archive: 2011-2016

A seminar on geometric structures on manifolds

For first-time visitors: please see the directions at the separate page.

Every Thursday, 18:30, Usacheva 6, room 306


Next session

December 7, 2017

Александр Попкович
Представления полупростых групп Ли: классическое и геометрическое описание

Я расскажу о некоторых способах построения неприводимых представлений полупростых групп Ли на примере групп типа А_n. Мы найдём искомые представления используя классическую теорему о двойственности Шура-Вейля, опишем их более явно как некоторые фактормодули и увидим, что они появляются как полиоднородные компоненты пространства регулярных функций на соответствующем группе многообразии флагов. Вдохновившись этим наблюдением, мы обсудим геометрический метод построения представлений как пространств сечений линейного расслоения на однородном пространстве группы.

Александра Кузнецова
Критерий рациональности

Как известно, над полем нулевой характеристики любая унирационaльная кривая или поверхность будет рациональной. В размерности три это уже не верно, но доказательства таких утверждений весьма нетривиально. Я расскажу о теории кодов, которая позволяет изучать некоторый тип унирациональных многообразий (двойные накрытия P^3, разветвленные в нодальной квартике) и покажу, что в некотором случае (пример Артина-Мамфорда) такое многообразие будет нерационально.


Future seminars

Past seminars

January 12, 2017

Сергей Галкин (ВШЭ)
Октонионы и проективные плоскости

Я расскажу про естественные конструкции исключительных групп G2, F4, E6 и решётки E8 в терминах октонионов и проективной плоскости. Затем я расскажу кое-что об алгебраической и метрической геометрии проективных плоскостей над R,C,H,O. От слушателей желательно умение оперировать эрмитовыми матрицами 2x2 и 3x3.


Саша Петров (ВШЭ)
"Некоммутативная теорема Делиня-Иллюзи по Каледину"
Я напомню классическую теорему Делиня-Иллюзи о том, что для гладкого собственного многообразия X над совершенным полем k характеристики p, допускающего подъем на W_2(k) и при достаточно большом p спектральная последовательность Ходжа-де Рама вырождается. Затем я попробую рассказать о том, что можно считать некоммутативным аналогом спектральной последовательности Ходжа-де Рама и намечу доказательство аналогичной теоремы.

Januar 19, 2017

Дима Пирожков (Columbia)
Стабильные расслоения и морфизм Фробениуса

Я расскажу про одноимённую статью Д. Гизекера, где для каждого рода g > 1 построена кривая характеристики p и расслоение ранга 2 на ней, которое перестаёт быть стабильным при пулбэке относительно морфизма Фробениуса. Его конструкция вырождает кривую до конфигурации из проективных прямых и использует факт, что у такого графа универсальное накрытие является схемой, пусть и не конечного типа. Желательно понимать слова из названия доклада.


Костя Толмачёв (MIT)
Геометрическая теория представлений унипотентных групп
Я расскажу, следуя работам Боярченко и Дринфельда, о геометрическом подходе к теории представлений унипотентных групп над конечными полями. От слушателей предполагается только знакомство с базовыми понятиями теории представлений конечных групп.

February 2, 2017

Евгений Статник (ВШЭ)
Геометрическая конструкция пространства модулей стабильных пучков на проективной плоскости

Из теоремы Бейлинсона следует, что стабильные пучки на проективной плоскости с фиксированными топологическими инвариантами можно представить как когомологии монад определённого вида. С другой стороны, такие монады задают представления некоторого колчана с соотношениями, имеющего три вершины и шесть стрелок. Цель доклада -- рассказать результат Le Potier "A propos de la construction de l'espace de modules des faisceaux semi-stables sur le plan projectif" о том, что можно выбрать условие стабильности для колчана так, чтобы стабильность для представлений колчанов и для пучков совпадали. При этом предварительных знаний о стабильных пучках или о представлениях колчанов не требуется, но желательно знакомство с геометрической теорией инвариантов.


Вася Рогов (ВШЭ)
Кэлеровы многообразия с тривиальной симметрической алгеброй голоморфных дифференциалов односвязны.
Как известно из теории Ходжа, размерность пространства голоморфных дифференциалов на кэлеровом многообразии в два раза меньше его первого числа Бетти, т.е. ранга абелинизации фундаментальной группы. Можно задаться следующим вопросом: какую еще информацию о голоморфных дифференциальных формах на кэлеровом многообразии можно восстановить по его фундаментальной группе? Я скажу пару слов об имеющихся результатах в этой области и расскажу доказательство следующей теоремы (принадлежащей Брюнбарбу и Кампана): Пусть на кэлеровом многообразии $X$ при любых $k$ и $p$ $H^0(X, S^k\Omega^p_X) = 0$. Тогда $X$ -- односвязно.

February 9, 2017

Паша Сечин (ВШЭ)
Теорема Римана-Роха для неаддитивных операций и классы Черна из К-теорий Моравы

Мультипликативная операция -- характер Черна из К-теории в группы Чжоу -- не коммутирует с прямыми образами относительно проективных морфизмов, а теорема Римана-Роха явно "измеряет" эту некоммутативность. Я расскажу про обобщение этой теоремы для произвольных неаддитивных операций между так называемыми обобщёнными ориентированными теориями когомологий алгебраических многообразий, принадлежащее А. Вишику ( https://arxiv.org/abs/1409.0741 и https://arxiv.org/abs/1209.5793 ). Это утверждение (формулирое, впрочем, только для гладких вложений подмногообразий) позволяет строить операции между ориентированными теориями, определив их подходящим образом на произведениях проективных пространств. К-теории Моравы -- ориентированные теории, в некотором смысле обобщающие К-теорию (комплексную в топологической ситуации, и алгебраическую -- в алгебро-геометрической). Благодаря результату Вишика для вычисления операций из них достаточно знать только то, что эти теории являются фактором кобордизмов, заданным формальным групповым законом специального вида. Я расскажу о результате этого вычисления (https://arxiv.org/abs/1605.04444 и http://www.moebiuscontest.ru/files/2016/sechin.pdf) и о том, какие приложения можно получать с его помощью.


Дима Голубенко (ВШЭ)
Некоммутативные торические многообразия.
Следуя работе http://arxiv.org/abs/1308.2774, я расскажу об определении некоммутативных торических многообразий. Мы оттолкнемся от комбинаторного определения торических многообразий и попробуем его обобщить на некоммутативный случай. Основным инструментом анализа будет теория LVM-многообразий, о которой я вкратце скажу на докладе.

February 16, 2017

Александр Петров (ВШЭ)
Пример делителя нуля в кольце Гротендика многообразий

Я расскажу о хронологически первом примере делителя нуля в кольце Гротендика многообразий(в нулевой характеристике), принадлежащем Бьерну Пунену. Пример основан на теории комплексного умножения абелевых многоообразий(делителем нуля будет разность классов двух абелевых многообразий). Никаких предварительных сведений для понимания доклада не потребуется.


Дима Голубенко (ВШЭ)
Некоммутативные торические многообразия.
Следуя работе http://arxiv.org/abs/1308.2774, я расскажу об определении некоммутативных торических многообразий. Мы оттолкнемся от комбинаторного определения торических многообразий и попробуем его обобщить на некоммутативный случай. Основным инструментом анализа будет теория LVM-многообразий, о которой я вкратце скажу на докладе.

February 23, 2017

Митя Коршунов (ВШЭ)
Энергия Вилмора и минимальные поверхности

Энергия Вилмора поверхности - это интеграл квадрата ее средней кривизны. Гипотеза Вилмора утверждает, что для иммерсированного тора в R^3 минимальная возможная энергиия - 2pi^2. Маркиш и Невиш ее доказали, сведя к вопросу о минимальных поверхностях в трехмерной сфере, который они решили с помощью мин-макс метода Алмгрена-Питтса. Эта технология позволила им доказать несколько других популярных гипотез, в том числе гипотезу Яу о том, что в компактном римановом многообразии положительной кривизны Риччи бесконечно много замкнутых минимальных гиперповерхностей. Я расскажу про этот круг идей на более простых примерах, восходящих в Биркгофу и Люстернику-Шнирельману и опишу схему доказательства.


Миша Вербицкий (ВШЭ)
Особые гиперкэлеровы многообразия
Я дам определение особого гиперкэлерова многообразия, принадлежащее Хитчину, Делиню и Симпсону, приведу примеры, и расскажу, каковы особенности таких многообразий, и почему их нормализация неособа.

March 2, 2017

Саша Кузнецова (ВШЭ)
Сферические многообразия

Как известно, торические многообразие --- это многообразие с действием тора, имеющее плотную открытую орбиту и такие многообразия имеют удобное комбинаторное описание, которое дает простые критерии гладкости, собственности, проективности этих многообразий. Оказывается, что если рассмотреть вместо тора связную редуктивную группу G, действующую на многообразии X так, что борелевская подгруппа имеет плотную открытую подгруппу, то каждому такому X так же можно однозначно сопоставить похожую комбинаторную картинку. Многообразия с таким действием группы называются сферическими. Я расскажу про это cопоставление (соответствие Луны-Вуста) и про основной пример таких многообразий --- многообразия флагов.


Денис Терёшкин (ВШЭ)
Проблема Серра, формальность и 3-многообразия
Существует неразрешимый вопрос, поставленный вперые, вероятно, Серром: какие группы являются фундаментальными группами гладких проективных многообразий. Другая сложная (но практически решённая) проблема Т характеризация фундаментальных групп трёхмерных многообразий. Я расскажу о пересечении этих классов и геометрических аспектах формальности по статьям Резникова, Suciu и Papadima.

March 16, 2017

Павел Попов (ВШЭ)
Теорема Бореля-Вейля-Ботта

Это классическая теорема о том как посчитать когомологии любого линейного расслоения на пространствах флагов над полем комплексных чисел. В докладе будет рассказано доказательство, опирающееся на геометрию этих пространств. Для понимая надо знать, что такое когомологии пучков и как устроены линейные расслоения на P^1.


Дмитрий Коршунов (ВШЭ)
"Движение несжимаемой жидкости и геометрия бесконечномерных групп"
Классические уравнения Эйлера для движения твердого тела с закрепленной точкой -- это геодезический поток на группе SO(3). Владимир Арнольд заметил, что другие известные уравнения имени Эйлера, описывающие движение несжимаемой жидкости, точно так же могут быть представлены как геодезический поток, соответствующий правоинвариантной метрике на бесконечномерной группе диффеоморфизмов R^3, сохраняющих объем. В дальнейшем многие другие вполне интегрируемые уравнения были проинтерпретированы в таком стиле (КдФ и т.д.). Я расскажу про гамильтонову природу геодезического потока и мы попробуем повторить наблюдение Арнольда.

March 23, 2017

Вася Крылов (ВШЭ)
"Геометрическое соответствие Сатаке"

Я попробую рассказать про то, как геометрически построить по редуктивной алгебраической группе G (над алгебраически замкнутым полем характеристики ноль) двойственную ей по Ленглендсу группу G^{^} по статье Мирковича-Вилонена 2006-го года (а именно, построить тензорную категорию Rep-G^{^} вместе с функтором слоя геометрически). Я постараюсь ввести все необходимые геометрические конструкции и объекты, описать их свойства, сформулировать главную теорему и, если останется время, наметить доказательство.


Денис Терёшкин (ВШЭ)
Когомологическая характеризация свободных и гиперболических групп
Я докажу теорему Столлингса-Свана (группа когомологической размерности 1 свободна) и расскажу о том, что такое нормированные когомологии групп и почему зануление этих когомологий с некоторыми коэффициентами эквивалентно гиперболичности. Никаких предварительных знаний для понимания моего рассказа не требуется.

March 30, 2017

Вася Крылов (ВШЭ)
"Геометрическое соответствие Сатаке"

Я попробую рассказать про то, как геометрически построить по редуктивной алгебраической группе G (над алгебраически замкнутым полем характеристики ноль) двойственную ей по Ленглендсу группу G^{^} по статье Мирковича-Вилонена 2006-го года (а именно, построить тензорную категорию Rep-G^{^} вместе с функтором слоя геометрически). Я постараюсь ввести все необходимые геометрические конструкции и объекты, описать их свойства, сформулировать главную теорему и, если останется время, наметить доказательство.


Александр Калмынин (ВШЭ)
О гипотезе Эрдеша-Улама
Гипотеза Эрдеша-Улама утверждает, что не существует плотного подмножества вещественной плоскости, расстояние между любыми двумя точками которого рационально. Я расскажу о том, как выводить эту гипотезу из гипотезы Бомбьери-Ленга, и о том, как она связана с другими нерешенными задачами.

April 13, 2017

Женя Статник (ВШЭ)
Пространства мечты Мори и геометрическая теория инвариантов

Линеаризованные расслоения, необходимые для построения GIT-фактора, образуют векторное пространство, разбитое на многогранные конусы, GIT-клетки, в пределах которых фактор постоянен. Статья Hu, Keel "Mori Dream Spaces and GIT" описывает класс многообразий, хороших с точки зрения теории минимальных моделей Мори, -- их бирациональная геометрия задаётся GIT-клетками некоторого многообразия. Я кратко расскажу про такие "пространства мечты Мори" с точки зрения GIT, при этом собственно бирациональной геометрии почти не будет.


Коля Коновалов (ВШЭ)
Инвариант Арфа-Кервера
Инвариант Арфа-Кервера -- это инвариант стабильно оснащенных многообразий размерности 4n+2 со значениями в группе Z/2. Он строится как инвариант Арфа естественно возникающей по оснащению квадратичной формы на средних когомологиях H^{2n+1}(M,Z/2), Я собираюсь рассказать про его конструкцию, некоторые его обобщения и приложения.

April 20, 2017

Дмитрий Коршунов (ВШЭ)
Закон взаимности А. Вейля

Я расскажу короткое элементарное топологическое доказательство закона взаимности Вейля (произведение символов Вейля двух ненулевых мероморфных функций на компактной римановой поверхности по всем точкам равно 1), принадлежащее Бейлинсону. Для понимания доказательства нужно знать принцип аргумента из комплексного анализа.


Родион Деев (NYU)
Голоморфное неравенство Морса
Старая гипотеза в алгебраической геометрии, приписываемая Мамфорду, утверждает, что комплексное проективное многообразие заметается семейством рациональных кривых тогда и только тогда, когда ни у какой тензорной степени его канонического расслоения нету сечений. В 2004 году Буксом, Демайи, Петернелл и Пэун доказали часть этой гипотезы, а именно, что линейное расслоение над комплексным проективным многообразием псевдоэффективно тогда и только тогда, когда оно ограничивается положительно на всякую подвижную кривую. Их доказательство опиралось на так называемое голоморфное неравенство Морса для ходжевых классов, которое по сути является далеко идущим обобщением бинома Ньютона. Если бы у них было это неравенство для любых численно эффективных классов, они могли бы доказывать утверждения про конусы: например, что на комплексном проективном многообразии псевдоэффективный и подвижный конус двойственны, а подвижный конус равен замыканию сбалансированного. Я расскажу, как Витт-Нюстрём доказал голоморфное неравенство Морса, а также про применения этого неравенства к вопросам о конусах. Несмотря на обилие алгебраико-геометрического жаргона в анонсе, доклад будет исключительно аналитическим.

May 4, 2017

Денис Терешкин (ВШЭ)
Группы с кручением и без

Я расскажу несколько классических сюжетов из теории групп (в основном гомологической) про то, когда в группе могут быть элементы конечного порядка и когда их быть не может.


Павел Соломатин (Leiden)
Абсолютные группы Галуа и их различные подгруппы.
Павел Соломатин Каждому полю $K$ можно поставить в соответствие его абсолютную группу Галуа $G$. Оказывается, эта группа хранит в себе большое количество информации о поле из которого она приходит. Например, знаменитая теорема NeukirchСUchida утверждает, что любое глобальное поле(т.е. либо конечное расширение Q, либо поле функций на кривой над конечным полем) определяется с точностью до изоморфизма группой G(рассмотренной вместе с некоторой топологией на ней). Естественно задаться следующим вопросом: а какие еще объекты связанные с группой $G$ хранят всю информацию о поле $K$? Оказывается, что если ограничиться абелианизацей $G^{ab}$ группы $G$ то информации о поле можно получить довольно мало. В своем докладе я расскажу какую именно информацию о поле можно извлечь из $G^{ab}$.

May 11, 2017

Ренат Абугалиев (ВШЭ)
Линейные расслоения на абелевых многообразиях

Я устрою краткий ликбез по данной теме. В частности, докажу, что если дивизор D на абелевом многообразии обильный, то дивизор 3D -- очень обильный.


Дмитрий Пирожков (Columbia University)
Теорема Бертини над конечными полями
Теорема Бертини утверждает, что у гладкого проективного многообразия над бесконечным полем общее гиперплоское сечение будет гладким. Над конечными полями гиперплоскостей слишком мало. Это можно исправить расширением базового поля, но можно обойтись и без него, если вместо гиперплоскостей брать гиперповерхности достаточно большой степени. Я расскажу доказательство этого факта, придуманное Бьёрном Пууненом.

May 18, 2017

Александр Петров (ВШЭ)
Бирационально эквивалентные многообразия Калаби-Яу имеют одинаковые числа Ходжа

Это доказал Батырев с помощью p-адического интегрирования. Оказывается, что p-адические объемы бирационально эквивалентных многообразий равны, из чего следует, что для почти всех p, у редукциий этих многообразий одинаковое число точек над конечным полем. Благодаря гипотезам Вейля и разложению Ходжа-Тейта из этого следует равенство когомологических инвариантов в характеристике 0. Никаких предварительных сведений из теории чисел не потребуется.


Артём Калмыков (ВШЭ, Женева)
Деформация голоморфно Пуассоновых многообразий
Я расскажу о небольшой, но занимательной теореме, доказательство которой принадлежит Н. Хитчину, об отсутствии препятствий для деформаций, приходящих из голоморфной Пуассоновой структуры, а также что она дает в несимплектическом случае, например для рациональных поверхностей

May 25, 2017

Роман Крутовский (ВШЭ)
Иммерсии двумерных поверхностей в трехмерные пространство

Для замкнутой двумерной поверхности $F$ существует взаимноднозначное соответствие между группой $H^1(F;Z_2)$ и множеством классов иммерсий с точностью до регулярной гомотопии поверхности $F$ в $R^3$. Этот результат(даже чуть более общий) в своей статье доказали Joel Hass и John Hughes, о нем я и буду рассказывать. Кроме того, я покажу как по иммерсии явно построить этот элемент в группе когомологий, чего в работе авторов представлено не было. От слушателей потребуются базовые знания из алгебраической топологии и воображение.


Дмитрий Коршунов (ВШЭ)
Множество Мандельброта связно
Множество Мандельброта - это множество значений параметра c, таких что итерации отображения z^2+c не уносят 0 на бесконечность. Это сложный причудливый фрактал, топологические свойства которого несут много информации о динамике квадратичных отображений. Я расскажу элементарное топологическое доказательство связности множества Мандельброта, следуя заметке Джереми Кана.

June 8, 2017

Юра Рудько (ВШЭ)
Тропикализация

Тропикализация - это способ изучать семейства многообразий в терминах выпуклой геометрии. Я буду рассказывать об амебе, базисе Грёбнера и многогранниках Ньютона; строить из этих понятий несколько различных способов тропикализации и доказывать их эквивалетность.


Костя Логинов (ВШЭ), Ненормальные поверхности дель Пеццо.
Классификация поверхностей дель Пеццо (то есть проективных поверхностей с обильным антиканоническим пучком) над комплексными числами хорошо известна в гладком случае: любая такая поверхность есть либо раздутие проективной плоскости в не более чем 8 точках общего положения, либо неособая квадрика. Следуя работам Рида, Абе и Фурушимы, будет рассказано о том, как Программа минимальных моделей помогает изучать особые поверхности дель Пеццо, не являющиеся нормальными.

Jule 13, 2017

Яша Кононов (Коламбия)
Формула Римана-Роха.

Я расскажу вывод формулы Римана-Роха, следуя главе 3 Гриффитса-Харриса. Формула становится очевидной из сравнения формулы локализации в когомологиях и К-теории. Локализация в когомологиях доказывается относительно несложно, а весь сложный анализ таким образом попадает в доказательство голоморфной формулы Лефшеца, которая известна и интуитивно очевидна.


Ваня Тельпуховский (Торонто), "О путях единорога и гиперболичности по Громову комплекса кривых"
В 1998 году Мазур и Минский доказали, что комплекс кривых замкнутой поверхности рода g является гиперболическим по Громову. За этим фундаментальным результатом последовало много новых открытий про группу классов отображений поверхности и геометрию пространства Тейхмюллера. Первое доказательство было громоздким и сложным, а я расскажу о новом комбинаторном доказательстве, занимающем 5 страниц в опубликованной версии. Доклад предполагается элементарным и не требующим предварительных знаний из геометрической топологии.

August 3, 2017

Гриша Папаянов
G_2-многообразия

Я расскажу про исключительную группу Ли G_2 и про многообразия с такой голономией. Я докажу некоторые их геометрические свойства, определю некоторую дг-алгебру, аналогичную алгебре Дольбо для комплексных многообразий, свяжу с ней некоторую дг-категорию, аналогичную производной категории когерентных пучков, и что-нибудь там посчитаю.


Костя Толмачёв
Жесткие локальные системы на проколотой проективной прямой
Локальная система на проективной прямой с проколами называется физически жесткой, если она определяется локальной монодромией вокруг выколотых точек. Такими являются, например, локальные системы получаемые из классических гипергеометрических дифференциальных уравнений. Я расскажу о работе Н. Каца по их классификации.

September 7, 2017

Степан Казанин
Элементарная эквивалентность полей и ее приложения.

Я дам доказательства нескольких широко известных результатов (например, семнадцатой проблемы Гильберта), и нескольких менее известных результатов (один из них таков: любое инъективное полиномиальное отображение из C^n в C^n сюръективно) на языке теории моделей: фундаментального для математической логики инструмента, роль которого не всегда в полной мере освещается во вводных курсах.

Миша Вербицкий
Негиперболичность многообразий с бесконечной группой автоморфизмов

Проективное многообразие называется "алгебраически гиперболическим", если существует число A>0 такое, что каждая кривая рода g имеет степень < A (g-1). Согласно гипотезе Демайи, эта гиперболичность равносильна гиперболичности по Кобаяши. Легко доказать, что из гиперболичности по Кобаяши следует алгебраическая гиперболичность. Также легко доказать, что многообразия, гиперболичные по Кобаяши, имеют конечную группу автоморфизмов. Я расскажу, почему алгебраически гиперболические многообразия тоже имеют конечную группу автоморфизмов. Это совместная работа с Федором Богомоловым и Людмилой Каменовой. От слушателей потребуется знание основ топологии и алгебраической геометрии (разложение Ходжа, проективные вложения, отображение Альбанезе).

September 14, 2017

Гриша Папянов (Northwestern University)
Резольвенты Дольбо когерентных пучков и их приложения

Голоморфное расслоение на гладком комплексном многообразии можно описать как гладкое расслоение с dbar-оператором - его резольвенту Дольбо. Рослый-Бондал и Блок открыли способ построить резольвенту Дольбо (эллиптический комплекс, разрешающий данный пучок) у произвольного когерентного пучка. Эта конструкция позволяет применять эллиптическую теорию для изучения когерентных пучков на гладких многообразиях, и в частности доставляет простое доказательство конечномерности когомологий и когерентности прямого образа. Я собираюсь рассказать про эту конструкцию; от слушателей требуется знать, что такое комплексное многообразие.

Роман Крутовский (ВШЭ)
Спектральная последовательность Бореля.

Довольно полезной техникой для подсчета когомологий хороших пространств являются спектральныйепоследовательности, в частности широко используемая последовательность Серра, которая позволяет вычислять кольцо когомологий SU(n). Мы же поговорим о спектральной расследовательности для комплексно-аналитических расслоений, которой позволяет считать более тонкие когомологии Дольбо. Большую часть доклада я посвящу доказательству существования данной последовательности, если хватит времени, то поговорим и о применении данной техники (в частности, к многообразиям Хопфа и их обобщениям). Пререквизиты: я буду предполагать, что слушатели знакомы со спектральной последовательностью Лере и когомологиями с коэффициентами в пучках.

September 21, 2017

Нина Зубрилина (Stanford University)
Про упаковки сфер

До недавнего времени, задача нахождения максимальной плотности упаковки шаров равного радиуса в Евклидовом пространстве была решена только для размерностей 1, 2, и 3. Я сделаю небольшой ввод в проблему и расскажу о прорывной работе Марины Вьязовски 2016 года, позволившей разрешить вопрос для размерностей 8 и 24.

Юрий Элияшев (СФУ)
О тропикализации кривых.

Стандартный подход к построению тропического предела семейства комплексных кривых использует ряды Пюизо, многогранники Ньютона и тому подобные объекты. Я расскажу о другом подходе, который основан на внутренней геометрии кривых. Этот подход оказывается гораздо более дифференциально-геометрическим по духу, в его основе лежат пространства модулей кривых и гиперболическая геометрия. Доклад основан на статье: Lionel Lang ``Harmonic Tropical Curves''.

September 28, 2017

Никон Курносов (University of Georgia)
Голоморфная динамика на К3-поверхностях.

Расскажу об известной работе МакМуллена, где он показал существование автоморфизмов K3-поверхности с дисками Зигеля. Будет рассказано про общие свойства автоморфизмов K3, числа Салема. Специальных знаний не требуется.

Василий Рогов(ВШЭ)
Алгебраическая размерность гиперкэлеровых многообразий.

Алгебраическая размерность компактного комплексного многообразия это степень трансцендентности поля мероморфных функций на нем. Она не превосходит комплексной размерности многообразия (причем равенство достигается тогда и только тогда, когда многообразие мойшезоново), но вообще говоря может быть и меньше. Непосредственно вычислить ее бывает довольно сложно. Гипотеза, принадлежащая Огуисо, утверждает, что алгебраическая размерность односвязного гиперкэлерового многообразия комплексной размерности 2n может принимать значения 0, n или 2n. Я расскажу об имеющихся продвижениях в этой гипотезе по статье Кампана, Огуисо и Петернелла. Для понимания доклада достаточно знать, что такое комплексное многообразие, все остальные необходимые определения я дам.

October 5, 2017

Денис Терешкин (ВШЭ)
Алгебра и топология \mu-инвариантов.

Каждому зацеплению в R^3 можно сопоставить целочисленный вектор, показывающий, насколько фундаментальная группа дополнения отличается от свободной — \mu-инварианты, придуманные Милнором на четвёртом курсе Принстонского университета. Я расскажу про разные свойства этих инвариантов, про классификацию зацеплений в целом и про применение пронильпотентного пополнения групп в народном хозяйстве.


Лев Суханов (ВШЭ)
Теорема о двойной надстройке.

Теорема о двойной надстройке утверждает, что двойная надстройка гомологической сферы гомеоморфна сфере.

October 12, 2017

Алексей Голота
Размерность Кодаиры базы (некоторых) вариаций структур Ходжа

Пусть U = X\D — открытое подмногообразие компактного кэлерова многообразия X, где D — дивизор с нормальными пересечениями. Предположим, что на U существует поляризованная вариация структур Ходжа, отображение периодов которой иммерсия хотя бы в одной точке. Тогда логарифмическое кокасательное расслоение слабо положительно и объёмно, и как следствие, пара (X, D) — общего типа. Я расскажу аналитическое доказательство этого факта (Й. Брюнбарб - Б. Кадорель, 2017), не использующее вырождений вариаций структур Ходжа. Перед основной частью будет вступление, ориентированное на младшекурсников, с изложением проблематики и основных методов.

October 19, 2017

Баларам Усов (ВШЭ)
Гомотопические сизигии

Для каждого копредставления группы G можно построить стандартный двумерный комплекс - взять букет окружностей в качестве порождающих и заклеить двумерными клетками как соотношениями. Оказывается, что свойства этого комплекса тесно связаны со свойствами самой группы, например G действует точно на его \pi_2, а в \pi_2 профакторизованному по этому действию лежат H_3(G). Кроме этого, я расскажу про диаграммы Ван Кампена и картинки Игусы, про производные Фокса и про разные открытые вопросы.

October 26, 2017

Евгений Статник
HRR и LFP для DG-алгебр

Теорему Хирцебруха-Римана-Роха и формулу Лефшеца о числе неподвижных точек можно сформулировать не только для многообразий, но и для дифференциально-градуированных алгебр, используя вместо сингулярных когомологий гомологии Хохшильда. В этом случае они намного более формальны: в частности, в HRR нет класса Тода. Доклад будет следовать второй части статьи Luntz "Lefschetz Fixed Point theorems for Fourier-Mukai functors and DG-algebras" (это краткий обзор) и статье Shklyarov "Hirzebruch-Riemann-Roch theorem for DG algebras" (там больше деталей). Значительная часть доклада будет посвящена напоминанию и разъяснению необходимых определений, поэтому в качестве пререквизитов достаточно не бояться дифференциально-градуированных категорий.

November 2, 2017

Василий Крылов
Теорема Джекобсона-Морозова

Я попробую рассказать доказательство теоремы Джекобсона-Морозова. Она утверждает, что любой нильпотентный элемент в полупростой алгебре Ли можно включить в sl_{2} тройку. Доказательство этой теоремы абсолютно элементарно (требует только структурной теории полупростых алгебр Ли, про которую я скажу). Эта теорема имеет много важных приложений, про которые я постараюсь упомянуть. В частности, она позволяет построить семейство конических симплектических разрешений (так называемые многообразия Слодови)

Константин Логинов
О бирациональных инволюциях проективной плоскости.

Будет рассказано о классификации инволюций в группе бирациональных автоморфизмов проективной плоскости над алгебраически замкнутым полем. Мы покажем, как при помощи программы минимальных моделей построить регулярное действие инволюции на минимальной рациональной поверхности, а затем введем инвариант: кривую неподвижных точек такого действия. В результате окажется, что всякая нетривиальная инволюция сопряжена ровно одной из трех: инволюции де Жонкьера, Бертини или Гейзера.

November 9, 2017

Владимир Кондратьев
Гипотеза Минковского об унимодулярных решетках.

Я расскажу о подходе Макмуллена к доказательству гипотезы Минковского об унимодулярных решётках. Рассмотрим действие диагональной подгруппы $A \subset SL(n,\mathbb{R})$ на пространстве унимодулярных решёток. Решётка в $\mathbb{R}^n$ называется well-rounded, если она содержит n линейно независимых векторов минимальной длины. Мы докажем, что если орбита решётки ограничена, то её замыкание содержит well-rounded lattice. Пререквизиты: начальный курс линейной алгебры и начальный курс топологии

Василий Рогов
Кэлеровы сольвмногообразия

Сольвмногообразием называется фактор связной односвязной разрешимой группы Ли по кокомпактной решетке. Комплексное сольвмногообразие это сольвмногообразие, снабженное однородной комплексной структурой. Сольвмногообразия, которые получаются из нильпотентных групп Ли, называются нильмногообразиями. Все комплексные нильмногообразия бимероморфные кэлеровым многообразиям - это торы. Это классический факт, одно из доказательств которого основано на теореме формальности Делиня-Гриффитса-Моргана-Салливана, глубокой теореме о топологии кэлеровых многообразий. В 2003 году Дону Арапура доказал, что все комплексные сольвмногообразия бимероморфные кэлеровым - конечные факторы торов. Это доказательство тоже основано на (вообще говоря, совсем других) глубоких фактах о топологии кэлеровых многообразий. Доклад будет сравнительно элементарным, хорошо бы только понимать, что такое полупрямое произведение групп и быть знакомым с понятием группы Ли.

Laboratory of Algebraic Geometry and its Applications