет понятен для студентов,
знакомых с определением и базовыми свойствами
кэлеровых многообразий, все вещи, которые понадобятся,
я буду определять по ходу дела.
Я расскажу, как строить характеристические классы различного рода (квази) расслоений (типа обычных лок. тривиальных расслоений, пучков Лефшеца, итп) исходя из структурной группы этого расслоения, и как использовать эту конструкцию в классификации этих расслоений.
Я расскажу о полуортогональных разложениях производных категорий когерентных пучков и других триангулированных категорий. Приведу основные примеры стандартных разложений. Постараюсь объяснить, когда можно ожидать наличие полуортогонального разложения, а когда нельзя. Ну и попробую рассказать, какая от них польза
Григорий Папаянов
Теорема Бондала-Орлова и Посицельского о реконструкции
многообразия по производной категории
Я собираюсь рассказать про то, как восстановить гладкое многообразие с обильным или антиобильным каноническим классом по его производной категории когерентных пучков.
Стандартным объектом гиперболической геометрии является функция, вычисляющая объём $n$-мерного симплекса в пространстве Лобачевского по набору его двугранных углов. Другая функция, тесно связанная с предыдущей, вычисляет объём $n$-мерного симплекса по набору гиперболических косинусов длин его рёбер. В 1977 году Аомото показал, что эта функция продолжается до многозначной аналитической функции $\Phi$ на $\mathbb{C}^{n(n+1)/2}$ и описал её множество ветвления. В докладе будет доказано следующее свойство многозначной аналитической функции $\Phi$. Пусть $C_n\subset\mathbb{C}^{n(n+1)/2}$ - множество всех векторов гиперболических косинусов длин рёбер ограниченных невырожденных $n$-мерных симплексов в пространстве Лобачевского. Мы покажем, что если $n$ чётно, то любая ветвь многозначной функции $\Phi$ принимает на множестве $C_n$ вещественные значения, а если $n$ нечётно, то для любых двух ветвей многозначной функции $\Phi$ либо их разность, либо их сумма принимает на множестве $C_n$ чисто мнимые значения. В качестве следствия этого результата мы докажем гипотезу о кузнечных мехах в нечётномерных пространствах Лобачевского, которая утверждает, что объём любого изгибаемого многогранника постоянен в процессе изгибания.
Компактное келерово многообразие X называется голоморфно-симплектическим, если оно односвязно и пространство его глобальных голоморфных 2-форм порождено симплектичекой формой \sigma. Я расскажу о бирациональных морфизмах между симплектическими многообразиями: построю флоп Мукаи и разберу подробнее случай dim X =4.
Павел Соломатин (Leiden University)
Теория полей классов и кривые с большим числом точек над
конечными полями
Граница Вейля (гипотеза Римана для глобальных функциональных полей) доставляет частичный ответ на вопрос о числе точек на кривой над конечным полем. Вопрос о том как улучшить эту оценку оказывается невероятно сложным. Более того, даже для небольшого улучшения этой границы в некоторых частных случаях требуется привлечение большого количества продвинутой техники. Я расскажу как подойти к этой задаче при помощи теории полей классов.
Метрика Хофера есть би-инвариантная финслерова метрика на группе гамильтоновых диффеоморфизмов симплектического многообразия, которая в касательном пространстве к нулю, отождествленному с пространством гладких гамильтонианов, равна супремуму гамильтониана. Хофер доказал, что эта метрика невырождена на R^n, используя сложный аналитический аргумент. Я расскажу простое доказательство теоремы Хофера, принадлежащее Лалонду и МакДафф. Они доказали эту теорему для любого симплектического многообразия, выведя ее из теоремы Громова о симплектической несжимаемости. Никаких специальных знаний, кроме общего представления о симплектических многообразиях, не потребуется. Подробности: Francois Lalonde, Dusa McDuff, The geometry of symplectic energy.
Дмитрий Тонконог (HSE and Cambridge)
Elliptic relation for Floer cohomology
For any symplectomorphism of a symplectic manifold, one defines a graded vector space called its Floer cohomology. Two commuting symplectomorphisms give rise to actions on Floer cohomologies of each other, and the elliptic relation says that the supertraces of these two actions are equal. I will explain a sketch proof of the elliptic relation, and its application to the study of symplectic Dehn twists.
Нильмногообразием называется компактное многообразие с транзитивным действием нильпотентной группы Ли. В своём докладе я докажу теорему о том, что любое кэлерово нильмногообразие диффеоморфно тору.
Александра Кузнецова (ВШЭ)
Теорема Райдера
Я хочу доказать теорему Райдера. Эта теорема накладывает некоторые условия на линейное расслоение L на поверхности, при выполнении которых расслоение K_S + L глобально порождено или очень обильно. Одно из следствий --- гипотеза Фуджиты в двумерном случае. А в доказательстве теоремы используются важные понятия конструкции Серра и нестабильности по Богомолову. Литература: [Rdr] I. Reider, Vector bundles of rank 2 and linear systems on algebraic surfaces, Ann. Math. 127 (1988), 309-316. Robert Lazarsfeld Lectures on Linear Series http://arxiv.org/abs/alg-geom/9408011
Я расскажу несколько теорем дифференциальной геометрии, полезных для понимания лекции Алексея Голоты о многообразиях с неотрицательной кривизной Риччи. Я определю группу голономий и сформулирую теорему де Рама о разложении римановых многообразий с приводимой группой голономии в произведение. Затем я сформулирую теорему Берже о классификации групп голономий римановых многообразий. Наконец, я определю кривизну Риччи и перечислю несколько фактов о ней, а затем докажу теорему Чигера-Громолла о том, что полное, односвязное многообразие с неотрицательной кривизной Риччи компактно либо изометрично произведению прямой на многообразие меньшей размерности. Для понимания можно обойтись без специальных знаний, но полезно освоить базовые вещи из дифференциальной геометрии: связность, кривизну, риманову метрику, геодезические.
Алексей Голота (ВШЭ)
Компактные кэлеровы многообразия с неотрицательной
кривизной Риччи
Следуя статье F. Campana, J.-P. Demailly, T. Peternell, "Rationally connected manifolds and semipositivity of Ricci curvature", я расскажу о том, как связаны дифференциальная и бирациональная геометрии гладких комплексных проективных многообразий. В качестве основного результата, я докажу теорему о классификации компактных кэлеровых многообразий с неотрицательной кривизной Риччи.
Я расскажу формулировку и доказательство аргумента Хопфа, который является удобным методом для проверки эргодичности преобразований. С помощью аргумента Хопфа будет проведено геометрическое доказательство эргодичности геодезического потока на компактной римановой поверхности постоянной отрицательной кривизны. Потом я расскажу формулировку и доказательство результата Маутнера, который является основой эргодической теории на однородных пространствах.
Арина Архипова (ВШЭ)
Теорема Бернштейна-Кушниренко
Будет рассказно доказательство теоремы Бернштейна-Кушниренко. Теорема Бернштейна-Кушниренко утверждает, что число нулей системы из n полиномов Лорана от n неизвестных равно смешанному объему полиэдров Ньютона этих полиномов.
Я расскажу о том, что такое броуновское движение и как оно связано с гармоническим анализом. Мы обсудим простейшие свойства броуновского движения как случайного процесса. В заключении мы определим броуновское движение на римановых многообразиях и обсудим, как это может применяться в задачах динамики и комплексного анализа.
Миша Вербицкий (ВШЭ)
Теорема об униформизации по Симпсону
и вариации структур Ходжа.
Расслоение Хиггса есть голоморфное расслоение с $c_1=0$, снабженное голоморфной 1-формой с коэффициентами в его эндоморфизмах (полем Хиггса), квадрат которой равен нулю. Подпучок такого расслоения называется дестабилизирующим, если он сохраняется полем Хиггса (то есть эндоморфизмами, которые служат коэффициентами соответствующей 1-формы), а его степень неотрицательна. Расслоение Хиггса стабильно, если у него нет дестабилизирующих подпучков. Хитчин и Симпсон доказали, что любое стабильное расслоение Хиггса имеет плоскую связность, а если, кроме того, поле Хиггса нильпотентно, то эта связность согласована с вариацией структур Ходжа. Я подробно расскажу обо всех перечисленных объектах, и кратко опишу логику доказательства Симпсона. В качестве приложения, я расскажу доказательство Симпсона теоремы об униформизации комплексных кривых, основанное на вариациях структур Ходжа. От слушателей требуется знакомство с базовыми понятиями дифференциальной геометрии (дифференциальные формы, связности, кривизна).
Цель моего доклада -- дать чисто алгебраическое доказательство вырождения спектральной последовательности Ходжа-де Рама. Первая часть доклада будет посвящена напоминанию свойств морфизмов Фробениуса, комплекса де Рама в положительной характеристике, векторов Витта и обсуждению изоморфизма Картье. Во второй части доклада я расскажу метод Делиня -- Иллюзи доказательства этого вырождения, который основан на редукции в характеристику $p$.
Родион Деев (ВШЭ)
(Ко-)КР-кватернионные многообразия и их твисторы
КР-многообразия -- это геометрическая структура, аксиоматизирующая свойства вещественных гиперповерхностей в комплексных многообразиях. Я пойду немного дальше и попытаюсь рассказать про КР- и ко-КР-кватернионные многообразия (напомнив предварительно все линейно-алгебраические и дифференциально-геометрические определения), а также про связанную с этим твисторную геометрию.
Лиувиллево многообразие -- это риманово многообразие, на котором все ограниченные гармонические функции постоянны. Я попробую рассказать, при каких условиях на группу Галуа подобные свойства наследуются при накрытиях.
Дмитрий Пирожков (ВШЭ)
Стягивание наборов непересекающихся дивизоров
Если на собственном нормальном многообразии задан счетный набор попарно непересекающихся связных дивизоров, то это многообразие можно отобразить в кривую так, чтобы все, кроме конечного числа дивизоров из набора были слоями этого отображения. Я расскажу доказательство этого факта, следуя статье Ф. Богомолова и А. Силберштейна http://arxiv.org/abs/1504.05534
Пусть X - алгебраическое многообразие над Q, и пусть x \in X(Q) - его рациональная точка. Тогда абсолютная группа Галуа поля Q действует на алгебраической фундаментальной группе (X(C), x) автоморфизмами. Если X - проективная кривая без точек 0, 1, \infty, то, по теореме Белого, группа Галуа инъективно отображается в группу автоморфизмов проконечного пополнения свободной группы на двух образующих. Можно попытаться описать образ этого отображения. Чудесным образом оказывается, что соотношения, которые получается написать, выглядят точно так же, как соотношения в группе Гротендика-Тейхмюллера, определённой Дринфельдом и действующей на пространстве (braided) моноидальных структур в некоторых очень общих категориях модулей. Я попытаюсь рассказать о некоторых аспектах этой истории, не предполагая никаких предварительных знаний об алгебраических фундаментальных группах, теореме Белого и т.д.
Павел Соломатин (Universiteit Leiden)
О числе классов идеалов квадратичных полей.
Я расскажу о связи геометрии различных модулярных поверхностей(и кривых) с числом классов идеалов квадратичных полей.
Я расскажу следующий результат Катанезе и Франчиози: на компактной
комплексной поверхности с $K_X^2>0$ есть "полуспециальный тензор",
т.е. сечение пучка $S^2 \Omega_X^1(-K_X) \otimes \eta$, где $\eta$ ---
обратимый пучок с $\eta^2 \cong \mathcal{O}$, тогда и только тогда,
когда $X$ есть либо $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$, либо
универсальное накрытие $X$ --- бидиск $\mathbb{H} \times \mathbb{H}$.
По статье F. Catanese, M. Franciosi, A characterization of surfaces
whose universal cover is the bidisk, arXiv:0803.3008. Доклад будет
очень элементарным.
Константин Толмачев (MIT)
Ассоциаторы Дринфельда и проунипотентная группа Гротендика-Тейхмюллера
В этот раз я расскажу о проунипотентной версии группы Гротендика-Тейхмюллера и её действии на пространстве моноидальных структур ("ассоциаторов Дринфельда") в категориях модулей над некоторым общим классом алгебр.
Группа Чжоу многообразия является обобщением группы Пикара в большой
коразмерности, но в отличие от Пикара, группа Чжоу устроена весьма
загадочно и непонятно. В своём докладе я попробую рассказать несколько
фактов о ней в случае К3-поверхности.
Светлана Макарова (ВШЭ)
Исключительный набор на пространстве модулей представлений колчана.
Я собираюсь рассказать об одном многообразии, которое получается как пространство модулей представлений некоторого колчана, и предъявлю исключительный набор из тринадцати объектов на нём, предположительно полный. Начну с контекста и основных определений (представления колчанов, пространство их модулей, производная категория -- потрачу на объяснение не более пяти минут, ислкючительный набор, функтор Шура). Затем перейду к геометрическому описанию пространства модулей. После этого я объясню, почему естественно ожидать, что есть полный исключительный набор. Завершу доклад я предъявлением набора и наброском доказательства его исключительности. Следует ожидать использования разных вычислительных техник и выписывания большого числа точных последовательностей.
Гамма-гипотеза это "квадратный корень" из теоремы об индексе, извлекающийся для симплектических многообразий: роль топологического индекса играет гамма-класс (класс Хирцебруха, построенный по разложению в ряд гамма-функции), а в аналитическая составляющая происходит из асимптотик решений квантового дифференциального уравнения в нерегулярной точке. С одной стороны, она является обобщением гипотез Дубровина об исключительных наборах и квантовых когомологиях, с другой стороны выявляет топологическое происхождения у удивительных приближений Апери к значениям дзета-функции Римана, также гипотеза во многом мотивирована зеркальной симметрией. Я расскажу точную формулировку этой гипотезы, объясню когда она заведомо верна, и какие есть подходы для ее окончательного доказательства. Доклад основан на совместной работе arXiv:1404.6407 с Василием Голышевым и Хироши Иритани.
Я расскажу доказательство теоремы Яу о том, что Кэлерово многообразие диффеоморфное CP^n, изоморфно ему.
Миша Вербицкий (ВШЭ)
Теорема Калаби-Яу: локальная версия
(голоморфные емкости и неравенство Бедфорда-Тэйлора).
Теорема Калаби-Яу утверждает, что любое многообразие Калаби-Яу допускает метрику, которая тривиальна на каноническом расслоении (такие метрики называются риччи-плоскими). Она выводится из более общего утверждения о существовании и единственности решений уравнения Монжа-Ампера: для заданной формы объема V на многообразии, существует и единственна метрика в любом заданном кэлеровом классе, такая, что ее форма объема пропорциональна V. Теорема Калаби-Яу есть одна из самых трудных теорем комплексной геометрии, но у нее есть локальная версия, которая выводится из неравенства Бедфорда-Тейлора (простого и удивительно красивого неравенства, позволяющем сравнивать функции, если известен их функционал Монжа-Ампера). Я расскажу схему доказательства Калаби и Яу для глобального случая, затем докажу неравенство Бедфорда-Тэйлора, и выведу из него локальную версию теоремы Калаби-Яу. Выступление будет доступно студентам, знакомым с основами комплексного анализа (плюрисубгармонические функции) и кэлеровой геометрии (разложение Ходжа, кэлеровы метрики).
In this lecture series, I will try to explain how to use moduli of rational curves to construct holomorphic symplectic (or hyperkhler) manifolds. We will start with a brief introduction to symplectic manifolds and a survey of existing construction methods. We will then have a closer look into Grassmannians, Quot schemes and Hilbert schemes and their use in constructing examples. In particular, I will discuss in some detail the theorems of Beauville and Donagi and of my joint work with N.Addington, C.Lehn, Sorger and van Straten, Depending on the interest of the audience I would also like to discuss the interpretation of some results from the perspective of matrix factorisations and of Kuznetsov's semiorthogonal decomposition of the derived category of cubic fourfolds.
Это мини-курс в рамках семинара "Геометрические структуры на многобразиях".
I shall describe several methods to study groups of polynomial transformations of the affine space which are generated by a finite number of transformations. This includes technics of reduction modulo a prime p, as well as methods from p-adic dynamics ; we shall describe these technics, and combine them with ideas coming from geometric group theory.
Пусть X --- конечно доминируемое пространство, то есть ретракт конечного CW-комплекса в гомотопической категории. Тогда существует класс в K(Z[pi_1(X)]), зануляющийся тогда и только тогда, когда X гомотопически эквивалентен конечному CW-комплексу. Я расскажу про конструкцию и основные свойства этого класса. Кроме того, если позволит время, будет упомянут класс Своуна, который является частью проблемы нахождения конечных групп, свободно действующих на сферах.
Никон Курносов (ВШЭ)
Об автоморфизмах гиперкэлеровых многообразий
В докладе я немного расскажу о результатах об автоморфизмах гиперкэлеровых многообразий, тривиальных на вторых когомологиях. Эта подгруппа тривиальна для схем Гильберта от K3 (доказал ещё Бовилль), но нетривиальна для обобщённых Куммеровых поверхностей и многообразия О'Грэди размерности шесть. Последнее недавно доказали Монгарди и Вандель (http://arxiv.org/pdf/1411.0759.pdf). Этот доклад продолжает тематику мини-курса Манфреда Лена.
Я расскажу о статье Дональдсона "Two-forms on four-manifolds and elliptic equations". Дональдсон предложил программу, которая позволит (если удастся ее довести до завершения) решить большую часть доселе нерешенных задач 4-мерной топологии и симплектической геометрии. Я расскажу об основных предположениях и выводах этой программы. Выступление должно быть понятно студентам, знающим, что такое дифференциальные формы и римановы многообразия.
Лев Суханов (ВШЭ)
Квантовые когомологии орбифолдов
Я попробую рассказать о возникающей при изучении инвариантов Громова-Виттена орбифолдов интересной теории когомологий, впервые построенной Ченом и Руаном. Рассказ будет в основном следовать курсу лекций Дэна Абрамовича.
Построенный Зайбергом и Виттеном инвариант позволил ответить на многие вопросы по маломерной топологии, не поддававшиеся теории Дональдсона. Так, для четырехмерного многообразия каждый спинорной структуре может быть сопоставлено число. В кэллеровом случае пространство спинорных структур отождествляется со вторыми когомологиями, что даёт много данных об инвариантах Зайберга-Виттена. Позднее Таубс перенес эти результаты на симплектический случай и получил следующий результат: инварианты Зайберга-Виттена совпадают с инвариантами Громова-Виттена как функции на вторых когомологиях для симплектического многообразия. В своём докладе я определю инварианты Зайберга-Виттена и постараюсь объяснить теорему Таубса.
Сергей Галкин (ВШЭ)
TBA
Пусть f: X \to Y - собственное отображение комплексных алгебраических многообразий. Теорема (Бейлинсона-Бернштейна-Делиня-Габбера) о разложении описывает прямой образ IC-пучка на X при отображении f. Я расскажу, следуя курсу лекций де Катальдо, о предшествущих теоремах Делиня для случая, когда f - гладкое отображение, и о самой теореме Габбера. Никаких предварительных знаний об IC-пучках от слушателей не потребуется.
На четырёхмерном многообразии энгелева структура -- это двумерное
подрасслоение с некоторым специальным условием на его неинтегрируемость.
С поиском геодезических на таких многообразиях знаком всякий, кто
наблюдал процесс парковки машины. Я расскажу про энгелевы структуры на
проективных алгебраических многообразиях и про то, какие они дают
ограничения на их алгебраическую геометрию (например, что все энгелевы
многообразия, за исключением одного случая, являются унилинейчатыми).
Андрей Коновалов (ВШЭ)
Контрпример к гипотезы Каваматы и теорема Анеля-Тоэна
Производная категория проективного многообразия содержит значительную
информацию о многообразии, а иногда (в случае обильного канонического
расслоения) даже определяет его однозначно с точностью до изоморфизма.
Естественный вопрос: как много существует гладких проективных многообразий
с производной категорией, эквивалентной данной. Я построю пример Lesieutre
счетного числа неизоморфных многообразий с эквивалентными производными
категориями и освещу идеи, стоящие за доказательством Анеля-Тоэна теоремы о
не более чем счетности числа гладких проективных комплексных многообразий с
заданной производной категорией.
По просьбам публики, я расскажу про деформации пуассоновых алгебр и пуассоновых многообразий (в основном по моей старой статье с В. Гинзбурогм, где в приложении был записан набросок этой теории). Я постараюсь рассказывать максимально конкретно, а так же разобрать конкретные примеры, которые в основном происходят из теории симплектических особенностей. Что такое пуассоново многообразие, и зачем они нужны, я тоже объясню.
Я хочу рассказать, следуя Низендорферу и Миллеру, о том, почему k-связные многообразия размерности 4k+2 формальны, и ещё немного о том, что можно сказать про формальность в размерности 4k+3.
Лёва Суханов (ВШЭ)
2-аналог уравнения коммутатитивности.
"Уравнение коммутативности" - версия WDVV, которой удовлетворяют производящие функции числа орбит, проходящих через заданный набор циклов для $\mathbb{C}^{\ast}$, действующего на проективном многообразии $X$. Я объясню, как решать это уравнение для $X = P^n$, и предъявлю его (гипотетический) аналог для действия $(\mathbb{C}^{\ast})^2$. Этот доклад можно считать продолжением доклада, который состоится 23 числа на аспирантском семинаре, однако все необходимые определения будут даны заново.
Вот про все это я и попробую рассказать. Для понимания стоит знать что такое симплектическая и контактная структуры, лагранжево и лежандрово многообразие.
Богдан Завьялов (ВШЭ)
Альтерации Де Йонга.
Известно, что любое многообразие над полем характеристики 0 бирационально изоморфно гладкому. Это очень сложный результат 1964 года, принадлежащий Хиронаке. В конечной характеристике это открытый вопрос уже в размерности 4. Следуя статьям Де Йонга, я расскажу другой подход к разрешению особенностей, работающий в любой характеристике. Теорема Де Йонга говорит, что для любого многообразия X над полем k существует регулярное многообразие X' и альтерация X' ---> X. В отличии от результата Хиронаки --- эта теорема очень простая. Я расскажу её доказательство и, если останется время и силы, её арифметический или относительный случай. Все необходимые определения и результаты, в частности, определение альтерации, я буду пытаться формулировать по ходу доклада.
Я постараюсь рассказать о категорном обобщении теории Галуа, его связях с пространствами, старшими категориями и когомологиями. Предварительных знаний не требуется.
Богдан Завьялов (ВШЭ)
Альтерации Де Йонга (продолжение).
Этот доклад будет продолжением доклада, состоявшегося 3 декабря. Слушателям желательно посмотреть определение стэка. Известно, что любое многообразие над полем характеристики 0 бирационально изоморфно гладкому. Это очень сложный результат 1964 года, принадлежащий Хиронаке. В конечной характеристики это открытый вопрос уже в размерности 4. Следуя статьям Де Йонга, я расскажу другой подход к разрешению особенностей, работающий в любой характеристике. Теорема Де Йонга говорит, что для любого многообразия X над полем k существует регулярное многообразие X' и альтерация X' ---> X. В отличии от результата Хиронаки --- это теорема очень простая. Я расскажу её доказательства и если останется время и силы её арифметический или относительный случай. Все необходимые определения и результаты, в частности определение альтерации, я буду пытаться формулировать по ходу доклада. Также я напомню, что было доказано в прошлый раз.
Элементы SL(2,R), как многим известно, допускают простую классификацию: матрица 2x2 называется эллиптической, если ее след лежит в интервале ]-2, 2[, параболической, если он равен 2 или -2, и гиперболической в противном случае. Аналогичная классификация имеет место для группы движений пространства Лобачевского(нелишне напомнить, что PSL(2,R) есть группа движений плоскости Лобачевского). Оказывается, что эта классификация имеет много применений в науке об автоморфизмах комплексных многообразий. Для кэлеровых поверхностей и для гиперкэлеровых многообразий автоморфизмы тоже делятся на гиперболические, параболические и эллиптические, и их геометрия досконально описывается в терминах этой классификации. Я определю пространство Лобачевского, расскажу, как классифицировать его автоморфизмы, и объясню, каким геометрическим явлениям голоморфной динамики отвечает эта классификация. Для первой половины доклада не нужно ничего (понадобится определение многообразия и римановой метрики разве что), во второй половине я буду пользоваться некоторыми понятиями комплексной геометрии (кэлеровы многообразия, проективные многообразия, разложение Ходжа).
Лёша Голота (ВШЭ)
Группа бимероморфных автоморфизмов непроективного гиперкэлерова многообразия
Следуя статье Keiji Oguiso, я расскажу о том, как устроена группа бимероморфных автоморфизмов компактного гиперкэлерова многообразия, не являющегося проективным. Основной результат, который я докажу, такой: эта группа есть расширение свободной абелевой группы конечного ранга и конечной группы. Если останется время, я расскажу о некоторых следствиях этой теоремы.
Неравенства Громова и Бузера позволяют оценить сверху число собственных чисел оператора Лапласа, не превышающих данной величины, в терминах геометрических характеристик многообразия. Оригинальные доказательства этих неравенств опирались на изощрённые вариационные методы. Я расскажу весьма простые их доказательства, полученные недавно Асмой Хассаннежад, Герасимом Кокаревым и Иосифом Полтеровичем. Перед этим я напомню все необходимые факты из анализа и римановой геометрии.
Дима Пирожков (Columbia)
Generic vanishing theorem и производные категории
Теорема Кодаиры о занулении говорит, что для обильного линейного расслоения L у K+L нет когомологий, кроме нулевых. Generic vanishing theorem --- это наблюдение о том, что происходит, если вместо обильного расслоения брать различные L из Pic^0. Я расскажу её доказательство, придуманное Hacon'ом.
Пусть на многообразии M задана замкнутая комплекснозначная дифференциальная форма W такая, что ее ядро A (то есть множество векторов, на которых W зануляется) равно Т^{0,1}M для почти комплексной структуры I (собственным пространством для собственного значения -i). В такой ситуации, I интегрируемая. (то есть комплексная структура, а не только почти комплексная). Хитчин пользовался этим механизмом для того, чтобы описать комплексные структуры на трехмерном многообразии Калаби-Яу. Я вкратце изложу конструкцию Хитчина и определю "поток Хитчина" на 3-формах на 6-мерном многообразии. Также это рассуждение применяется для того, чтобы строить деформации комплексной структуры на голоморфном симплектическом многообразии, деформируя голоморфную симплектическую форму с сохранением ранга. Например, если W голоморфно симплектическая форма, а w замкнутая (1,1)-форма половинного ранга, зануляющаяся на лагранжевом слоении, то W+w - голоморфно симплектическая форма деформированной комплексной структуры. Если w получается как пуллбэк кэлеровой формы на базе лагранжевого слоения, соответствующая деформация называется деформацией Шафаревича-Тэйта, или же вырожденной твисторной деформацией. Я расскажу, как построить эту деформацию, опишу ее основные свойства, и сформулирую несколько открытых вопросов. Слушателям понадобится знание базовых понятий дифференциальной геометрии: комплексные структуры, кэлеровы формы, разложение Ходжа.
Дмитрий Кубрак (MIT)
"Спуск некоторых классов группы Брауэра для некоторых разрешений"
По пучку алгебр дифференциальных операторов на гладком многообразии в характеристике р и дифференциальной форме на нем можно построить алгебру Адзумаи. Я расскажу о том когда для разрешения особенностей соответствующий класс в группе Брауэра спускается на базу разрешения. Этот вопрос имеет отношение к построению экзотических t-структур на производных категориях когерентных пучков симплектических разрешений.
i-ая группа Гриффитса Gr^i(X) гладкого проективного многообразия X есть группа гомологичных нулю циклов коразмерности i с точностью до алгебраической эквивалентности. Многие люди, не исключая и самого Гриффитса, строили примеры многообразий с бесконечным рангом группы Gr^2. Я расскажу пример, принадлежащий Нори: вторая группа Гриффитса общего трёхмерного абелева многообразия имеет бесконечный ранг.
Дмитрий Кубрак (MIT)
"Спуск некоторых классов группы Брауэра для некоторых разрешений"
По пучку алгебр дифференциальных операторов на гладком многообразии в характеристике р и дифференциальной форме на нем можно построить алгебру Адзумаи. Я расскажу о том когда для разрешения особенностей соответствующий класс в группе Брауэра спускается на базу разрешения. Этот вопрос имеет отношение к построению экзотических t-структур на производных категориях когерентных пучков симплектических разрешений.
Твисторное пространство какого-либо многообразия, грубо говоря, является пространством, параметризующим комплексные структуры на этом многообразии, согласованные с имеющимися на нём геометрическими структурами. Я расскажу сначала про ``обобщённую геометрию'' в смысле Хитчина и Гвалтьери (обобщённые комплексные, кэлеровы, кватернионные структуры), а потом про связанные с ней твисторные пространства.
Саша Петров
p-адическое интегрирование на алгебраических многообразиях
Будет рассказано про теорему Кольмеза. Пусть X -- гладкое многообразие над p-адическим полем K. Тогда на множестве точек X(K) можно ввести p-адическую топологию и пучок локально аналитических функций, ровно так же, как на многообразиях над комплексными числами. Однако имеется разительное отличие от комплексной ситуации -- любая замкнутая 1-форма на открытом по Зарисскому подмножестве равна дифференциалу от локально аналитической функции. Доказательство проводится сведением к абелевым многообразиям с помощью отображения Альбанезе, а для абелевых многообразий доказывается с помощью элементарной топологии.
Классы Черна векторных расслоений могут быть определены как обратный образ когомологий $B GL_n (C)$. А могут и через конструкцию Черна-Вейля (рассмотреть некоторую связность на расслоения и взять инвариантный полином от кривизны). Оба эти подхода можно обобщить для произвольной структурной группы Ли G (с различным успехом в зависимости от G). Гомоморфизм Черна-Вейля связывает результаты двух этих конструкций. Я буду следовать классической работа Ботта "On the Chern-Weil homomorphism and the continuous cohomology of Lie groups". Я опишу этот гомоморфизм в чисто топологических терминах и, в частности, покажу, что он является изоморфизмом для компактных групп. Основные технические инструменты приходят из симплициальной науки (возникают даже производные от неабелевых функторов). Доклад предполагается очень простым и нацеленным на младшекурсников. Все необходимые понятия будут определены.
Миша Вербицкий (ВШЭ)
Гиперкэлерова структура на пространстве модулей
плоских расслоений
Я расскажу о симплектической редукции и ее гиперкэлеровом аналоге, построенном в [HKLR] (Hitchin, Karlhede, Lindstrom, Rocek, Hyperkahler metrics and supersymmetry, Comm. Math. Phys. 108, (1987) 535-589.) В качестве применения, я расскажу, как доказать, что пространство плоских расслоений на комплексной кривой гиперкэлерово. Слушателям понадобится знание основ дифференциальной геометрии (симплектические формы, группы Ли, комплексные многообразия).
Теорема Чигера - Громолла утверждает, что если в полное связное риманово многообразие неотрицательной кривизны Риччи изометрически геодезически вложена прямая, то это многообразие раскладывается в произведение прямой на какое-то подмногообразие. Я расскажу доказательство теоремы Чигера-Громолла и, если останется время, скажу про следующие из нее ограничения на топологию компактных многообразий неотрицательной кривизны Риччи. Для понимания доклада достаточно знать, что такое риманово многообразие, все остальные необходимые определения я дам.
Денис Терёшкин (ВШЭ)
Проблема реализации Нильсена
Довольно часто последовательность Diff(S) \to Diff_0(S) \to Map(S) для поверхности S не расщепляется, причём сечение не получается построить даже для небольших подгрупп Map. Вопрос о том, когда именно это случается, называется проблемой реализации Нильсена. Я расскажу о методах её решения с применением разных методов -- когомологических, геометрических и комбинаторных. По пути нам встретится неравенство Милнора-Вуда, которое я докажу и немного поговорю о его обобщениях. Слушателям пригодится знакомство с характеристическими классами.
Я покажу, как интегрируемая система Хитчина для GL_n получается из производной категории когерентных пучков на кривой (воспринимаемой как DG категория). При этом гамильтонианы Хитчина окажутся когомологиями Хохшильда высшего порядка от этой DG категории.
Nick Howell (Oregon)
Introduction to 1-motives
Deligne introduced a suitable candidate for an abelian category of mixed motives of dimension <= 1, called 1-motives. I will give an overview of the state of this theory and relate it to Voevodsky's triangulated category of motives. Given time, I will explain a joint result with Vadim Vologodsky: the appropriate quotient of the limit of Hodge structures of a semistable degeneration has a 1-motivic lift.
Я расскажу про обобщение понятия энриквесовых поверхностей в старшие размерности по статье Oguiso, Schroer (Enriques manifolds). Потом я построю несколько примеров таких многообразий с помощью действия группы перестановок на схеме Гильберта Hilb^n(S).
Богдан Завьялов (ВШЭ)
Кристаллические когомологии и обобщение квази-изоморфизма Делиня--Иллюзи.
В 70ых годах Гротендик, пытаясь построить аналог этальных когомологий для l=p, придумал кристаллические когомологии. Сначала я подробно объясню что это такое, объяснив все мотивации к такому определению. Я расскажу основные свойства, а также способы подсчёта этих когомологий. В качестве примера приложения я докажу аналог квази-изоморфизма Делиня--Иллюзи для (формально) гладких (формальных) схем над $p$-адической базой. Доклад будет понятен продвинутым второкурсникам.
Кривая Броди есть голоморфное отображение из \C в комплексное эрмитово многообразие, производная которого ограничена: |df| \leq 1. Метрика Кобаяши на комплексном многообразии M есть максимальная псевдометрика d на М такая, что любое голоморфное отображение из диска с метрикой Пуанкаре в (M,d) сжимающее. Многообразие называется гиперболическим по Кобаяши, если метрика Кобаяши невырожденна. Я докажу лемму Броди, которая утверждает, что на любом компактном многообразии, которое не гиперболично по Кобаяши, найдется кривая Броди, и свяжу с ней поток интегрирования, который называется потоком Альфорса. Если M кэлерово, поток Альфорса задает нетривиальный элемент во вторых гомологиях, аналогичный потоку интегрирования по кривой. Слушателям нужно знать начала комплексной геометрии: что такое голоморфное отображение, комплексное многообразие, эрмитова метрика, дифференциальная форма.
Алексей Голота (ВШЭ)
Потоки Альфорса и голоморфные кривые на комплексных
многообразиях
Целая кривая на комплексном многообразии X это непостоянное голоморфное отображение f : \mathbb{C} --> X. Такой кривой можно сопоставить замкнутый положительный поток T_f, который называется потоком Альфорса (или Альфорса-Неванлинны). Эти потоки очень полезны для изучения кривых на комплексных многообразиях, не гиперболичных в смысле Броуди. В докладе я расскажу, как строить потоки Альфорса, и докажу обобщение леммы Броуди о репараметризации, следуя статье Ж. Дюваля.
Амёбой алгебраического многообразия $V\subset(\mathbb{C}^*)^n$ называется его образ при логарифмическом отображении $\log(z_1,\dots,z_n)=(\log |z_1|,\dots,\log |z_n|).$ Оказывается геометрия амёбы устроена довольно разумным образом: с одной стороны она кодируется геометрией алгебраического многообразия $V$, с другой стороны она тесно связана с геометрией тропических многообразий, которые можно рассматривать как пределы амёб при подходящих деформациях $V.$ В докладе я дам обзор основных фактов о геометрии амёб и, если успею, расскажу о их связи с тропической геометрией.
Миша Вербицкий (ВШЭ)
Алгебраическая размерность нильмногообразия
Комплексное нильмногообразие есть фактор нильпотентной группы Ли, снабженной левоинвариантной комплексной структурой, по дискретной, кокомпактной подгруппе. Нильмногообразия (кроме тора) никогда не кэлеровы и не алгебраичны. Я расскажу, как выразить алгебраическую размерность нильмногообразия в терминах его алгебры Ли. Среди прочего, оказывается, что любая мероморфная функция на M поднимается с некоторой явно заданной проекции из M в комплексный тор. Это совместная работа с Анной Фино и Гео Гранчаровым. Лекция будет понятна студентам, которые знают основы комплексной алгебраической геометрии (алгебру де Рама, разложение Ходжа, рациональные отображения).
Я планирую рассказать о многомерных обобщениях систем ортогональных полиномов, собственных относительно оператора второго порядка. Эта весьма любопытная наука, развитая Домиником Бакри, использует много идей из алгебраической геометрии и теории инвариантов. В докладе будет про классификацию этих систем в размерности 2 (и то, почему для максимальной степени системы оператор - лапласиан относительно метрики постоянной кривизны), большой список интересных многомерных примеров, а также я, вероятно, задам какие-то вопросы непосредственно относящиеся к алгебраической геометрии.
Симплектическая редукция и гиперкелерова редукция имеют
бесконечномерный аналог. Про пример такой конструкции в
этом году рассказывал Миша Вербицкий (для случая
калибровочной группы, действующей на пространстве
связностей). Следуя работе S. K. Donaldson "Moment Maps
and Diffeomorphisms" я расскажу о других интересных
примерах следующего типа. На пространстве каких-то
отображений из многообразия S в X действует подгруппа
диффеоморфизмов S (например, на вложениях из специального
лагранжева подмногообразия S в симплектическое
многообразие M действует группа диффеоморфизмов S,
сохраняющих ограничение голоморфной формы объёма). В
некоторых из этих примеров мы вычислим размерность
симплектичекого фактора и проанализируем условия
стабильности.
Родион Деев (ВШЭ)
Действия групп и некэлеровы многообразия
Я расскажу про некоторые новые конструкции некэлеровых многообразий, а именно про комплексные структуры на тотальных пространствах главных расслоений над комплексным многообразием, на которых действует максимальная компактная подгруппа комплексной редуктивной группы Ли.
Неравенство Гротендика-- это факт, нетривиальным способом связывающий
гильбертово пространство (L^2) с двумя фундаментальными банаховыми
пространствами (L^1 и L^\infty). В своем докладе я расскажу о разных формах
этого неравенства, а также зачем оно нужно и какова его связь с нормами на
тензорных произведениях банаховых пространств. Кроме того, я собираюсь
рассказать о том, как получаются явные оценки для констант Гротендика и
поговорить об обобщениях."
Миша Вербицкий (ВШЭ)
Обобщение формы Богомолова-Бовилля-Фуджики
Форма Богомолова-Бовилля-Фуджики (BBF) есть канонически определенное спаривание на вторых когомологиях гиперкэлерова многообразия M. Ее можно определить как единственную (с точностью до константы) билинейную форму, совместимую с разложением Ходжа для любой из деформаций гиперкэлеровой структуры на M. Я расскажу, как определить форму, совместимую со всеми разложениями Ходжа, для любых четномерных когомологий; такая форма обобщает спаривание BBF. Это результат, полученный совместно с Никоном Курносовым.
Теорема Эрла-Илса утверждает, что связная компонента группы диффеоморфизмов
почти любой римановой поверхности стягиваема. Существует два доказательства
этой теоремы: одно, оригинальное, аналитическое и другое, чуть более
позднее, топологическое. После небольшой спекуляций про группы
диффеоморфизмов я собираюсь рассказать второе доказательство.
Андрей Коновалов (ВШЭ)
Рациональные кривые на К3
Я расскажу о том, что на К3 с нечетным Пикаром много рациональных кривых.
В 1985 году Бовиль и Донаги показали, что
схема Гильберта прямых на четырехмерной кубической
гиперповерхности обладает гиперкэлеровой структурой.
Я расскажу доказательство этого факта и его интерпретацию
через производные категории. Кроме того, мы обсудим
как связана схема прямых на кубике со схемами Гильберта
К3 поверхностей для некоторых классов специальных кубик.
Если хватит времени, я расскажу про другие гиперкэлеровы
многообразия, связанные с четырехмерной кубикой.
Андрей Коновалов (ВШЭ)
Рациональные кривые на К3
Я расскажу о том, что на К3 с нечетным Пикаром много рациональных кривых.
На K3 поверхностях (в характеристике ноль и на
несуперсингулярных K3 поверхностях в характеристике p) не
бывает одномерных семейств рациональных кривых. Тем не
менее есть гипотеза о том, что рациональных кривых на K3
поверхностях все же бесконечно много. Эта гипотеза
доказана в ряде случаев; мы обсудим результаты, полученные
к настоящему времени, и докажем гипотезу в случае
нечетного ранга группы Пикара (в частности, в случае
ранга 1).
Ренат Абугалиев (ВШЭ)
Гипотеза Блоха
В 69-ом году Мамфорд доказал следующую теорему: если у гладкой комплексной проективной поверхности есть ненулевая голоморфная 2-форма, то её группа Чжоу 0-циклов бесконечномерна. Спустя несколько лет Блох предположил, что обратное тоже верно. Также он доказал это для поверхностей необщего типа (для поверхностей общего типа эта гипотеза доказана лишь в нескольких частных случаях). Я собираюсь пересказать это доказательство. От слушателей достаточно каких-то знаний о геометрии поверхностей.
Конструкция поляризации устанавливает взаимно однозначное соответствие между полиномиальными и мультилинейными формами над полями характеристики 0. Важный частный пример -- построение по различным мерам выпуклых тел смешанных мер наборов таких тел. Таким образом, в частности, получается понятие смешанного объема, играющее важную роль в алгебраической геометрии. Мы строим аналог смешанного объема целочисленных многогранников, принимающий значения в поле из двух элементов. Этот 2-смешанный объем интересен тем, что, с одной стороны, не может быть получен стандартной конструкцией поляризации, а с другой -- столь же естественен, как и классический смешанный объем -- в частности, также играет важную роль в алгебраической геометрии. Для иллюстрации этой роли, мы получаем в терминах 2-смешанного объема замкнутую формулу для знаков старших коэффициентов смешанных разреженных результантов, которые ранее были явно вычислены только в некоторых частных случаях.
P.S. От слушателей никаких предварительных знаний не требуется -- все необходимые определения будут даны в ходе доклада. Ещё будет много картинок и примеров. Приходите и приводите друзей <(^_^<)
Миша Вербицкий (ВШЭ)
Алгебраическая гиперболичность и негиперболичность
Кэлерово многообразие называется алгебраически гиперболическим, если любая комплексная кривая C в нем удовлетворяет g(C)/Vol(C) > A, для какой-то константы A>0. В этой формуле g(C) есть род кривой, а Vol(C) ее риманов объем (степень, если наше многообразие проективно). Я расскажу доказательство того, что проективные гиперкэлеровы многообразия не гиперболичны, следуя нашей работе с Людмилой Каменовой. Если хватит времени, я напомню формулировку и доказательство леммы Броди, и расскажу, как из леммы Броди вытекает теорема Демайи (*). Для понимания выступления будет достаточно знать основы комплексной алгебраической геометрии (кэлеровы многообразия, кэлеров конус, вот это все).
Я расскажу, как строится теория деформаций для стабильных векторных расслоений на кэлеровых многообразиях, каким образом она связана с уравнением Маурера-Картана в дифференциальной градуированной алгебре форм с коэффициентами в расслоении, и как строить деформации на гиперкэлеровом многообразии, когда она формальна. Если хватит времени, я расскажу два сюжета, связанных с теорией деформаций: как строятся обобщенные произведения Масси на дифференциальной градуированной алгебре (Бабенко, Тайманов), и как их выразить через уравнение Маурера-Картана, и интерпретацию Маурера-Картана в терминах бесконечномерных супермногообразий, предложенную Концевичем. От слушателей будет нужно знакомство с основами дифференциальной геометрии: связности, расслоения, кэлеровы метрики, алгебра де Рама, вот это все.
Родион Деев (ВШЭ)
Эллиптические слоения на K3-поверхностях
и числа Салема максимальной степени
Я расскажу, почему у суперсингулярной K3-поверхности над полем нечётной характеристики всегда есть автоморфизм, энтропия которого --- логарифм числа Салема степени 22.
Я расскажу, почему у суперсингулярной K3-поверхности над полем нечётной характеристики всегда есть автоморфизм, энтропия которого --- логарифм числа Салема степени 22.
Артём Калмыков (ВШЭ)
Зеркальная симметрия для якобианов гиперэллиптических кривых
По Гивенталю зеркальная симметрия для nef полных пересечений в торических многообразиях может быть сформулирована как равенство двух формальных функций, одна из которых (J-функция) связана с инвариантами Громова-Виттена, а другая (I-функция) задана явно и гипотетически содержит в себе решения уравнений Пикара-Фукса зеркального семейства. Я расскажу, как с помощью абелева/неабелева соответствия можно явно вычислять J-функцию для чуть более широкого класса многообразий, в частности для Якобианов гиперэллиптических кривых, для которых интерпретирую ее коэффициенты как решения уравнений Пикара-Фукса определенного семейства абелевых многообразий. Затем я расскажу, почему это семейство может считаться зеркальным.
В своём докладе я расскажу про ограничения на числа Бетти шестимерных гиперкэлеровых многообразий, получающиеся обобщением результатов Гуана. Во второй части доклада будет рассказано про абсолютно трианалитические многообразия. Ранее Вербицкий и Солдатенков показали, что в многообразиях О'Грэди нет абсолютно трианалитических торов, более того в многообразии О'Грэди размерности десять вообще нет трианалитических подмногообразий известного типа. Я расскажу, почему нет абсолютно трианалитических торов и в случае обобщённых многообразий Куммера.
Пусть Х-четырехмерное неприводимое голоморфно-симплектическое многообразие, D- гладкий неприводимый дивизор на Х и F-слоение на D, заданное ядром ограничения 2-формы. Предположим, что общий лист F не является компактным, но существует рациональное расслоение p: D -> B дивизора на поверхности такое, что любой лист F содержится в замыкании некоторого слоя p. Оказывается, что при таких условиях замыканием общего слоя p может быть только лагранжев тор, из чего по недавно доказанной гипотезе Бовиля следует, что p продолжается до расслоения всего Х. Я попробую рассказать доказательство этого факта.
Миша Вербицкий (ВШЭ)
Усреднение
Пусть V есть представление редуктивной группы G. Поскольку категория представлений G полупроста, существует и единственна G-инвариантная проекция V на пространство V_{inv} G-инвариантных векторов. Эта операция называется усреднением. Если G компактна, это операция переводит v в среднее gv по всем g\in G, но если G некомпактна, у нее нет такого простого описания. В частности, усреднение v не всегда лежит в выпуклой оболочке орбиты Gv. Я расскажу геометрическое доказательство следующего факта: если усреднение v не лежит в в выпуклой оболочке орбиты Gv, то стабилизатор v в G компактен. Доказательство основано на существовании канонической финслеровой метрики на выпуклых подмножествах проективного пространства, которая называется "метрика Гильберта"; она является вещественном аналогом метрики Кобаяши, известной из комплексной геометрии. Доказательство не требует никаких дополнительных знаний и должно быть понятно студентам, знакомым с определением группы Ли и многообразия.
Я расскажу про гомоморфизм Зайделя из фундаментальной группы от группы симплектоморфизмов в мультипликативную группу квантовых когомологий.
Никон Курносов (ВШЭ)
Торические гиперкэлеровы многообразия
Я расскажу о торических гиперкэлеровых многообразиях, которые являются гиперкэлеровыми факторами кватернионных векторных пространств относительно действия тора. В работах Конно, Хойзеля, Штурмфельса рассказано про устройство кольца когомологий, числа Бетти торических гиперкэлеровых орбифолдов
Я начну с некоторого ликбеза про модельные категории (хотя многие этот материал знают, может быть полезно его повторить). Потом расскажу, как получать триангулированные категории из модельных, и как это помогает склеивать триангулированные категории (в том числе в ситуациях, когда обычные DG-методы не работают вообще или работают плохо).
В докладе я коротко расскажу про минимальные модели для
нильмногообразий и критерий формальности Q-минимальной
модели.
Гриша Папаянов (ВШЭ)
Некоторые наблюдения о нильпотентных алгебрах Ли над Q.
Комплекс Шевалле нильпотентной алгебры Ли является минимальной сулливановской алгеброй, значит, их можно пытаться изучать с точки зрения рациональной теории гомотопий и вообще гомологической алгебры. Рассматривая вместо алгебры Шевалле квазиизоморфную ей А-бесконечность алгебру её когомологий, можно получить очень простое описание нижних центральных факторов нашей алгебры Ли. Комбинируя это описание с некоторыми фактами об унипотентном пополнении, можно получить новое доказательство (рационального варианта) теоремы Столлингса о том, что если отображение групп индуцирует изоморфизм на H^1 и вложение на H^2, то оно индуцирует изоморфизм унипотентных пополнений. Вообще всё это придумалось с надеждой на применение к гипотезам, утверждающим что наличие разнообразных геометрических структур на алгебре Ли влечет за собой ограничение на длину нижнего центрального ряда, но пока результатов в этом направлении маловато. Для понимания доклада достаточно знать, что такое алгебра Ли и что такое когомологии комплекса, обо всем остальном я расскажу про ходу доклада
Конструкция Куга-Сатаке позволяет построить нам по
структуре Ходжа веса 2 структуру Ходжа веса 1. Например,
из вторых когомологий поверхности мы можем получить
комплексный тор. Я собираюсь напомнить определение чистой
структуры Ходжа, пересказать саму конструкцию и привести
несколько интересных примеров.
Гриша Папаянов (ВШЭ)
Деформации замкнутых форм на многообразии
Задача о деформации замкнутых форм на многообразии включает в себя, в числе прочих, задачи о деформациях многообразий Калаби-Яу и метрик с голономией G_2. Рюши Гото придумал общий способ описания таких деформаций, позволяющий в определенных случаях показать, что препятствий к деформациям не существует. Я хочу рассказать про объяснение уравнений Гото с помощью гомологической алгебры.
Я расскажу доказательство теоремы о том, что фундаментальная группа
кэлерова многообразия имеет не больше одного конца, то есть, иными
словами, либо она конечна, либо ее граф Кэли связен на бесконечности.
Из этого, например, следует, что подобные группы не расщепляются в
свободные произведения. В доказательстве применяются $l^2$ --
когомологии и другая полезная и красивая техника. Все необходимые
определения будут даны.
Миша Вербицкий (ВШЭ)
Тензорная категория полустабильных расслоений на
К3-поверхности и торе
Пусть C есть (таннакиева) категория полустабильных расслоений на K3 поверхности или комплексном торе размерности 2, все стабильные подфакторы которых имеют нулевой c_1 (для общих неалгебраических поверхностей это категория всех полустабильных расслоений). Я расскажу, как доказать, что эта категория не зависит от выбора К3-поверхности или тора. Связанная с C по теореме Делиня-Танаки группа играет для полустабильных расслоений ту же роль, что фундаментальная группа для категории плоских расслоений. Я расскажу про таннакиевы категории, теорему Делиня-Таннаки и стабильность расслоений, но для понимания остального понадобится знание основ алгебраической геометрии (кэлеровы многообразия, голоморфные расслоения, эрмитовы метрики, кривизна).
Я расскажу о примере Серра многообразия X,
определенного над конечным расширением поля рациональных
чисел K, таком, что для разных вложений поля K в поле
комплексных чисел соответствующие X комплексные
многообразия имеют разные фундаментальные группы. Пример
основан на теории комплексного умножения эллиптических
кривых. Таким образом, алгебраическая структура
многообразия не "видит" гомотопический тип
многообразия. Если останется время, я расскажу о том, что
алгебраическая структура все же видит часть
фундаментальной группы, что приведет к понятию этальной
фундаментальной группы и этальных когомологий.
Николай Коновалов (ВШЭ)
Третья стабильная гомотопическая группа сфер
Мы окунемся в атмосферу топологии 50-х, когда были вычислены первые и вторые стабильные гомотопические группы сфер с помощью спектральных последовательностей Лере, а для третьей гомотопической группы возникла проблема расширения. Я расскажу пару способов как её можно решить..
Я расскажу по статье Оу о том, как могут быть устроены
лагранжевы расслоения над произвольными четырёхмерными
многообразиями.
Николай Коновалов (ВШЭ)
EHP спектральная последовательность.
Я аккуратно покажу существование этой последовательности (как и её аналогов в p-локальной категории) и построю из длинных точных последовательностей гомотопических групп классическую спектральную последовательность EHP. После чего мы посчитаем еще что-нибудь интересное в гомотопических группах сфер.
По каждому числовому полю с ненулевым числом комплексных и вещественных вложений можно построить некэлерово комплексное многообразие, которое называется "Многообразие Олеклауса-Тома". В размерности два таким образом получаются поверхности Инуэ. Я расскажу об этой конструкции, опишу свойства этих многообразий, и расскажу про классификацию некэлеровых поверхностей. Во второй половине я расскажу об обобщении таких многообразий, придуманных недавно, где роль числовых полей выполняют структуры Ходжа. Содержание доклада должна быть понятно студентам, знакомым с основами теории чисел, топологии и основами комплексного анализа.
Известно, что любое замкнутое ориентируемое 3-многообразие получается из S^3 перестройкой по некоторому оснащённому зацеплению. При перестройках по разным зацеплениям полученные многообразия могут оказаться диффеоморфны; теорема Кирби говорит, что это равносильно тому, что зацепления получаются друг из друга последовательностью некоторых перестроек заданного вида. Бруно Мартелли доказал, что их можно свести к конечному числу локальных перестроек. я попробую рассказать доказательства этих утверждений. никаких предварительных знаний о трёхмерных многообразиях не требуется.
Владимир Гавран
Пространство деформаций касательного расслоения схемы Гильберта точек.
Я расскажу доказательство жесткости касательного расслоения на схеме Гильберта двух точек К3 поверхности. Изложение будет элементарным. Затем расскажу о имеющихся на текущий момент продвижениях для схем Гильберта больших размерностей, а также схожие вопросы и возможные обобщения для других многообразий.
Любая поверхность в клеточку наделена естественной комплексной структурой и голоморфной 1-формой. Я начну с абсолютно элементарного рассказа о том, почему поверхности в клеточку задают ``целые точки'' в пространстве модулей голоморфных 1-форм, и как подсчет таких ``целых точек'' позволил Саше Эскину и Андрею Окунькову посчитать объемы пространств модулей голоморфных 1-форм.
Потом, используя версию теоремы Ратнер, я докажу, что поверхности в клеточку фиксированного геометрического типа не могут накапливаться в каких-то отдельных областях пространства модулей, а обязаны быть одинаково распределены повсюду.
Используя комбинаторную интерпретацию поверхностей в клеточку, формулу Фробениуса и ее следствие, полученное Загиром, мы посчитаем число поверхностей, склеенных из единственного цилиндра подходящим отождествлением отрезков границы. В качестве приложения равнораспределенности и простой формулы для числа одноцилиндровых поверхностей в клеточку, мы численно посчитаем приближенные значения объемов пространств модулей.
В конце доклада я расскажу о гипотезах и экспериментальных результатах описывающих геометрию поверхностей в клеточку большого рода. Для больших родов возникают удивительные эффекты асимптотической универсальности. Одну из наших гипотез (об асимптотике объемов пространств модулей абелевых дифференциалов) совсем недавно доказали Мартин Мёллер, Давей Чен, и Дон Загир.
Я надеюсь сделать доклад доступным для второкурсников и старше. Пугающие термины вроде ``разветвленного накрытия'', ``пространсва модулей'', ``теоремы Ратнер'' будут использованы в простом контексте и описаны неформально.
Тригонометрические функции естественным образом связаны с вращениями плоскости, формулы сложения аргументов (теоремы синусов, косинусов) -- с групповым законом композиции вращений. Аналогичная связь существует между гиперболическими функциями и движениями плоскости Лобачевского, некоторыми проективными преобразованиями. Имеются подобные связи между эллиптическими функциями бирациональными преобразованиями плоскости. Главная цель лектора -- описание последних объектов и их взаимосвязей.
Семён Абрамян(ВШЭ)
О связи умножений Уайтхеда, Самельсона и Понтрягина
Будет рассказано о существовании изоморфизма
$\pi_n(X) \to \pi_{n-1}(\Omega X)$, переводящего
умножение Уайтхеда в умножение Самельсона, такого
что образ его композиции с гомоморфизмом Гуревича
лежит в коммутаторе алгебры Понтрягина.
Никон Курносов(ВШЭ)
О инварианте монодромии
Расскажу о лагранжевых расслояниях обобщённого
многообразия Куммера и их связи с инвариантом монодромии
по недавней работе Винека. В своё время инвариант
монодромии изучал Маркман для схем Гильберта на K3.
Гриша Папаянов (Northwestern)
О суперсвязностях.
Миша Вербицкий
Миша Вербицкий
О примитивности гиперплоского сечения для лагранжевых
расслоений
| Laboratory of Algebraic Geometry and its Applications |