archive: 2011-2016

A seminar on geometric structures on manifolds

For first-time visitors: please see the directions at the separate page.

Every Thursday, 18:30, Usacheva 6, room 306


Next session

December 13, 2018

Ильяс Байрамов
Categories of manifolds (продолжение)

If two smooth manifolds are homeomorphic, are they also diffeomorphic? I will start by discussing some historical results of R.H. Bing, Freedman, Kirby et al. in 2, 3, and 4 dimensions, related to this question. I will try to highlight the underlying combinatorics of such problems, and then discuss some recent applications to quantum computing.

Иван Солоненко
Униформизация и штейновость

В этом докладе, следуя недавней статье Немировского и Шафикова, я расскажу, почему единичный шар в C^n - единственное комплексное многообразие, которое может универсально накрывать как штейновы, так и нештейновы строго псевдовыпуклые области.

Future seminars

Past seminars

January 12, 2017

Сергей Галкин (ВШЭ)
Октонионы и проективные плоскости

Я расскажу про естественные конструкции исключительных групп G2, F4, E6 и решётки E8 в терминах октонионов и проективной плоскости. Затем я расскажу кое-что об алгебраической и метрической геометрии проективных плоскостей над R,C,H,O. От слушателей желательно умение оперировать эрмитовыми матрицами 2x2 и 3x3.


Саша Петров (ВШЭ)
"Некоммутативная теорема Делиня-Иллюзи по Каледину"
Я напомню классическую теорему Делиня-Иллюзи о том, что для гладкого собственного многообразия X над совершенным полем k характеристики p, допускающего подъем на W_2(k) и при достаточно большом p спектральная последовательность Ходжа-де Рама вырождается. Затем я попробую рассказать о том, что можно считать некоммутативным аналогом спектральной последовательности Ходжа-де Рама и намечу доказательство аналогичной теоремы.

Januar 19, 2017

Дима Пирожков (Columbia)
Стабильные расслоения и морфизм Фробениуса

Я расскажу про одноимённую статью Д. Гизекера, где для каждого рода g > 1 построена кривая характеристики p и расслоение ранга 2 на ней, которое перестаёт быть стабильным при пулбэке относительно морфизма Фробениуса. Его конструкция вырождает кривую до конфигурации из проективных прямых и использует факт, что у такого графа универсальное накрытие является схемой, пусть и не конечного типа. Желательно понимать слова из названия доклада.


Костя Толмачёв (MIT)
Геометрическая теория представлений унипотентных групп
Я расскажу, следуя работам Боярченко и Дринфельда, о геометрическом подходе к теории представлений унипотентных групп над конечными полями. От слушателей предполагается только знакомство с базовыми понятиями теории представлений конечных групп.

February 2, 2017

Евгений Статник (ВШЭ)
Геометрическая конструкция пространства модулей стабильных пучков на проективной плоскости

Из теоремы Бейлинсона следует, что стабильные пучки на проективной плоскости с фиксированными топологическими инвариантами можно представить как когомологии монад определённого вида. С другой стороны, такие монады задают представления некоторого колчана с соотношениями, имеющего три вершины и шесть стрелок. Цель доклада -- рассказать результат Le Potier "A propos de la construction de l'espace de modules des faisceaux semi-stables sur le plan projectif" о том, что можно выбрать условие стабильности для колчана так, чтобы стабильность для представлений колчанов и для пучков совпадали. При этом предварительных знаний о стабильных пучках или о представлениях колчанов не требуется, но желательно знакомство с геометрической теорией инвариантов.


Вася Рогов (ВШЭ)
Кэлеровы многообразия с тривиальной симметрической алгеброй голоморфных дифференциалов односвязны.
Как известно из теории Ходжа, размерность пространства голоморфных дифференциалов на кэлеровом многообразии в два раза меньше его первого числа Бетти, т.е. ранга абелинизации фундаментальной группы. Можно задаться следующим вопросом: какую еще информацию о голоморфных дифференциальных формах на кэлеровом многообразии можно восстановить по его фундаментальной группе? Я скажу пару слов об имеющихся результатах в этой области и расскажу доказательство следующей теоремы (принадлежащей Брюнбарбу и Кампана): Пусть на кэлеровом многообразии $X$ при любых $k$ и $p$ $H^0(X, S^k\Omega^p_X) = 0$. Тогда $X$ -- односвязно.

February 9, 2017

Паша Сечин (ВШЭ)
Теорема Римана-Роха для неаддитивных операций и классы Черна из К-теорий Моравы

Мультипликативная операция -- характер Черна из К-теории в группы Чжоу -- не коммутирует с прямыми образами относительно проективных морфизмов, а теорема Римана-Роха явно "измеряет" эту некоммутативность. Я расскажу про обобщение этой теоремы для произвольных неаддитивных операций между так называемыми обобщёнными ориентированными теориями когомологий алгебраических многообразий, принадлежащее А. Вишику ( https://arxiv.org/abs/1409.0741 и https://arxiv.org/abs/1209.5793 ). Это утверждение (формулирое, впрочем, только для гладких вложений подмногообразий) позволяет строить операции между ориентированными теориями, определив их подходящим образом на произведениях проективных пространств. К-теории Моравы -- ориентированные теории, в некотором смысле обобщающие К-теорию (комплексную в топологической ситуации, и алгебраическую -- в алгебро-геометрической). Благодаря результату Вишика для вычисления операций из них достаточно знать только то, что эти теории являются фактором кобордизмов, заданным формальным групповым законом специального вида. Я расскажу о результате этого вычисления (https://arxiv.org/abs/1605.04444 и http://www.moebiuscontest.ru/files/2016/sechin.pdf) и о том, какие приложения можно получать с его помощью.


Дима Голубенко (ВШЭ)
Некоммутативные торические многообразия.
Следуя работе http://arxiv.org/abs/1308.2774, я расскажу об определении некоммутативных торических многообразий. Мы оттолкнемся от комбинаторного определения торических многообразий и попробуем его обобщить на некоммутативный случай. Основным инструментом анализа будет теория LVM-многообразий, о которой я вкратце скажу на докладе.

February 16, 2017

Александр Петров (ВШЭ)
Пример делителя нуля в кольце Гротендика многообразий

Я расскажу о хронологически первом примере делителя нуля в кольце Гротендика многообразий(в нулевой характеристике), принадлежащем Бьерну Пунену. Пример основан на теории комплексного умножения абелевых многоообразий(делителем нуля будет разность классов двух абелевых многообразий). Никаких предварительных сведений для понимания доклада не потребуется.


Дима Голубенко (ВШЭ)
Некоммутативные торические многообразия.
Следуя работе http://arxiv.org/abs/1308.2774, я расскажу об определении некоммутативных торических многообразий. Мы оттолкнемся от комбинаторного определения торических многообразий и попробуем его обобщить на некоммутативный случай. Основным инструментом анализа будет теория LVM-многообразий, о которой я вкратце скажу на докладе.

February 23, 2017

Митя Коршунов (ВШЭ)
Энергия Вилмора и минимальные поверхности

Энергия Вилмора поверхности - это интеграл квадрата ее средней кривизны. Гипотеза Вилмора утверждает, что для иммерсированного тора в R^3 минимальная возможная энергиия - 2pi^2. Маркиш и Невиш ее доказали, сведя к вопросу о минимальных поверхностях в трехмерной сфере, который они решили с помощью мин-макс метода Алмгрена-Питтса. Эта технология позволила им доказать несколько других популярных гипотез, в том числе гипотезу Яу о том, что в компактном римановом многообразии положительной кривизны Риччи бесконечно много замкнутых минимальных гиперповерхностей. Я расскажу про этот круг идей на более простых примерах, восходящих в Биркгофу и Люстернику-Шнирельману и опишу схему доказательства.


Миша Вербицкий (ВШЭ)
Особые гиперкэлеровы многообразия
Я дам определение особого гиперкэлерова многообразия, принадлежащее Хитчину, Делиню и Симпсону, приведу примеры, и расскажу, каковы особенности таких многообразий, и почему их нормализация неособа.

March 2, 2017

Саша Кузнецова (ВШЭ)
Сферические многообразия

Как известно, торические многообразие --- это многообразие с действием тора, имеющее плотную открытую орбиту и такие многообразия имеют удобное комбинаторное описание, которое дает простые критерии гладкости, собственности, проективности этих многообразий. Оказывается, что если рассмотреть вместо тора связную редуктивную группу G, действующую на многообразии X так, что борелевская подгруппа имеет плотную открытую подгруппу, то каждому такому X так же можно однозначно сопоставить похожую комбинаторную картинку. Многообразия с таким действием группы называются сферическими. Я расскажу про это cопоставление (соответствие Луны-Вуста) и про основной пример таких многообразий --- многообразия флагов.


Денис Терёшкин (ВШЭ)
Проблема Серра, формальность и 3-многообразия
Существует неразрешимый вопрос, поставленный вперые, вероятно, Серром: какие группы являются фундаментальными группами гладких проективных многообразий. Другая сложная (но практически решённая) проблема Т характеризация фундаментальных групп трёхмерных многообразий. Я расскажу о пересечении этих классов и геометрических аспектах формальности по статьям Резникова, Suciu и Papadima.

March 16, 2017

Павел Попов (ВШЭ)
Теорема Бореля-Вейля-Ботта

Это классическая теорема о том как посчитать когомологии любого линейного расслоения на пространствах флагов над полем комплексных чисел. В докладе будет рассказано доказательство, опирающееся на геометрию этих пространств. Для понимая надо знать, что такое когомологии пучков и как устроены линейные расслоения на P^1.


Дмитрий Коршунов (ВШЭ)
"Движение несжимаемой жидкости и геометрия бесконечномерных групп"
Классические уравнения Эйлера для движения твердого тела с закрепленной точкой -- это геодезический поток на группе SO(3). Владимир Арнольд заметил, что другие известные уравнения имени Эйлера, описывающие движение несжимаемой жидкости, точно так же могут быть представлены как геодезический поток, соответствующий правоинвариантной метрике на бесконечномерной группе диффеоморфизмов R^3, сохраняющих объем. В дальнейшем многие другие вполне интегрируемые уравнения были проинтерпретированы в таком стиле (КдФ и т.д.). Я расскажу про гамильтонову природу геодезического потока и мы попробуем повторить наблюдение Арнольда.

March 23, 2017

Вася Крылов (ВШЭ)
"Геометрическое соответствие Сатаке"

Я попробую рассказать про то, как геометрически построить по редуктивной алгебраической группе G (над алгебраически замкнутым полем характеристики ноль) двойственную ей по Ленглендсу группу G^{^} по статье Мирковича-Вилонена 2006-го года (а именно, построить тензорную категорию Rep-G^{^} вместе с функтором слоя геометрически). Я постараюсь ввести все необходимые геометрические конструкции и объекты, описать их свойства, сформулировать главную теорему и, если останется время, наметить доказательство.


Денис Терёшкин (ВШЭ)
Когомологическая характеризация свободных и гиперболических групп
Я докажу теорему Столлингса-Свана (группа когомологической размерности 1 свободна) и расскажу о том, что такое нормированные когомологии групп и почему зануление этих когомологий с некоторыми коэффициентами эквивалентно гиперболичности. Никаких предварительных знаний для понимания моего рассказа не требуется.

March 30, 2017

Вася Крылов (ВШЭ)
"Геометрическое соответствие Сатаке"

Я попробую рассказать про то, как геометрически построить по редуктивной алгебраической группе G (над алгебраически замкнутым полем характеристики ноль) двойственную ей по Ленглендсу группу G^{^} по статье Мирковича-Вилонена 2006-го года (а именно, построить тензорную категорию Rep-G^{^} вместе с функтором слоя геометрически). Я постараюсь ввести все необходимые геометрические конструкции и объекты, описать их свойства, сформулировать главную теорему и, если останется время, наметить доказательство.


Александр Калмынин (ВШЭ)
О гипотезе Эрдеша-Улама
Гипотеза Эрдеша-Улама утверждает, что не существует плотного подмножества вещественной плоскости, расстояние между любыми двумя точками которого рационально. Я расскажу о том, как выводить эту гипотезу из гипотезы Бомбьери-Ленга, и о том, как она связана с другими нерешенными задачами.

April 13, 2017

Женя Статник (ВШЭ)
Пространства мечты Мори и геометрическая теория инвариантов

Линеаризованные расслоения, необходимые для построения GIT-фактора, образуют векторное пространство, разбитое на многогранные конусы, GIT-клетки, в пределах которых фактор постоянен. Статья Hu, Keel "Mori Dream Spaces and GIT" описывает класс многообразий, хороших с точки зрения теории минимальных моделей Мори, -- их бирациональная геометрия задаётся GIT-клетками некоторого многообразия. Я кратко расскажу про такие "пространства мечты Мори" с точки зрения GIT, при этом собственно бирациональной геометрии почти не будет.


Коля Коновалов (ВШЭ)
Инвариант Арфа-Кервера
Инвариант Арфа-Кервера -- это инвариант стабильно оснащенных многообразий размерности 4n+2 со значениями в группе Z/2. Он строится как инвариант Арфа естественно возникающей по оснащению квадратичной формы на средних когомологиях H^{2n+1}(M,Z/2), Я собираюсь рассказать про его конструкцию, некоторые его обобщения и приложения.

April 20, 2017

Дмитрий Коршунов (ВШЭ)
Закон взаимности А. Вейля

Я расскажу короткое элементарное топологическое доказательство закона взаимности Вейля (произведение символов Вейля двух ненулевых мероморфных функций на компактной римановой поверхности по всем точкам равно 1), принадлежащее Бейлинсону. Для понимания доказательства нужно знать принцип аргумента из комплексного анализа.


Родион Деев (NYU)
Голоморфное неравенство Морса
Старая гипотеза в алгебраической геометрии, приписываемая Мамфорду, утверждает, что комплексное проективное многообразие заметается семейством рациональных кривых тогда и только тогда, когда ни у какой тензорной степени его канонического расслоения нету сечений. В 2004 году Буксом, Демайи, Петернелл и Пэун доказали часть этой гипотезы, а именно, что линейное расслоение над комплексным проективным многообразием псевдоэффективно тогда и только тогда, когда оно ограничивается положительно на всякую подвижную кривую. Их доказательство опиралось на так называемое голоморфное неравенство Морса для ходжевых классов, которое по сути является далеко идущим обобщением бинома Ньютона. Если бы у них было это неравенство для любых численно эффективных классов, они могли бы доказывать утверждения про конусы: например, что на комплексном проективном многообразии псевдоэффективный и подвижный конус двойственны, а подвижный конус равен замыканию сбалансированного. Я расскажу, как Витт-Нюстрём доказал голоморфное неравенство Морса, а также про применения этого неравенства к вопросам о конусах. Несмотря на обилие алгебраико-геометрического жаргона в анонсе, доклад будет исключительно аналитическим.

May 4, 2017

Денис Терешкин (ВШЭ)
Группы с кручением и без

Я расскажу несколько классических сюжетов из теории групп (в основном гомологической) про то, когда в группе могут быть элементы конечного порядка и когда их быть не может.


Павел Соломатин (Leiden)
Абсолютные группы Галуа и их различные подгруппы.
Павел Соломатин Каждому полю $K$ можно поставить в соответствие его абсолютную группу Галуа $G$. Оказывается, эта группа хранит в себе большое количество информации о поле из которого она приходит. Например, знаменитая теорема NeukirchСUchida утверждает, что любое глобальное поле(т.е. либо конечное расширение Q, либо поле функций на кривой над конечным полем) определяется с точностью до изоморфизма группой G(рассмотренной вместе с некоторой топологией на ней). Естественно задаться следующим вопросом: а какие еще объекты связанные с группой $G$ хранят всю информацию о поле $K$? Оказывается, что если ограничиться абелианизацей $G^{ab}$ группы $G$ то информации о поле можно получить довольно мало. В своем докладе я расскажу какую именно информацию о поле можно извлечь из $G^{ab}$.

May 11, 2017

Ренат Абугалиев (ВШЭ)
Линейные расслоения на абелевых многообразиях

Я устрою краткий ликбез по данной теме. В частности, докажу, что если дивизор D на абелевом многообразии обильный, то дивизор 3D -- очень обильный.


Дмитрий Пирожков (Columbia University)
Теорема Бертини над конечными полями
Теорема Бертини утверждает, что у гладкого проективного многообразия над бесконечным полем общее гиперплоское сечение будет гладким. Над конечными полями гиперплоскостей слишком мало. Это можно исправить расширением базового поля, но можно обойтись и без него, если вместо гиперплоскостей брать гиперповерхности достаточно большой степени. Я расскажу доказательство этого факта, придуманное Бьёрном Пууненом.

May 18, 2017

Александр Петров (ВШЭ)
Бирационально эквивалентные многообразия Калаби-Яу имеют одинаковые числа Ходжа

Это доказал Батырев с помощью p-адического интегрирования. Оказывается, что p-адические объемы бирационально эквивалентных многообразий равны, из чего следует, что для почти всех p, у редукциий этих многообразий одинаковое число точек над конечным полем. Благодаря гипотезам Вейля и разложению Ходжа-Тейта из этого следует равенство когомологических инвариантов в характеристике 0. Никаких предварительных сведений из теории чисел не потребуется.


Артём Калмыков (ВШЭ, Женева)
Деформация голоморфно Пуассоновых многообразий
Я расскажу о небольшой, но занимательной теореме, доказательство которой принадлежит Н. Хитчину, об отсутствии препятствий для деформаций, приходящих из голоморфной Пуассоновой структуры, а также что она дает в несимплектическом случае, например для рациональных поверхностей

May 25, 2017

Роман Крутовский (ВШЭ)
Иммерсии двумерных поверхностей в трехмерные пространство

Для замкнутой двумерной поверхности $F$ существует взаимноднозначное соответствие между группой $H^1(F;Z_2)$ и множеством классов иммерсий с точностью до регулярной гомотопии поверхности $F$ в $R^3$. Этот результат(даже чуть более общий) в своей статье доказали Joel Hass и John Hughes, о нем я и буду рассказывать. Кроме того, я покажу как по иммерсии явно построить этот элемент в группе когомологий, чего в работе авторов представлено не было. От слушателей потребуются базовые знания из алгебраической топологии и воображение.


Дмитрий Коршунов (ВШЭ)
Множество Мандельброта связно
Множество Мандельброта - это множество значений параметра c, таких что итерации отображения z^2+c не уносят 0 на бесконечность. Это сложный причудливый фрактал, топологические свойства которого несут много информации о динамике квадратичных отображений. Я расскажу элементарное топологическое доказательство связности множества Мандельброта, следуя заметке Джереми Кана.

June 8, 2017

Юра Рудько (ВШЭ)
Тропикализация

Тропикализация - это способ изучать семейства многообразий в терминах выпуклой геометрии. Я буду рассказывать об амебе, базисе Грёбнера и многогранниках Ньютона; строить из этих понятий несколько различных способов тропикализации и доказывать их эквивалетность.


Костя Логинов (ВШЭ), Ненормальные поверхности дель Пеццо.
Классификация поверхностей дель Пеццо (то есть проективных поверхностей с обильным антиканоническим пучком) над комплексными числами хорошо известна в гладком случае: любая такая поверхность есть либо раздутие проективной плоскости в не более чем 8 точках общего положения, либо неособая квадрика. Следуя работам Рида, Абе и Фурушимы, будет рассказано о том, как Программа минимальных моделей помогает изучать особые поверхности дель Пеццо, не являющиеся нормальными.

Jule 13, 2017

Яша Кононов (Коламбия)
Формула Римана-Роха.

Я расскажу вывод формулы Римана-Роха, следуя главе 3 Гриффитса-Харриса. Формула становится очевидной из сравнения формулы локализации в когомологиях и К-теории. Локализация в когомологиях доказывается относительно несложно, а весь сложный анализ таким образом попадает в доказательство голоморфной формулы Лефшеца, которая известна и интуитивно очевидна.


Ваня Тельпуховский (Торонто), "О путях единорога и гиперболичности по Громову комплекса кривых"
В 1998 году Мазур и Минский доказали, что комплекс кривых замкнутой поверхности рода g является гиперболическим по Громову. За этим фундаментальным результатом последовало много новых открытий про группу классов отображений поверхности и геометрию пространства Тейхмюллера. Первое доказательство было громоздким и сложным, а я расскажу о новом комбинаторном доказательстве, занимающем 5 страниц в опубликованной версии. Доклад предполагается элементарным и не требующим предварительных знаний из геометрической топологии.

August 3, 2017

Гриша Папаянов
G_2-многообразия

Я расскажу про исключительную группу Ли G_2 и про многообразия с такой голономией. Я докажу некоторые их геометрические свойства, определю некоторую дг-алгебру, аналогичную алгебре Дольбо для комплексных многообразий, свяжу с ней некоторую дг-категорию, аналогичную производной категории когерентных пучков, и что-нибудь там посчитаю.


Костя Толмачёв
Жесткие локальные системы на проколотой проективной прямой
Локальная система на проективной прямой с проколами называется физически жесткой, если она определяется локальной монодромией вокруг выколотых точек. Такими являются, например, локальные системы получаемые из классических гипергеометрических дифференциальных уравнений. Я расскажу о работе Н. Каца по их классификации.

September 7, 2017

Степан Казанин
Элементарная эквивалентность полей и ее приложения.

Я дам доказательства нескольких широко известных результатов (например, семнадцатой проблемы Гильберта), и нескольких менее известных результатов (один из них таков: любое инъективное полиномиальное отображение из C^n в C^n сюръективно) на языке теории моделей: фундаментального для математической логики инструмента, роль которого не всегда в полной мере освещается во вводных курсах.

Миша Вербицкий
Негиперболичность многообразий с бесконечной группой автоморфизмов

Проективное многообразие называется "алгебраически гиперболическим", если существует число A>0 такое, что каждая кривая рода g имеет степень < A (g-1). Согласно гипотезе Демайи, эта гиперболичность равносильна гиперболичности по Кобаяши. Легко доказать, что из гиперболичности по Кобаяши следует алгебраическая гиперболичность. Также легко доказать, что многообразия, гиперболичные по Кобаяши, имеют конечную группу автоморфизмов. Я расскажу, почему алгебраически гиперболические многообразия тоже имеют конечную группу автоморфизмов. Это совместная работа с Федором Богомоловым и Людмилой Каменовой. От слушателей потребуется знание основ топологии и алгебраической геометрии (разложение Ходжа, проективные вложения, отображение Альбанезе).

September 14, 2017

Гриша Папянов (Northwestern University)
Резольвенты Дольбо когерентных пучков и их приложения

Голоморфное расслоение на гладком комплексном многообразии можно описать как гладкое расслоение с dbar-оператором - его резольвенту Дольбо. Рослый-Бондал и Блок открыли способ построить резольвенту Дольбо (эллиптический комплекс, разрешающий данный пучок) у произвольного когерентного пучка. Эта конструкция позволяет применять эллиптическую теорию для изучения когерентных пучков на гладких многообразиях, и в частности доставляет простое доказательство конечномерности когомологий и когерентности прямого образа. Я собираюсь рассказать про эту конструкцию; от слушателей требуется знать, что такое комплексное многообразие.

Роман Крутовский (ВШЭ)
Спектральная последовательность Бореля.

Довольно полезной техникой для подсчета когомологий хороших пространств являются спектральныйепоследовательности, в частности широко используемая последовательность Серра, которая позволяет вычислять кольцо когомологий SU(n). Мы же поговорим о спектральной расследовательности для комплексно-аналитических расслоений, которой позволяет считать более тонкие когомологии Дольбо. Большую часть доклада я посвящу доказательству существования данной последовательности, если хватит времени, то поговорим и о применении данной техники (в частности, к многообразиям Хопфа и их обобщениям). Пререквизиты: я буду предполагать, что слушатели знакомы со спектральной последовательностью Лере и когомологиями с коэффициентами в пучках.

September 21, 2017

Нина Зубрилина (Stanford University)
Про упаковки сфер

До недавнего времени, задача нахождения максимальной плотности упаковки шаров равного радиуса в Евклидовом пространстве была решена только для размерностей 1, 2, и 3. Я сделаю небольшой ввод в проблему и расскажу о прорывной работе Марины Вьязовски 2016 года, позволившей разрешить вопрос для размерностей 8 и 24.

Юрий Элияшев (СФУ)
О тропикализации кривых.

Стандартный подход к построению тропического предела семейства комплексных кривых использует ряды Пюизо, многогранники Ньютона и тому подобные объекты. Я расскажу о другом подходе, который основан на внутренней геометрии кривых. Этот подход оказывается гораздо более дифференциально-геометрическим по духу, в его основе лежат пространства модулей кривых и гиперболическая геометрия. Доклад основан на статье: Lionel Lang ``Harmonic Tropical Curves''.

September 28, 2017

Никон Курносов (University of Georgia)
Голоморфная динамика на К3-поверхностях.

Расскажу об известной работе МакМуллена, где он показал существование автоморфизмов K3-поверхности с дисками Зигеля. Будет рассказано про общие свойства автоморфизмов K3, числа Салема. Специальных знаний не требуется.

Василий Рогов(ВШЭ)
Алгебраическая размерность гиперкэлеровых многообразий.

Алгебраическая размерность компактного комплексного многообразия это степень трансцендентности поля мероморфных функций на нем. Она не превосходит комплексной размерности многообразия (причем равенство достигается тогда и только тогда, когда многообразие мойшезоново), но вообще говоря может быть и меньше. Непосредственно вычислить ее бывает довольно сложно. Гипотеза, принадлежащая Огуисо, утверждает, что алгебраическая размерность односвязного гиперкэлерового многообразия комплексной размерности 2n может принимать значения 0, n или 2n. Я расскажу об имеющихся продвижениях в этой гипотезе по статье Кампана, Огуисо и Петернелла. Для понимания доклада достаточно знать, что такое комплексное многообразие, все остальные необходимые определения я дам.

October 5, 2017

Денис Терешкин (ВШЭ)
Алгебра и топология \mu-инвариантов.

Каждому зацеплению в R^3 можно сопоставить целочисленный вектор, показывающий, насколько фундаментальная группа дополнения отличается от свободной — \mu-инварианты, придуманные Милнором на четвёртом курсе Принстонского университета. Я расскажу про разные свойства этих инвариантов, про классификацию зацеплений в целом и про применение пронильпотентного пополнения групп в народном хозяйстве.


Лев Суханов (ВШЭ)
Теорема о двойной надстройке.

Теорема о двойной надстройке утверждает, что двойная надстройка гомологической сферы гомеоморфна сфере.

October 12, 2017

Алексей Голота
Размерность Кодаиры базы (некоторых) вариаций структур Ходжа

Пусть U = X\D — открытое подмногообразие компактного кэлерова многообразия X, где D — дивизор с нормальными пересечениями. Предположим, что на U существует поляризованная вариация структур Ходжа, отображение периодов которой иммерсия хотя бы в одной точке. Тогда логарифмическое кокасательное расслоение слабо положительно и объёмно, и как следствие, пара (X, D) — общего типа. Я расскажу аналитическое доказательство этого факта (Й. Брюнбарб - Б. Кадорель, 2017), не использующее вырождений вариаций структур Ходжа. Перед основной частью будет вступление, ориентированное на младшекурсников, с изложением проблематики и основных методов.

October 19, 2017

Баларам Усов (ВШЭ)
Гомотопические сизигии

Для каждого копредставления группы G можно построить стандартный двумерный комплекс - взять букет окружностей в качестве порождающих и заклеить двумерными клетками как соотношениями. Оказывается, что свойства этого комплекса тесно связаны со свойствами самой группы, например G действует точно на его \pi_2, а в \pi_2 профакторизованному по этому действию лежат H_3(G). Кроме этого, я расскажу про диаграммы Ван Кампена и картинки Игусы, про производные Фокса и про разные открытые вопросы.

October 26, 2017

Евгений Статник
HRR и LFP для DG-алгебр

Теорему Хирцебруха-Римана-Роха и формулу Лефшеца о числе неподвижных точек можно сформулировать не только для многообразий, но и для дифференциально-градуированных алгебр, используя вместо сингулярных когомологий гомологии Хохшильда. В этом случае они намного более формальны: в частности, в HRR нет класса Тода. Доклад будет следовать второй части статьи Luntz "Lefschetz Fixed Point theorems for Fourier-Mukai functors and DG-algebras" (это краткий обзор) и статье Shklyarov "Hirzebruch-Riemann-Roch theorem for DG algebras" (там больше деталей). Значительная часть доклада будет посвящена напоминанию и разъяснению необходимых определений, поэтому в качестве пререквизитов достаточно не бояться дифференциально-градуированных категорий.

November 2, 2017

Василий Крылов
Теорема Джекобсона-Морозова

Я попробую рассказать доказательство теоремы Джекобсона-Морозова. Она утверждает, что любой нильпотентный элемент в полупростой алгебре Ли можно включить в sl_{2} тройку. Доказательство этой теоремы абсолютно элементарно (требует только структурной теории полупростых алгебр Ли, про которую я скажу). Эта теорема имеет много важных приложений, про которые я постараюсь упомянуть. В частности, она позволяет построить семейство конических симплектических разрешений (так называемые многообразия Слодови)

Константин Логинов
О бирациональных инволюциях проективной плоскости.

Будет рассказано о классификации инволюций в группе бирациональных автоморфизмов проективной плоскости над алгебраически замкнутым полем. Мы покажем, как при помощи программы минимальных моделей построить регулярное действие инволюции на минимальной рациональной поверхности, а затем введем инвариант: кривую неподвижных точек такого действия. В результате окажется, что всякая нетривиальная инволюция сопряжена ровно одной из трех: инволюции де Жонкьера, Бертини или Гейзера.

November 9, 2017

Владимир Кондратьев
Гипотеза Минковского об унимодулярных решетках.

Я расскажу о подходе Макмуллена к доказательству гипотезы Минковского об унимодулярных решётках. Рассмотрим действие диагональной подгруппы $A \subset SL(n,\mathbb{R})$ на пространстве унимодулярных решёток. Решётка в $\mathbb{R}^n$ называется well-rounded, если она содержит n линейно независимых векторов минимальной длины. Мы докажем, что если орбита решётки ограничена, то её замыкание содержит well-rounded lattice. Пререквизиты: начальный курс линейной алгебры и начальный курс топологии

Василий Рогов
Кэлеровы сольвмногообразия

Сольвмногообразием называется фактор связной односвязной разрешимой группы Ли по кокомпактной решетке. Комплексное сольвмногообразие это сольвмногообразие, снабженное однородной комплексной структурой. Сольвмногообразия, которые получаются из нильпотентных групп Ли, называются нильмногообразиями. Все комплексные нильмногообразия бимероморфные кэлеровым многообразиям - это торы. Это классический факт, одно из доказательств которого основано на теореме формальности Делиня-Гриффитса-Моргана-Салливана, глубокой теореме о топологии кэлеровых многообразий. В 2003 году Дону Арапура доказал, что все комплексные сольвмногообразия бимероморфные кэлеровым - конечные факторы торов. Это доказательство тоже основано на (вообще говоря, совсем других) глубоких фактах о топологии кэлеровых многообразий. Доклад будет сравнительно элементарным, хорошо бы только понимать, что такое полупрямое произведение групп и быть знакомым с понятием группы Ли.

December 7, 2017

Александр Попкович
Представления полупростых групп Ли: классическое и геометрическое описание

Я расскажу о некоторых способах построения неприводимых представлений полупростых групп Ли на примере групп типа А_n. Мы найдём искомые представления используя классическую теорему о двойственности Шура-Вейля, опишем их более явно как некоторые фактормодули и увидим, что они появляются как полиоднородные компоненты пространства регулярных функций на соответствующем группе многообразии флагов. Вдохновившись этим наблюдением, мы обсудим геометрический метод построения представлений как пространств сечений линейного расслоения на однородном пространстве группы.

Александра Кузнецова
Критерий рациональности

Как известно, над полем нулевой характеристики любая унирационaльная кривая или поверхность будет рациональной. В размерности три это уже не верно, но доказательства таких утверждений весьма нетривиально. Я расскажу о теории кодов, которая позволяет изучать некоторый тип унирациональных многообразий (двойные накрытия P^3, разветвленные в нодальной квартике) и покажу, что в некотором случае (пример Артина-Мамфорда) такое многообразие будет нерационально.

December 21, 2017

Родион Деев (Курант)
О некоторых результатах Ф. А. Богомолова и Ю. Чинкеля

Я попробую рассказать про абсолютную группу Галуа поля функций на алгебраическом многообразии, возможно, с доказательствами.

Саша Петров (Гарвард)
Фундаментальная группа гладкого алгебраического многообразия

Abstract: Рациональная теория гомотопий, в частности, позволяет извлекать информацию о рациональных гомотопических группах гладкого многообразия из его комплекса де Рама. Я попытаюсь рассказать, следуя Делиню, Гриффитсу, Моргану и Сулливану, как с помощью нее и теории Ходжа доказать, что проунипонетное пополнение фундаментальной группы гладкого многообразия определяется ее фактором по пятому члену нижнего центрального ряда, а для гладкого проективного многообразия и вовсе фактором по третьему члену нижнего центрального ряда.

January 25, 2018

Миша Вербицкий (ВШЭ)
Псевдовыпуклые CR-многообразия.

CR- (или KR-)многообразие есть вещественное многообразие с комплексной структурой на подрасслоении касательного расслоения. Эта комплексная структура предполагается интегрируемой, то есть коммутатор двух векторных полей в ее собственном пространстве A должен лежать в A. Если это подрасслоение имеет коразмерность 1, на нем естественно определяется псевдо-эрмитова форма, которая называется формой Леви; если эта форма знакоопределена, CR-многообразие называется псевдовыпуклым. Я расскажу о том, как реализовать псевдовыпуклые многообразия гиперповерхностями в комплексных многообразиях, и (если хватит времени) определю сасакиевы многообразия и опишу, какие CR-структуры реализуются на сасакиевых многообразиях. От слушателей потребуется знание линейной алгебры и основ анализа на многообразиях (теорема Фробениуса).

Родион Деев (Courant)
КР-твисторы К. Р. Лебрюна

Клод Лебрюн связал со всяким вещественно трёхмерным конформно римановым многообразием пятимерное КР-многообразие, называемое КР-твисторами. Метафизически, КР-многообразие есть нечётномерный аналог комплексного многообразия. Например, такая структура возникает на вещественной гиперповерхности в \C^n. В первую половину доклада я объясню, что собственно стоит за этими словами. Затем я расскажу про КР-твисторы. Если время позволит, я обрисую гипотетические приложения этой конструкции к гидродинамике в смысле Арнольда и Вайнштейна.

February 1, 2018

Василий Рогов (ВШЭ)
Топология гладких дивизоров.

Я расскажу о статье Б. Тотаро, в которой изучается следующий вопрос: пусть два гладких комплексных подмногообразия коразмерности 1 в проективном многообразии гомологичны. Насколько различаются их числа Бетти? Попутно я расскажу доказательство следующей теоремы: если в проективном многообразии есть три попарно не пересекающихся гомологичных гладких комплексных подмногообразия коразмерности 1, то на самом деле эти три подмногообразия являются тремя слоями какого-то отображения на кривую. Замечательно, что если заменить "три" на "два", это утверждение перестанет быть верным. Если останется время, я расскажу о связи этих вопросов с арифметикой абелевых многообразий.

Дмитрий Кубрак (Harvard)
Чудесная компактификация полупростой группы.

Я расскажу конструкцию так называемой "чудесной компактификации" для произвольной полупростой группы G присоединенного типа над алгебраически замкнутым полем. Это гладкое проективное многообразие X, снабженное действием GxG, с открытой орбитой изоморфной G (с действием GxG умножением слева и умножением на обратный справа) и такое что дополнение - это дивизор с нормальными пересечениями. Более того, остальные GxG-орбиты X - это ровно частичные пересечения граничных дивизоров. Как следствие, замыкание всех GxG-орбит гладкое, это и делает компактификацию "чудесной". Также мы посчитаем группу Пикара чудесной компактификации (она отождествляется с решеткой весов G) и определим какие из линейных расслоений на ней являются обильными (они соответствуют регулярным доминантным весам). Скорее всего я ограничусь случаем полупростых групп над C, но, если будет время, расскажу как надо изменить конструкцию чтобы она сработала над полем положительной характеристики или даже для случая кольца дискретного нормирования

February 8, 2018

Роман Крутовский
Когомологии момент-угол комплексов

Илья Баскаков, Виктор Бухштабер и Тарас Панов в серии статей 2004 года ответили на вопрос о том, как вычислять когомологии момент-угол комплекса Z_K, где K - это определяющий само пространство симплициальный комплекс, о чем я и постараюсь рассказать. Введение естественной структуры клеточного комплекса позволяет установить изоморфизм с когомологиями кольца граней ("face ring") симплициального комплекса K. А опора же на результаты Хочестера позволяет явно увидеть умножение в когомологиях, как умножение в прямой сумме когомологий симплициальных подкомплексов K. Попутно мы, конечно, будем следить за функториальностью всего происходящего по отношению к категории симплициальных комплексов. В конце я приведу наглядный пример вычислений для случая, когда K - это граница пятиугольника.

Василий Болбачан
"Объемы трехмерных гиперболических многообразий"

Я хочу рассказать про то как по трехмерному гиперболическому многообразию можно построить инвариант лежащий в группе Блоха. При этом этот инвариант содержит в себе объем исходного многообразия, который можно извлекать с помощью регулятора. Все определения будут даны. Пререквизиты: нужно быть знакомым с базовой гомологической алгеброй(резольвенты, гомологии групп).

February 15, 2018

Дмитрий Зубов
Неравенства Морса и спектр градиентного потока.

Давным-давно Марстон Морс исследовал гладкие функции на компактных ориентируемых многообразиях (без края) такие, что число особых точек у них конечно, и все они невырождены. В результате он написал серию неравенств, связывающих числа Бетти многообразия и количества особых точек с фиксированным индексом, то есть числом отрицательных собственных чисел матрицы второй производной. У классических неравенств Морса появилось с тех пор много различных интерпретаций и обобщений, в которых вместо особых точек данного индекса рассматриваются другие инварианты. Так, у Смейла и Тома рассматривались количества устойчивых многообразий фиксированной размерности для градиентого потока, построенного по морсовской функции. Ещё двадцать лет спустя Виттен предложил доказывать неравенства Морса с помощью деформации теории Ходжа, сравнивая числа Бетти с размерностями собственных подпространств деформированного лапласиана с маленькими собственными значениями. Я попытаюсь рассказать про подход, совмещающий идеи Смейла-Тома и Виттена. Идея состоит в том, чтобы вместо деформирования лапласиана посмотреть на действие градиентного векторного поля морсовской функции на специальном пространстве Соболева потоков де Рама. Такой подход помимо всего прочего позволяет заметить некоторые эргодические свойства градиентного потока (например, перемешивание current'ов). Я буду ссылаться на недавние работы Данга и Ривьера.

Николай Коновалов
Локализации и род Мислина.

Как известно, топологическое пространство можно локализовать в простых числах. В тот момент, как только определена данная процедура, можно задать такой "арифметический" вопрос: пусть дано CW-пространство конечного типа X, сколько существует гомотопических типов Y, таких что X_p \simeq Y_p для любого простого p? Множество таких типов Y называется родом Мислина G(X). Во многих примерах данное множество можно вычислить. В своем рассказе я собираюсь обсудить род Мислина и посчитать G(Sp(2)), G(CP^n), G(RP^{2n+1}).

February 22, 2018

Евгений Гончаров
Введение в Пуассонову геометрию

Скобка Пуассона на многообразии-это скобка алгебры Ли на пространстве гладких функций, удовлетворяющая тождеству Лейбница. Мы обсудим разные точки зрения на пуассоновы структуры и основные примеры. Во второй части лекции я постараюсь рассказать, в каком смысле пуассонова геометрия является обобщением симплектической. Мы обсудим, что такое симплектическая фолиация пуассонова многообразия и вычислим её в простых случаях. Лекция предполагается введением в предмет и никаких специальных знаний не потребует.

Миша Вербицкий
Обобщенные комплексные многообразия

Обобщенная комплексная структура на многообразии M есть комплексная структура на TM+T^*M, совместимая с естественным спариванием, и такая, что ее собственные пространства сохраняются скобкой Куранта [(x, a), (y, b)]= ([x, y], D_x(a)- D_y(b)- 1/2 d( - 1/2 )). Эта структура появилась в работах Хитчина и Гуалтиери, и какое-то время была довольно популярна среди физиков (Robbert Dijkgraaf, Sergei Gukov, Andrew Neitzke, and Cumrun Vafa, "Topological M-theory as unification of form theories of gravity"). Немного упрощая ситуацию, можно сказать, что обобщенная комплексная структура есть пара (пуассонова структура P, комплексная структура на пространстве симплектических листов P). И симплектическая структура, и комплексная появляются как частные случаи обобщенной комплексной; эта наука имеет массу любопытных применений к теории деформаций (R. Goto, G. Cavalcanti). Я расскажу основы этой науки: теорию спиноров, явную конструкцию скобки Куранта как производной скобки от спинорного умножения, и опишу, каким образом обобщенные комплексные структуры можно получить из чистых спиноров.

March 1, 2018

Миша Вербицкий
Лемма Морса, асимптотические конусы и гиперболичность по Громову

"Квазигеодезическая" на метрическом пространстве есть билипшицево отображение из отрезка в это метрическое пространство. В своей диссертации Морс доказал, что на гиперболическом пространстве расстояние между геодезической и квазигеодезической, соединяющей ее концы, не превосходит некоторого числа, которое зависит только от билипшицевой константы и от геометрии гиперболического пространства. В гиперболической геометрии это утверждение называется "лемма Морса"; стандартное доказательство ее весьма трудоемко. Я определю асимптотические конусы и пространства, гиперболические zпо Громову, в терминах асимптотических конусов; используя это определение, я докажу лемму Морса для таких пространств. В качестве приложения, будет доказано, что свойство группы быть гиперболической по Громову не зависит от выбора образующих. Доклад будет понятен студентам, знакомым с базовыми понятиями метрической геометрии (или готовыми их усвоить непосредственно на лекции: все необходимые определения я дам).

Баларам Усов
Гиперболичность и гомология

Вопрос о том, как связаны гомологии с гиперболичностью восходит еще к Хопфу и его гипотезе 25-го года, которую в Кэлеровом случае решил Миша Громов. Примерно в это же время, Котчик и Лёх выдвинули гипотезу, что гиперболические многообразия доминируют все остальные. Про то, как они к этому пришли, и доказательство в 3-мерном случае я и расскажу. Еще я обязательно покажу конструкцию Рипса, и если останется время, расскажу про характеризацию гиперболических групп на языке Громовских ограниченных когомологий, полученную Игорем Минеевым в 2002 году.

March 8, 2018

Алена Денисова
Спектральная последовательность расслоения и ее применения.

Я собираюсь рассказать, как устроена спектральная последовательность расслоения и показать примеры применения этой последовательности при подсчете гомологий SU(n) и SO(n) (с помощью изоморфизма E_2^{p,q} = H_p(B, H_q(F))).

Денис Терешкин
Гомоморфизм Гуревича и алгебраические модели пространств

В 1950 году Джон Уайтхед заметил, что гомоморфизмы Гуревича, отображающие гомотопические группы CW-комплекса в его гомологии, можно связать в _некоторую_ (A certain exact sequence, J. H. C. Whitehead) длинную точную последовательность с помощью дополнительных гомотопических инвариантов - групп Г_k. Первоначально определённые в терминах k-скелетов (которые, конечно, не являются гомотопическими инвариантами), они допускают и другие - более естественные - конструкции. Я расскажу про связь этой последовательности с башнями Постникова и попробую объяснить, что написано в книгах Х.-И. Бауэса про алгебраические модели категорий k-связных k+(1, 2, 3, 4, 5)-мерных комплексов. Доклад будет (надеюсь) понятен всем.

March 15, 2018

Павел Осипов
Гессиановы многообразия

Гессианово многообразие --- это многообразие с римановой метрикой, локально являющейся гессианом функции. Кэлерова метрика на комплексном многообразии локально является комплексным гессианом какой-то функции. Таким образом, гессиановы многообразия является вещественной версией кэлеровых. С другой стороны, у кэлеровой геометрии есть нечётномерный аналог --- сасакиева геометрия. Я определю проективные гессиановы многообразия и расскажу про связь между ними и сасакиевыми многообразиями подобную связи между гессиановыми и кэлеровыми многообразиями. Особое внимание будет уделено группам Ли и однородным структурам на них.

Миша Вербицкий
Специальные кэлеровы многообразия

Голоморфно симплектическое многообразие X называется "агебраической вполне интегрируемой гамильтоновой системой", если X снабжено собственным голоморфным отображением с лагранжевыми слоями на базу B, и линейным расслоением L, которое обильно на слоях. Алгебраические гамильтоновы системы изучались в трудах Донаги-Маркмана и Донаги-Виттена, открывших, что база B такой системы снабжена плоской симплектической связностью и гессиановой метрикой. Более того, каждая гессианова кэлерова метрика однозначно задает алгебраическую гамильтонову систему. Многообразие B, снабженное плоской симплектической связностью без кручения и гессиановой кэлеровой метрикой, называется "специальное кэлерово многообразие". Я расскажу о свойствах специальных кэлеровых многообразий и о том, как доказывать теорему Донаги-Виттена-Маркмана. Доклад будет понятен студентам, ведающим об абелевых многообразиях, а также о связностях, кручении и аффинных структурах (но о них в первой части поведaет Паша Осипов).

March 21, 2018

Василий Рогов
Пространства Чжоу от $\CP^n$ и пространства Эйленберга-Маклейна от $\Z$.

С каждым алгебраическим многообразием можно связать его схему Чжоу - проективное многообразие, точки которого соответствуют эффективным циклам (т.е. просто наборам подмногообразий с приписанными коэффициентами - натуральными числами) на исходном многообразии, лежащим в данном классе гомологий. Если выбрать $p$-мерное проективное подпространство в $\CP^n$, добавляя его к $p$-мерному циклу степени $d$, можно получить $p$-мерный цикл степени $d+1$. Получается башня из схем Чжоу, предел которой - некоторое топологическое пространство. В 1987 году Блейн Лоусон - мл. доказал следующую удивительную теорему: это пространство гомотопически эквивалентно произведению пространств Эйленберга-Маклейна $K(\Z, m)$, где $m$ пробегает все четные числа от $2$ до $n-p$. В ходе доказательства Лоусон придумал алгебро-геометрический аналог надстройки. Я расскажу про рассуждение Лоусона и про свойства его конструкции комплексной надстройки. Для понимания доклада достаточно знать определение гомотопических групп и уметь считать гомологии комплексного проективного пространства, все остальные необходимые определения я дам.

Николай Коновалов
Трансфер Беккера-Готтлиба

Как известно, для конечнолистного накрытия p: X\to Y существует крайне полезное отображение на когомологиях в неправильную сторону \tau:H^*(X) \to H^*(Y), наделенное тем свойством, что композиция \tau \circ p^* равна n \Id, где n количество листов накрытия. Дж. Беккер и Д. Готтлиб построили невероятно элементарным способом отображение с похожими свойствами в ситуации, когда слой расслоения p: X\to Y есть компактное гладкое многообразие. Затем они же обобщили свою конструкцию на случай расслоения со слоев любое конечно доминируемое пространство. В своем докладе я расскажу про трансферы, конструкцию Дж. Беккера и Д. Готтлиба и её приложения.

March 29, 2018

Григорий Папаянов
Эйлерова характеристика плоских многообразий.

Плоское аффинное многообразие это многообразие, у которого на касательном расслоении есть плоская связность без кручения. Эквивалентно, это фактор открытого подмножества в R^n по дискретной подгруппе аффинной группы. Гипотеза Черна (1955) утверждает, что у компактного плоского аффинного многообразия нулевая эйлерова характеристика; в полной общности она не доказана до сих пор. Можно подумать, что это тривиальное следствие теории Черна-Вейля, но нет --- класс Эйлера выражается через кривизну ортогональной связности, а мы не накладываем никаких требований, кроме отсутствия кручения. Я хочу рассказать примеры Смилли, показывающие, что отсутствие кручения действительно существенно, и про принадлежащее Клинглеру доказательство гипотезы Черна в случае, когда на многообразии есть параллельная форма объема. Оно довольно удивительное (там используется парагиперкомплексная структура на касательном пространстве плоского расслоения и её "пространство твисторов"), но технически довольно несложное; доклад должен быть более-менее понятен всем, кто знает, что такое связность и пучок.

Миша Вербицкий
Уравнение Калаби-Яу в плоской, комплексной и кватернионной геометрии

Я расскажу про уравнение Калаби-Яу в нескольких геометрических ситуациях, докажу единственность его решений и опишу схему доказательства их существования. Слушателям надо знать, что такое комплексное многообразие и дифференциальные формы.

April 5, 2018

Алексей Иванов
Комплексные инвариантные метрики Эйнштейна

Комплексные инвариантные метрики на однородном многообразии M=G/H с простым спектром представления группы изотропии параметризуются алгебраическим тором (C*)^n, при этом уравнения Эйнштейна имеют вид алгебраических уравнений Лорана. Таким образом, нормализованный объем Vol(P) соответствующего многогранника Ньютона P системы Эйнштейна дает верхнюю оценку на количество E(M) изолированных комплексных инвариантных метрик Эйнштейна на M (с точностью до умножения на число). Кроме того, каждой грани Г многогранника P можно канонически сопоставить некомпактное однородное многообразие M_Г (сжатие Иненю-Вигнера по грани Г), так что наличие положительного дефекта d(M)=Vol(M)-E(M)>0 объясняется наличием риччи-плоской инвариантной метрики на M_Г для какой-нибудь грани Г. В докладе будет дан обзор этих конструкций по статьям их изобретателя, М. М. Граева.

Артем Калмыков
Пространства модулей векторных расслоений на эллиптической кривой и эллиптические алгебры

В докладе я расскажу про некоторую естественную пуассонову структуру на пространствах модулей комплексов вида E_2 -> E_1 над эллиптической кривой и про ее связь с так называемыми эллиптическими алгебрами, возникающих в теории представлений квантовых групп.

April 12, 2018

Михаил Попов
Эйлерова характеристика пространства модулей кривых с одной отмеченной точкой

Доклад основан на работе Дона Загира и Джона Харера. Работа делится на две части: комбинаторную и геометрическую. Я затрону геометрическую часть работы. Расскажу про то, как посчитать эйлерову характеристику пространства модулей кривых с одной отмеченной точкой, расскажу про ее связь с римановой дзета-функцией, а также построю симплициальный комплекс для пространства Тейхмюллера.

Кирилл Салмагамбетов
Смешанная структура Ходжа на гомотопических группах кэлерового многообразия

Я расскажу об одном из подходов к построению смешанной структуры Ходжа на гомотопических группах кэлерового многообразия. Подход этот принадлежит Р.Хаину и опирается на теорему Чена - Де Рама, которая позволяет описать алгебру дифференциальных форм на пространстве базированных петель многообразия в терминах дифференциальных форм на самом многообразии, - конструкция называется отображение итерированного интегрирования. Эта конструкция также строит явную Де Рамовскую модель пополнения Мальцева фундаментной группы. Я расскажу теорему Чена - Де Рама и о том, как с помощью неё построить смешанную структуру Ходжа на гомотопических группах. Про смешанные структура Ходжа, пополнение Мальцева и прочие вещи я напомню, но для понимания желательно немного знать про обычное разложение Ходжа на комплексных и кэлеровых многообразиях.

April 19, 2018

Иван Солоненко
Космическая цензура гладких структур.

Одна из форм сильной гипотезы о космической цензуре (``strong cosmic censorship hypothesis''; Пенроуз, 1978) гласит, что "физически релевантное" пространство-время должно быть глобально гиперболическим. В этом докладе я дам необходимые для расшифровки вышесказанного определения и, следуя статье Чернова и Немировского ('Cosmic censorship of smooth structures', 2012), покажу, что условие глобальной гиперболичности накладывает сильные ограничения на гладкую структуру пространства-времени.

Василий Рогов
Категория Люстерника-Шнирельмана.

Категория Люстерника-Шнирельмана топологического пространства это минимальное число стягиваемых открытых множеств, которыми можно его покрыть. Это достаточно загадочный инвариант, который, тем не менее, находит применение в разных разделах алгебраической топологии, а также в симплектической геометрии, динамике и вариационном исчислении. Я расскажу про основные свойства категории Люстерника-Шнирельмана и ее связь с другими инвариантами в случае конечных CW-комплексов (например, объясню, почему категория Люстерника-Шнирельмана всегда оценивается снизу словарной длиной алгебры когомологий). Во второй части доклада я поговорю о том, какую роль категория Люстерника-Шнирельмана играет в рациональной теории гомотопий (оказывается, с точностью до рациональной эквивалентности она имеет чисто алгебраическое описание).

April 26, 2018

Андрей Рябичев
Теорема Нэша-Кёйпера

Теорема Нэша- Кейпера говорит, что если некоторое риманово многообразие вложимо в R^n, то оно изометрически вложимо в R^n. Я собираюсь рассказать её доказательство, и вообще поговорить про пространство струй и порекламировать h-принцип. Рассказ планируется вполне элементарным, никаких предварительных знаний кроме определения риманова многообразия не требуется.

Иван Яковлев
Многообразия Штейна и многообразия Вайнштейна

Я расскажу о некоторых результатах из книги Цилебака и Элиашберга "От штейновых многообразий к вайнштейновым и обратно". В частности, будут расклассифицированы симплектические структуры специального вида на некомпактных многообразиях. Все необходимые определения я дам.

May 10, 2018

Дмитрий Пирожков (Columbia University)
Формула замены базы для замкнутых вложений

Пусть Y -> X, T -> X морфизмы алгебраических многообразий. По пучку (или объекту производной категории) на Y можно двумя способами построить объект на T: либо через X, либо через расслоенное произведение Y и T над X. Если T -> X плоский морфизм, то, как известно, эти два способа дают одинаковый результат. Если T -> X замкнутое вложение, то результаты могут отличаться, и в некоторых ситуациях (например, когда всё гладкое) разницу можно описать при помощи понятия избыточного конормального расслоения. Я расскажу о том, как получить это описание. Желательно знать, что такое производные категории когерентных пучков.

Дарья Полякова

Я расскажу про гипотезу формальности Концевича, которая была доказана в статье https://arxiv.org/abs/q-alg/9709040. Для гладкого многообразия X строится L_\infty-квазиизоморфизм между DG алгеброй Ли поливекторных полей на X и DG алгеброй Ли Хохшильда для X. Первая компонента этого L_\infty-квазиизоморфизма совпадает с отображением Хохшильда-Костанта-Розенберга. Отсюда следует, что любая скобка Пуассона на X допускает деформационное квантование -- то есть, происходит из *-произведения на алгебре гладких функций на X. Все необходимые определения будут даны.

May 17, 2018

Григорий Андрейчев
Двойственность Хау, сферические гармоники и разложение Ходжа

Следуя оригинальной статье Хау, я расскажу об одном представленческом явлении, которое и называют двойственность Хау: будет описано разложение представлений редуктивных дуальных пар. Затем будет показано, как это всё работает для сферических гармоник и разложения Ходжа, а ещё в каких-то других случаях при наличии времени. В первой части доклада я напомню основные свойства алгебр Клиффорда и Вейля, а потом расскажу собственно про двойственность. Для понимания доклада необходимо лишь знать базовые факты и определения теории представлений.

Дмитрий Креков
Перфектоидные пространства и tilting equivalence

Я расскажу про перфектоидные пространства по статье Шольце https://arxiv.org/abs/1111.4914. Для некоторых полных неархимедовых полей с полем вычетов характеристики p, обладающих некоторыми арифметическими сойствами (такие поля называются перфектоидными) можно функториально построить неархимедово поле характеристики p, при этом у получившегося поля и у исходного будут эквивалентны категории конечных расширений. У этой эквивалентности есть обобщение: можно определить понятие перфектоидной алгебры и перфектоидного пространства, которое получается склеиванием адических спектров перфектоидных алгебр. Оказывается, что категории перфектоидных алгебр, а также пространств над двумя упомянутыми выше полями тоже эквивалентны (эта эквивалентность называется tilting equivalence), и эта замечательная теорема даёт возможность в некоторых утверждениях переходить от характеристики 0 в характеристику p. Я определю все вышеупомянутые понятия, расскажу про tilting equivalence, а также, если останется время, поведаю о применениях перфектоидных пространств в математике.

May 24, 2018

Родион Деев
Изопериметрическое неравенство в группах Карно

На многообразиях имеется класс метрик, называемых субримановыми. Они во всём подобны римановым, кроме того, что их метрический тензор обращается в бесконечность вне некоторого поля плоскостей. Они существенно отличаются от римановых, в частности, если субриманово многообразие билипшицево эквивалентно риманову, если только оно само риманово. Тем не менее, они бигёльдерово эквивалентны римановым, и некоторые факты классической геометрии имеют субримановы аналоги. Следуя обзору Пансю, я попытаюсь рассказать про изопериметрическое неравенство в группах Карно (субримановых аналогах евклидовых пространств). Будет время, я расскажу про субриманов вариант комплекса де Рама, открытый Рюменом, и про его применение к метрической геометрии.

Миша Вербицкий
Подмногообразия в многообразиях Олеклауса-Тома

Многообразия Олеклауса-Тома (Oeljeklaus-Toma manifolds) это компактные комплексныые многообразия, полученные из числовых полей нехитрой процедурой, обобщающей конструкцию поверхностей Инуэ. Эти многообразия снабжены плоской аффинной структурой, и получаются как фактор произведения C^k \times H^l по дискретной группе, действующей на этом произведении комплексными аффинными преобразованиями. Алгебраическая размерность ОТ-многообразий равна нулю, и у них очень мало комплексных подмногообразий. Я расскажу доказательство того, что подмногообразие ОТ-многообразия минимальной возможной размерности тоже плоское. Это совместная работа с Ливиу Орнеа и Виктором Вулетеску.

October 18, 2018

Роман Крутовский
Базисные когомологии канонических слоений на момент-угол многообразиях.

Панов и Устиновский обнаружили, что торическое многообразие $V_\Sigma$, соответствующее регулярному (то есть с порождающими векторами, лежащими в узлах решетки) полному вееру $\Sigma$ является базой расслоения с тотальным пространством, являющимся момент-угол многообразием $\mathcal{Z}_\Sigma$. Если же рассматривать произвольный полный симплициальный полный веер, то расслоение превращается в "слоение". В 2011 году Батталья и Зафран выдвинули гипотезу о том, что кольцо базисных когомологий для такого слоения описывается аналогично кольцу базисных когмологий торических многообразий. Доказательство этой гипотезы, полученное в соавторстве с Пановым и Ишидой, я и попытаюсь рассказать в ходе доклада.

November 1, 2018

Ляля Гусева
Пространство прямых на четырехмерной кубике и его периоды.

Бовиль и Донаги показали, что многообразие прямых F на четырехмерной кубической гиперповерхности Х является гиперкэлеровым многообразием. Кроме того, они показали, что четвертые примитивные когомологии Х изоморфны вторым примитивным когомологиям F как поляризованные структуры Ходжа. Я расскажу доказательства этих фактов.

November 8, 2018

Василий Рогов
Фундаментальная группа и кокасательное расслоение

На компактном кэлеровом многообразии имеется ненулевая голоморфная 1-форма тогда и только тогда когда его фундаментальная группа допускает одномерное комплексное представление с бесконечным образом. Этот факт является простым следствием классической теории Ходжа. Однако у него есть много глубоких обобщений, доказанных в работах разных авторов в последние десятилетия (Арапура, Брюнбарб, Кампана, Клинглер, Тотаро и др.) Все они так или иначе утверждают, что если фундаментальная группа компактного кэлерова многообразия "достаточно велика", то у некоторой симметрической или тензорной степени кокасательного расслоения есть голоморфное сечение. Я расскажу про эти теоремы, их связь с некоторыми важными гипотезами алгебраической геометрии и идеи их доказательств.

22 ноября 2018

Алена Денисова
Двойные комплексы и когомологии Чеха

Я собираюсь кратко напомнить, что такое когомологии де Рама, затем рассказать конструкцию (двойного) комплекса Чеха - де Рама и показать, что он вычисляет когомологии де Рама. С помощью этого я построю изоморфизм между когомологиями пространства Х и когомологиями Чеха его хорошего покрытия. Доклад будет сравнительно элементарным, приглашаются все желающие.

Василий Рогов
Теория Черна-Вейля по Ботту.

В 1973 году Р. Ботт предложил "топологический" подход к теории Черна-Вейля (то есть не использующий в явном виде понятия кривизны расслоения). Он построил некоторый бикомплекс, вычисляющий непрерывные когомологии группы Ли $G$ с коэффициентами в симметрических функциях на алгебре Ли и канонический морфизм из него в бикомплекс Чеха - де Рама базы главного $G$-расслоения. Это позволяет переносить теорию Черна-Вейля на более общие ситуации. Я расскажу про конструкцию Ботта.

November 29, 2018

Василий Рогов
Теория Черна-Вейля по Ботту (продолжение)

В 1973 году Р. Ботт предложил "топологический" подход к теории Черна-Вейля (то есть не использующий в явном виде понятия кривизны расслоения). Он построил некоторый бикомплекс, вычисляющий непрерывные когомологии группы Ли $G$ с коэффициентами в симметрических функциях на алгебре Ли и канонический морфизм из него в бикомплекс Чеха - де Рама базы главного $G$-расслоения. Это позволяет переносить теорию Черна-Вейля на более общие ситуации. Я расскажу про конструкцию Ботта.

Ильяс Байрамов
Categories of manifolds

If two smooth manifolds are homeomorphic, are they also diffeomorphic? I will start by discussing some historical results of R.H. Bing, Freedman, Kirby et al. in 2, 3, and 4 dimensions, related to this question. I will try to highlight the underlying combinatorics of such problems, and then discuss some recent applications to quantum computing.

December 6, 2018

Ильяс Байрамов
Categories of manifolds (продолжение)

If two smooth manifolds are homeomorphic, are they also diffeomorphic? I will start by discussing some historical results of R.H. Bing, Freedman, Kirby et al. in 2, 3, and 4 dimensions, related to this question. I will try to highlight the underlying combinatorics of such problems, and then discuss some recent applications to quantum computing.

Иван Солоненко
Униформизация и штейновость

В этом докладе, следуя недавней статье Немировского и Шафикова, я расскажу, почему единичный шар в C^n - единственное комплексное многообразие, которое может универсально накрывать как штейновы, так и нештейновы строго псевдовыпуклые области.

Laboratory of Algebraic Geometry and its Applications