archive: 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015

Laboratory of algebraic geometry: weekly seminar

For first-time visitors: please see the directions at the separate page.

Every Friday, 17:00, Usacheva 6, room 306

This week

October 20, 2017, 17:00: Sergey Arkhipov (Aarkhus)
Braid relations in the affine Hecke category and differential forms with logarithmic singularities.

We recall the even and odd algebro-geometric realizations of the affine Hecke category - one via equivariant coherent sheaves on the Steinberg variety and the other in terms of some equivariant DG-modules over the DG-algebra of differential forms on a reductive group G.

The latter one has a toy analog called the coherent Hecke category. It contains certain canonical objects satisfying braid relations via convolution. The proof uses simple facts from the geometry of Bott-Samelson varieties.

Our goal is to provide a similar proof of braid relations in the affine Hecke category. It turns out that canonical braid group generators are given by certain DG-modules of logarithmic differential forms and braid relations follow immediately from a general statement which seems to be new: direct image of the DG-module of logarithmic differential forms does not depend on a resolution of singularities.

The talk is organized jointly with the Mirror Symmetry lab

Future seminars

November 3, 2017, 15:30: John Alexander Cruz Morales (Universidad Nacional de Colombia)
On Stokes matrices for Frobenius manifolds

In this talk we will discuss how to compute the Stokes matrices for some semisimple Frobenius manifolds by using the so-called monodromy identity. In addition, we want to discuss the case when we get integral matrices and their relations with mirror symmetry. This is part of an ongoing project with Maxim Smirnov which extends previous work with Marius van der Put for the case of quantum cohomology of projective and weighted projective spaces to other Frobenius manifolds not necessarily of quantum cohomology type.

November 3, 2017, 17:00: Grigory Mikhalkin (Geneva)
Примеры тропическо-лагранжевых соответствий

Согласно методологии "Эс-Игрек-Зет" (Штромингер-Яу-Заслов), тропические объекты могут быть воплощены в классическом мире двумя способами: как объекты в комплексной, и как объекты в симплектической геометриях. Каждое из таких воплощений должно быть математически описано своей теоремой соответствия.

В то время как тропически-комплексные соответствия изучались и изучаются достаточно интенсивно (в частности, для кривых, точек, и полных пересечений), тропически-симплектические соответствия относительно малоизучены. В докладе мы рассмотрим некоторые простейшие примеры таких соответствий. В качестве применения мы передокажем теорему Гивенталя (доказанную около 30 лет назад) о лагранжевых вложениях связных сумм бутылок Клейна в C^2.

Wednesday, November 15, 2017, 17:00: Maxim Smirnov (MPIM Bonn)
On Lefschetz exceptional collections and quantum cohomology of Grassmannians.

Given a Lefschetz exceptional collection on a variety X one defines its residual subcategory as the orthogonal to the rectangular part of the collection. In this talk we will discuss some (partially) conjectural relations between the quantum cohomology of X and the structure of the residual subcategory in the case of ordinary and symplectic isotropic Grassmannians. The talk is based on joint works, some finished and some still in progress, with A. J. Cruz Morales, S. Galkin, A. Mellit, N.Perrin, and A. Kuznetsov.

November 17, 2017: Artan Sheshmani (Harvard)
Nested Hilbert schemes, local Donaldson-Thomas theory, Vafa-Witten / Seiberg-Witten correspondence

We report on the recent rigorous and general construction of the deformation-obstruction theories and virtual fundamental classes of nested (flag) Hilbert scheme of one dimensional subschemes of a smooth projective algebraic surface. This construction will provide one with a general framework to compute a large class of already known invariants, such as Poincare invariants of Okonek et al, or the reduced local invariants of Kool and Thomas in the context of their local surface theory. We show how to compute the generating series of deformation invariants associated to the nested Hilbert schemes, and via exploiting the properties of vertex operators, prove that in some cases they are given by modular forms. We finally establish a connection between the Vafa-Witten invariants of local-surface threefolds (recently analyzed Tanaka and Thomas) and such nested Hilbert schemes. This construction (via applying Mochizuki's wall- crossing techniques) enables one to obtain a relations between the generating series of Seiberg-Witten invariants of the surface, the Vafa-Witten invariants and some modular forms. This is joint work with Amin Gholampour and Shing-Tung Yau following arXiv:1701.08902 and arXiv:1701.08899.

November 24, 2017: Grzegorz Kapustka (Jagiellonian University, Kraków)
On the Morin problem

We will study the Morin problem and present a method of classification of finite complete families of incident planes in P5. As a result we prove that there is exactly one, up to Aut(P5), configuration of maximal cardinality 20 and a unique one parameter family of 19 planes. Finally I will discuss the Morin problem in higher dimensions in particular study configurations of P3 in P9 and their relations with polarised hyper-Kahler fourfolds of K3^[2] type and Beauville-Bogomolov degree 4.

December 8, 2017: Аскольд Хованский (Торонто)
О кольце условий комплексного тора

TBA

Past seminars

January 15, 2016: Александр Буфетов (ВШЭ, МИРАН, Aix-Marseille)
"Предельные теоремы для потоков переноса"

We obtain an asymptotic expansion for ergodic integrals of translation flows on flat surfaces of higher genus and give a limit theorem for these flows http://arxiv.org/abs/0804.3970v4

January 22, 2016: Dmitry Doryn (IBS, Pohang)
Feynman periods: numbers and geometry.

I will speak on the Feynman periods, the values of Feynman integrals in (massless, scalar) phi^4 theory, from the number-theoretical perspective. Then I define a closely related geometrical object, the graph hypersurface. One can try to study the geometry of these hypersurfaces (cohomology, Grothendieck ring, number of rational points over finite fields) and to relate it to the periods. The most interesting results come out from the study of the c_2 invariant (on the arithmetical side).

January 29, 2016: Александр Элашвили (Тбилиси)
О комбинаторике лиандрических чисел типа А_n

В докладе будет рассказано о происхождении лиандрических чисел, связанном с алгебрами Ли, дано их определение. Также будет рассказано об успехах и неуспехах в их вычислении и сформулированы гипотезы об их асимптотическом поведении.

February 5, 2016, 15:30: Дмитрий Зубов (ВШЭ)
"Эргодические свойства преобразований Вершика"

Рассмотрим конечный ориентированный граф с фиксированным числом вершин m, такой что у всякой его вершины есть как входящее, так и выходящее ребро (разрешаются также кратные рёбра). Последовательность Г_n таких графов можно представить в виде градуированного графа G. Марковским компактом X называется множество путей в G.

Линейный порядок на множестве рёбер, выходящих из данной вершины, задаёт поток на листе асимптотического слоения, образованного множествами путей с фиксированным бесконечным концом. Эта конструкция даёт, в частности, символическое кодирование потоков переноса на плоских поверхностях.

А.И. Буфетовым была получена асимптотика интегралов вдоль листов асимптотических слоений в терминах гёльдеровых конечно-аддитивных мер.

Докладчик, следуя работам Дж.Форни и Марми-Муссы-Йоккоза, исследовал вопрос о равномерной ограниченности эргодического интеграла и дал достаточные условия существования ограниченного решения когомологического уравнения.

February 5, 2016, 17:00: Дмитрий Каледин (МИАН, ВШЭ)
Hodge-to-de Rham degeneration.

Я расскажу о коммутативной и некоммутативной спектральной последовательности Ходжа-де Рама и о том, как доказывать ее вырождение методом Делиня и Иллюзи. В принципе, я уже рассказывал на семинаре если не всю эту историю, то уж точно ее большую часть; но наверное невредно все подытожить и свести воедино -- тем более, что оно теперь все доступно в качестве препринта. Разумеется, никакого знакомства ни с предыдущими своими рассказами, ни с методом Делиня-Иллюзи я предполагать не буду, а все необходимое напомню по ходу дела.

February 12, 2016, 17:00: Алексей Глуцюк (HSE and ENS Lyon)
О языках Арнольда в модели эффекта Джозефсона, голоморфных решениях уравнения Гойна и детерминантах из модифицированных функций Бесселя.

Рассматривается семейство дифференциальных уравнений на торе, моделирующее эффект Джозефсона из сверхпроводимости. Исследуются зоны фазового захвата: множества уровня числа вращения (имеющего смысл среднего напряжения за длинный интервал времени), имеющие непустую внутренность. Оказывается, что в отличие от классической картины языков Арнольда, в рассматриваемом семействе зоны захвата существуют только для целых значений чисел вращения (замечено и доказано В.М.Бухштабером, О.В.Карповым и С.И.Тертычным и чуть позднее доказано Ю.С.Ильяшенко). Известно, что каждая зона захвата является бесконечной цепочкой областей на плоскости, разделенных перемычками и уходящими на бесконечность, границы областей имеют Бесселеву асимптотику (замечено физиками С.Шапиро, А.Янусом и С.Холли (1964 г.) и недавно доказано А.В.Клименко и О.Л.Ромаскевич). Рассматриваемое семейство уравнений на торе эквивалентно семейству голоморфных линейных дифференциальных уравнений второго порядка на сфере Римана: биконфлюэнтных уравнений Гойна.

В докладе будет сделан обзор открытых вопросов и результатов о геометрии зон захвата, с рассказом о геометрических результатах, полученных комплексными методами. В частности, об описании координат перемычек, по работам В.М.Бухштабера, С.И.Тертычного, В.А.Клепцына, Д.А.Филимонова, И.В.Щурова и докладчика. С акцентом на недавнюю работу В.М.Бухштабера и докладчика, в которой получен новый результат о детерминантах из модифицированных функций Бесселя, доказывающий гипотезу Бухштабера--Тертычного о частичном описании ординат перемычек.

February 19, 2016, Игорь Крылов (Edinburgh)
Рационально связные многообразия, которые не бирациональны многообразиям типа Фано.

Многообразия типа Фано - многообразия, на которых существует граница, для которых они - лог Фано. Кольца кокса этих многообразий конечно порождены, поэтому многообразия типа Фано ведут себя очень хорошо относительно прогаммы минимальных моделей. Также известно, что многообразия типа Фано рационально связны. Используя техники программы минимальных моделей и бирациональной жёсткости я покажу, что бирациональные классы многообразий типа Фано и рационально связных многообразий не эквиваленты в размерности 3 и выше.

February 26, 2016, Дмитрий Алексеевский (ИППИ и University of Hradec Kralove)
"Проблема стабильности в нейрогеометрии зрения"

Как обнаружил Ярбус, даже при фиксации глаза на объекте, он участвует как минимум в трех видах движений - треморе, дрейфе и микросаккадах. Это означает, что проекция изображения на сетчатку все время преобразуется. Будет объяснено, что эти преобразования можно рассматривать как конформные преобразования из группы Мебиуса. Проблема инвариантности восприятия образов относительно таких преобразований называется проблемой стабильности. В докладе будет обсуждаться модели примарной зрительной коры, основанные на контактной, симплектической и конформной геометрии и их применение к проблеме стабильности.

March 04, 2016, Николай Мощевитин (МГУ)
О некоторых решенных и нерешенных задачах теории диофантовых приближений

Хорошо известно, что многие задачи теории одномерных диофантовых приближений (то есть, задачи, связанные с исследованием закономерностей приближения вещественного числа рациональными числами) могут быть решены благодаря наличию аппарата непрерывных дробей. Когда же речь заходит о аналогичных задачах, связанных с многомерными диофантовыми приближениями, оказывается, что естественного многомерного обобщения аппарата непрерывных дробей придумать не удается. В какой-то мере это связано с новыми геометрическими феноменами, возникающими в многомерной теории. Одним из этих феноменов является явление вырождения размерности наилучших диофантовых приближений, открытое автором в 1996-1997 годах и восходящее к работам А.Я.Хинчина, В. Ярника, Г. Давенпорта и В. Шмидта.

В докладе будет рассказано о некоторых классических и новых задачах и теоремах, связанных с одномерными и многомерными задачами. В частности, будут обсуждаться

March 9 (Wednesday), 2016, 18:30, room 1001, Gueo Grantcharov (FIU, Miami):
On some examples of special non-Kaehler metrics

We consider two types of non-Kaehler metrics -- balanced and astheno-Kaehler. There is an opinion that a compact complex manifold can not admit both, even if they are different. We provide examples on twistor spaces and homogeneous manifolds, which partly support such an opinion.

March 11, 2016, Иван Дынников (МГУ)
Дискретизация комплексного анализа

Я сделаю небольшой обзор существующих подходов к построению дискретных аналогов голоморфных функций на комплексной плоскости и расскажу о нашем совместном подходе с С.П.Новиковым. Речь в основном пойдет о функциях на двумерных решетках. При дискретизации условий Коши-Римана может возникать эффект удвоения размерности - дискретных голоморфных функций оказывается "вдвое больше", чем хотелось бы. При нашем подходе этого эффекта нет за счет того, что мы рассматриваем вещественные функции на решетке, но возникает другая проблема - нет естественного оператора умножения на мнимую единицу. Недавно я заметил, что для большого класса дискретных голоморфных функций эта проблема устраняется, умножение на i определяется канонически требованием инвариантности относительно сдвигов на векторы решетки.

March 18, 2016, Евгений Смирнов (ВШЭ, НМУ)
Хордовые диаграммы

Хордовые диаграммы -- один из центральных объектов теории инвариантов Васильева узлов. Они порождают алгебру Хопфа, называемую биалгеброй хордовых диаграмм и играющую важную роль при описании инвариантов Васильева. У хордовых диаграмм имеется обобщение: ленточные графы. Для них тоже есть понятие четырехчленного соотношения, однако структуру алгебры Хопфа на них ввести уже не удается. Для хордовых диаграмм есть понятие матрицы пересечений. Мы обобщаем это понятие на ленточные графы: аналогом матрицы пересечений при этом оказывается лагранжево подпространство в 2n-мерном симплектическом пространстве, где n -- число рёбер ленточного графа. Оказывается, что такие объекты также образуют алгебру Хопфа (это наш совместный результат с В.А.Клепцыным). Неожиданным образом, та же самая алгебра Хопфа возникает в недавней работе В.Жукова и С.К.Ландо, посвященной весовым системам дельта-матроидов.

March 25, 2016, Alexei Pirkovskii (HSE)
Квантовый полидиск, квантовый шар и q-аналог теоремы Пуанкаре

Классическая теорема Пуанкаре (1907) утверждает, что полидиск и шар в $C^n$ не являются биголоморфно эквивалентными при n>1. На двойственном языке это означает, что алгебры голоморфных функций на полидиске и шаре не изоморфны друг другу. Я расскажу про некоммутативный аналог этого результата. Попутно мы обсудим, что такое свободный полидиск и свободный шар, поговорим о голоморфных деформациях топологических алгебр и об их связи с формальными деформациями, а также (при наличии времени) затронем вопрос о том, на какие объекты можно пробовать смотреть как на некоммутативные аналоги пространств Штейна.

March 30, 2016, 18:30 (Wednesday), Hamid Ahmadinezhad (Bristol)
Birational classification of 3-fold Fano-Mori spaces; a new outlook.

Abstract: I will give an overview of the geometry of Fano 3-folds after Mori theory. After discussing past approaches to the classification, I will highlight why such attempts seem hopeless. Building on recent advances in the geometry of Fanos, I introduce a new viewpoint on the classification problem. A main emphasis will be given to the unpredicted behaviour of the first examples of non-complete intersection biratinally rigid Fanos, discovered in a joint work with Takuzo Okada. I will also talk about the other end of the spectrum, the rational Fanos.

April 1, 2016, 17:00, Михаил Фейгин (Glasgow University)
V - системы

V-системы - это специальные конфигурации векторов определяемые в линейно-алгебраических терминах. Они были введены Веселовым в конце 90х в связи с теорией фробениусовых многообразий. V-системы обобщают кокстеровские системы корней. Класс V-систем замкнут относительно естественных операций взятия подсистем и проекций. Помимо этих свойств известен ряд примеров V-систем, но классификация отсутствует. Объяснив эти результаты, я также планирую обсудить более недавнее изучение специального подкласса гармонических V-систем. Доклад основан на совместных работах с А.П. Веселовым.

April 8, 2016, 17:40, room 1001, Christian Liedtke (Technische Universität München),
Good Reduction of K3 surfaces

By a classical theorem of Serre and Tate, extending previous results of Neron, Ogg, and Shafarevich, an Abelian variety over the field of fractions K of a local Henselian DVR has good reduction if and only if the Galois action on its first l-adic cohomology is unramified ("no monodromy"). We show that if the Galois action on second l-adic cohomology of a K3 surface over K is unramified, then the surface admits an ``RDP model'', and good reduction (that is, a smooth model) after a finite and unramified extension. (Standing assumption: potential semi-stable reduction.) Moreover, we give examples where such an unramified extension is really needed. This is joint work with Yuya Matsumoto.


April 15, 2016, "Topology day in HSE"

14.00-14.50 И.А.Дынников Прямоугольные диаграммы и выпуклые поверхности в смысле Жиру

15.00-15.50 А.А.Гайфуллин Топологические свойства симплициальных комплексов, соответствующих симметрическим матрицам ограниченного ранга, и гипотеза кузнечных мехов.

15.50-16.30 Кофе-брейк (буфет на 10 этаже)

16.30-17.20 Р.Н.Карасев Кратности отображений и конфигурационные пространств

17.30-18.20 М.Э.Казарян Комплекс Васильева и характеристическая спектральная последовательность

April 22, 2016, 17:00, room 1001, Marco Mazzucchelli (CNRS, ENS de Lyon)
On the multiplicity of isometry-invariant geodesics.

Abstract: The problem of isometry-invariant geodesics, introduced by K. Grove in the 70s, is a generalization of the closed geodesics one: given an isometry of a closed Riemannian manifold, one looks for geodesics on which the isometry acts as a non-trivian translation. In this talk, after recalling the framework of the problem, we present a few new multiplicity results on certain classes of Riemannian manifolds. We will also discuss a contact-geometric generalization: the existence problem for Reeb orbits that are invariant under a strict contactomorphism. Part of the talk is based on a joint work with Leonardo Macarini.

April 26, 2016 (Tuesday), 18:30, room 1001, Daniil Rudenko (HSE),
Goncharov conjectures and functional equations for polylogarithms

Classical polylogarithms and functional equations which these functions satisfy have been studied since the beginning of the 19th century. Nevertheless, the structure of these equations is still understood very poorly. I will explain an approach to this subject, based on the link between polylogarithms and mixed Tate motives.

A substantial part of the talk will be devoted to the explanation of this link, provided by Goncharov Conjectures. After that, I will present some results about functional equations which can be proved unconditionally. If time permits, I will finish with another application of this circle of ideas to scissor congruence theory.

April 27, 2016 (Wednesday), 18:30, room 1001, Alexander Tikhomirov(HSE),
On the geography of the moduli space of semistable rank two sheaves on projective space

We study the Gieseker-Maruyama moduli space M(n)=M_{P^3}(2;0,n,0) of semistable rank two coherent sheaves with Chern classes c_1=c_3=0 and c_2=n>0 on the projective space P^3. It contains as an open subset the moduli space M*(n) of rank two stable vector bundles with c_1=0 and c_2=n on P^3. In 1988 L.Ein showed that the number of irreducible components of M*(n) is unbounded as n grows.However, M(n) contains also irreducible components having non-locally free sheaves as their generic points. The first example of this phenomenon for n=2 was found by G. Trautmann and J. Le Potier in 1993. The aim of this talk is to provide an explicit construction of a big number of new irreducible components of M(n) having as their generic points the sheaves with 0-dimensional and 1-dimensional singularities, respectively. We show that in both cases the number of such components is unbounded as n grows. T his is a joint work with M. Jardim and D. Markushevich.

О географии пространства модулей полустабильных пучков ранга 2 на проективном пространстве

Исследуется пространство модулей Гизекера-Маруямы M(n)=M_{P^3}(2;0,n,0) полустабильных когерентных пучков ранга 2 с классами Черна с_1=с_3=0 и c_2=n>0 на проективном пространстве P^3. Оно содержит в качестве открытого подмножества пространство модулей M*(n) стабильных векторных расслоений ранга 2 на P^3. В 1988 г.Л. Эйн показал, что число неприводимых компонент в M*(n) не ограничено с ростом n. Однако, пространство M(n) содержит также неприводимые компоненты, общие точки которых соответствуют не локально свободным пучкам. Первый пример этого феномена для n=2 был найден Г. Траутманном и Ж. Ле Потье в 1993 г. Цель настоящего доклада --- дать явную конструкцию большого числа новых компонент в M(n), имеющих в качестве общих точек пучки с соответственно 0-мерными и 1-мерными особенностями. Мы показываем, что в обоих случаях число построенных нами компонент не ограничено с ростом n. Это совместная работа с М. Жардимом и Д. Маркушевичем.

April 29, 2016 (Friday), 17:00, room 1001, Pierre Cartier (IHES, France),
Jet spaces and Witt vectors, an analogy

We shall describe a new inductive construction of jet spaces of curves in a manifold . Using the analogy from Witt vectors with jet spaces in a p-adic world , developed by A. Buium , we propose an new inductive construction of the rings of Witt vectors of finite length.

May 6, 2016 (Friday), 17:00, room 1001, Misha Verbitsky (HSE),
Факторы Кобаяши и эргодические комплексные структуры.

Псевдометрика Кобаяши на комплексном многообразии M есть супремум всех метрик таких, что любое голоморфное отображение из диска с метрикой Пуанкаре в M сжимающее. Две точки эквивалентны по Кобаяши, если расстояние между ними 0. Фактор Кобаяши - метрическое пространство классов эквивалентности по Кобаяши. Псевдометрика Кобаяши финслерова и комплексно-инвариантная, но фактор Кобаяши -- не обязательно комплексное многообразие: он может быть довольно причудлив. Тем не менее, фактор Кобаяши -- бирациональный инвариант комплексного многообразия, с которым удобно работать, потому что на нем есть естественная метрика, инвариантная относительно автоморфизмов. Эргодическая комплексная структура есть комплексная I структура на M, такая, что в пространстве деформаций М найдется плотное семейство комплексных структур, изоморфных I. В совместной работе с товарищами Fedor Bogomolov, Ljudmila Kamenova, Steven Lu, мы доказали, что фактор Кобаяши любых эргодических комплексных структур изометричен. Доказательство использует полезные соображения метрической геометрии, и должно быть понятно студентам, знающим метрическую геометрию (даже первокурсникам), а все остальное потребует небольшого знакомства с комплексными многообразиями.

May 13, 17:00, Anton Ayzenberg (HSE)
Алгебры Стенли-Райснера симплициальных многообразий.

Конечному симплициальному комплексу можно сопоставить коммутативную алгебру - алгебру граней (алгебру Стенли-Райснера). Это сопоставление позволяет переводить комбинаторные задачи о триангуляциях на алгебраический язык и решать их алгебраическими методами. Известно, что алгебра граней триангулированной сферы является алгеброй Коэна-Маколея, что в свое время позволило доказать гипотезы о неотрицательности и о верхней границе для h-чисел сфер. Теория алгебр граней для триангуляций произвольных многообразий оказалась более сложной. Она приобрела относительно завершенный вид лишь в недавних работах Новик-Шварца, которые построили определенную фактор-алгебру алгебры граней, являющуюся алгеброй Пуанкаре. Я планирую рассказать о топологической и геометрической интерпретациях этой алгебры, связанных с мульти-веерами и многообразиями с действием тора.

May 20, 17:00, Anatoly Vershik (PDMI)
How to classify the filtrations, --- e.g. the decreasing sequences of sigma- algebras or algebras

The Classification of the filtrations appears in the theory of dynamical systems, statistical physics, theory of stochastic processes and in classical analysis. This is the art of general problem: how to make the link between classification of finite faminlies of the pbjects and classification of infinite families. The main question: what one must add to the set of finite invariants and when we do not need the new invarinats. Classical example of the case of absense of new infinite invariants is Kolmogorov's (1933) zero-one law for Bernoulli scheme. But very often we need in the "highest" invariants. I will tell about this problem in the framework of asymptotic studies of combinatorics and probability theory. No special knowledge is needed for understanding of this talk.

May 27, 2016, Alexander Kolesnikov (HSE)
Hessian metrics related to mass transportation problem. Applications to geometry and analysis

The Monge-Kantorovich optimal mass transporation problem has numerous applications in analysis, probability, and PDE's. We will talk about its interplay with the differential geometry, focusing the metric properties of the related Hessian space with convex potential solving the corresponding real Monge-Ampere equation. We discuss recent extensions of some classical results on the Kaehler-Einstein equation and explain the motivation coming from convex geometry and probability.

June 3, 2016, Alexander Shapiro (UC Berkeley)
Clusters, quantum groups, and half-Dehn twists

*Abstract: *A quantum cluster (or quantum torus) is an algebra over C(q) with q-commuting generators. Various embeddings of quantum groups into quantum tori have been studied over the past twenty years in relation with modular doubles, quantum Gelfand-Kirillov conjecture, and construction of braided monoidal categories. In a recent paper by K. Hikami and R. Inoue, such an embedding of the quantum group U_q(sl_2) was used to relate the corresponding R-matrix with quantum cluster mutations and half-Dehn twists.

I plan to explain how to generalize the results of Hikami and Inoue to U_q(sl_n). The quantum group is embedded into the tensor square of the quantized categorification space of 3 flags and 3 lines in C^n. This embedding uses the combinatorics of m-triangulations and the notion of amalgamation introduced by V. Fock and A. Goncharov. I also plan to show how the conjugation by the R-matrix can be expressed via a sequence of cluster mutations. If time permits, I will speculate on potential applications and generalization to quantum groups of other types.

This is based on a joint work in progress with Gus Schrader.

June 10, 2016, Friday, 17:00: Vladimir Rubtsov (HSE)
"Polynomial Poisson sructures, Elliptic Algebras, Heisenberg group and Cremona transformations"

We shall discuss some aspects of polynomial Poisson structures on $C^n$ with $n = 3,4,5$. The quasi-classical limit of the famous elliptic Sklyanin algebra is a particular important example of such structures. We shall discuss the Heisenberg group invariancy and unimodularity of elliptic Poisson algebras. The case of $n=5$ is of a special interest because of presence of two non-isomorphic families of elliptic algebras (Odesskii-Feigin). Their relation with Cremona transformations in $\mathbb P^4$ is described.

June 15, 2016, Wednesday, 17:00 Semyon Alesker (Tel-Aviv)
Кватернионный оператор Монжа-Ампера, его свойства и приложения

Валюации на выпуклых множествах -это конечно аддитивные меры на них. Такие валюации много изучались в выпуклой геометрии. Особый интерес представляют непрерывные в метрике Хаусдорфа валюации. В первой части доклада я напомню некоторые свойства классических вещественного и комплексного операторов Монжа-Ампера, а затем расскажу, как они используются для построения непрерывных валюаций. Затем я введу новый объект: кватернионный оператор Монжа-Ампера. Его конструкция использует некоммутативные детерминанты. Он обладает рядом хороших аналитических свойств, аналогичных вещественному и комплексному случаю. Этот оператор тоже может быть использован для построения новых примеров непрерывных валюаций на выпуклых множествах. Если останется время, я расскажу о кватернионных уравнениях Монжа-Ампера (кватернионнные аналоги гипотезы Калаби, задачи Дирихле)

June 17, 2016, Осип Шварцман (ВШЭ)
Гладкость факторпространства трубы будущего по арифметической группе ее аффинных преобразований
(по совместной работе с Э.Б Винбергом)

Пусть Г - арифметическая группа аффинных автоморфиз- мов n-мерной трубы будущего T . В работе доказывается, что факторпро- странство T / Г гладко в бесконечности тогда и только тогда, когда груп- па d Г порождается отражениями и фундаментальный многогранный конус ("камера Вейля") группы d.Г. в конусе будущего является симплициальным конусом (что возможно только при n < 10). Следствиями этого результа являются: а) критерий гладкости компактификации Сатаке-Бейли-Бореля арифметического фактора симметрической области Картан IV, б) отсутствие свободных алгебр автоморфных форм для неравномерных решеток ,действующих в области Картан IV размерности n>10.

June 24, 2016, Friday, 17:00: Алексей Пенской (ВШЭ, НМУ, МГУ, Laboratoire J.-V.Poncelet)
Задача геометрической оптимизации собственных значений оператора Лапласа

Задача геометрической оптимизации собственных значений оператора Лапласа - одна из классических задач спектральной геометрии, восходящая к вопросу Лорда Рэлея "барабан какой формы производит самый низкий звук среди барабанов данной площади?" из его классической книги "Теория звука" (1877-1878). Оказывается, что эта задача (и ее современные обобщения) связана естественным образом как с другими классическими задачами спектральной геометрии, так и с такими областями математики, как дифференциальная геометрия, алгебраическая геометрия, алгебраическая топология, функциональный анализ.

July 1, 2016, Friday, 17:00: Fedor Bogomolov (Courant Institute and HSE)
"Elliptic curves and unramified correspondences"

We define two different ( but related) notions of dominance. We will mostly consider them for curves defined over number fields of $\bar F_p$ though they can be defined for curves over any field Definition 1 For a curve $C$ of genus $g \geq 2$ we will say that $C$ is dominant over $C'$ if there is an unramified covering $\tilde C$ of $C$ with a surjection onto $C'$.

In the case of elliptic curves we have a different notion ( assuming $p\neq 2$ ) There is a involution $x\to -x$ on elliptic curve $E$ if we fix $0$ anthe quotient of this involution is $P^1$. Thus we have projection map $p: E\to P^1$ of degree $2$ with $4$ branch points $(a,b,c,d)$ corresponding to points of order $2$ on $E$. Such a map is unique modulo projective autmorphism of $P^1$. Vice versa we can associate to any quadruple of points in $P^1$ modulo projective autmorphism of $P^1$ unique elliptic curve $E$ modulo isomorphism. Moreover since the curve $E$ is an abelian group we can also define the subset $P_E(tors)\subset P^1$ which is the image of torsion points in $E$ in $P^1$.

Defintion 2 We will say that $E$ dominates $E'$ if $E'$ corresponds to a quadruple of points contained in $P_E(tors)$.

In my talk I will the relation between these two notions and nontrivial results relating them.

The talk is based on my works with Yuri Tschinkel and our more recent results with Hang Fu and Jin Qian.

August 12, 2016, Hiroshi Iritani (Kyoto)
Mirror symmetry for toric varieties

Abstract: Abstract: Seidel representation associates to a Hamiltonian circle action on a symplectic manifold an invertible element in the quantum cohomology. This can be lifted to the action on quantum D-module and is called "shift operators". In this talk, I will explain how mirrors of toric varieties can be constructed via Seidel representation and shift operators tautologically in Gromov-Witten theory.

August 19, 2016, Kyusik Hong (KIAS)
On factorial nodal hypersurfaces in P^4.

I will talk about the factoriality of a nodal hypersurface in P^4. For instance, the factoriality of a nodal quartic hypersurface in P^4 is strongly related to the rationality problem. In particular, I formulate a conjecture which would answer the factoriality problem of nodal hypersurfaces in P^4; the conjecture holds for some cases.

August 26, 2016, Andrey Soldatenkov (University of Bonn)
IHS manifolds and sheaves on cubic 4-folds.

It is well known that the variety of lines on a cubic 4-fold X is an irreducible holomorphic symplectic (IHS) manifold. More recently Lehn et. al. have constructed another IHS manifold Z which is related to the variety of twisted cubics on X. We will discuss how to describe an open subset of this manifold in terms of moduli spaces of sheaves on X. We will see that the existence of symplectic form on Z is related to the structure of the derived category of X. The talk will be based on a joint work with E. Shinder.

September 2, 2016, Alexander Beilinson (Chicago)
Сингулярный носитель и характеристический цикл конструктивных пучков

Понятия сингулярного носителя и характеристического цикла естественно появляются в теории D-модулей; их важность обусловлена тем, что они несут в себе локальную информацию об Эйлеровой характеристике. Эти понятия можно перенести на конструктивные пучки на комплексных многообразиях используя соответствие Римана-Гильберта. Чисто топологическиеская теория изложена в книге Кашивары и Шапира "Пучки на многообразиях" использующей трансцендентные методы. Для этальных пучков на многообразиях над полем любой характеристики теория была построена в недавних работах Такеши Сайто и докладчика. О них и будет рассказано.

Wednesday, September 7, 2016, Богда Завьялов (Stanford)
p-делимые группы и введение в теорию Ходжа.
extra session: 18:30, room 306

Классическая теория Ходжа утверждает, что на когомологиях гладкого проективного комплексного многообразия имеется разложение Ходжа. Я расскажу аналог этого утверждения дл я многообразий над p-адическими числами. А именно, следуя классической статье Тейта, я пос трою разложение Ходжа--Тейта на абелевых многообразиях с хорошей редукцией. Доказательство использует теорию p--делимых групп, которой я и собираюсь посвятить большую часть доклада.


September 9, 2016, Boris Kruglikov (Tromsø)
Субмаксимально симметричные кватернионные пространства.

Во многих геометриях размерности алгебр симметрий допускают лакуны, т.е. имеются запрещенные размерности. Для комплексных и вещественных нормальных (максимально некомпактных) параболических геометрий размеры лакун (дырок) были определены в совместной работе автора и Денниса Тэ. Но кватернионная геометрия не попадает под эту теорию, и в ней нужны некоторые новые идеи. В частности, замена теореме Бореля о неподвижной точке. Я расскажу как строить кватернионные геометрии с субмаксимальной симметрией в зависимости от значения гармонической кривизны (кручение или, собственно, кривизна), а также о связях с проективной и с-проективной геометрией. Работа выполнена совместно с Хенриком Винтером и Ленкой Залабовой. Предполагаются только базовые знания из (неметрической) дифференциальной геометрии и теории представлений алгебр Ли.


September 16, 2016, Andrzej Szczepanski (Gdansk)
Hantzsche-Wendt manifolds

There are a flat Riemannian manifolds of odd dimension n with holonomy group (\Z_2)^{n-1}. From Bieberbach theorems its fundamental group G is torsion free and defines a short exact sequence 0--->\Z^n----->G----->(\Z_2)^{n-1}---->, where \Z^n is a maximal abelian in G. This class of manifolds (groups) has many very interesting properties: I would like to present some introduction to this class of flat manifolds.

September 23, 2016, Юрий Элияшев
Геометрия обобщённых амёб

Амебой гиперповерхности F(z)=0 в комплексном алгебраическом торе называется её образ при логарифмическом отображении Log (z_1,...,z_n) = (log|z_1|,...,log|z_n|). Оказывается, геометрия амёбы может быть описана в терминах многогранника Ньютона многочлена F(z), кроме того она тесно связана с геометрией тропических многообразий. Недавно И.М. Кричевер предложил обобщение понятия амёбы на случай комплексных многообразий размерности 1 снабженных дополнительной структурой. В моём докладе я расскажу про многомерные обобщенные амёбы, их геометрические свойства и объекты возникающие в процессе их изучения.

September 30, 2016, Dima Kaledin (MIRAS)
Witt vectors, commutative and non-commutative

Witt vectors W(A) of a commutative ring A were discovered 80 years ago, but they still pop up in unexpected places and are the subject of continuous research. One question that has been solved only recently is how to generalize Witt vectors to the case when A is not commutative. I am going to review the classical theory, and then show how a very natural modification leads to the non-commutative case.


October 5, 2016, (Wednesday), 18:30, room 306: Fedor Bogomolov
Fedor Bogomolov, Affine structures and VII_0 surfaces

Fedor Bogomolov, Affine structures and VII_0 surfaces In my talk I will describe the main steps of the proof of the following result: If $X$ is a VII_0 surface with $b_2=0$ then it's tangent bundle contains a subbundle of rank $1$ and hence it is either Hopf or Inoue surface. The proof is based on the study of surfaces with affine structures. The latter means the existense of a covering by compact balls with coordinates such that holomorphic transofrms of the coordinates between intersecting balls are affine.

October 7, 2016, Jihun Park (Pohang University of Science and Technology)
Product theorem for K-stability

After the Yau-Tian-Donaldson conjecture concerning the existence of Kahler-Einstein metrics on Fano manifolds and stability is settled, testing K-stability of concrete Fano manifolds arises as a hot issue in algebraic and complex geometry. However direct testing of K-stability through all possible degenerations seems almost infeasible to carry out. Recent K-stability research has focused on detour methods to test K-stability of Fano varieties. In this talk, I will introduce an algebro-geometric method to show that a product of K-stable Fano manifolds is again K-stable. Under a certain conjectural condition, this method works perfectly. The conjectural condition has also been verified to hold good for 2-dimensional Fano manifolds.

October 14, 2016, Takanori Ayano (HSE)
Jacobi Inversion Formulae for Telescopic Curves

For a hyperelliptic curve of genus g, it is well known that the symmetric products of g points on the curve are expressed in terms of their Abel-Jacobi image by the hyperelliptic sigma function (Jacobi inversion formulae). Matsutani and Previato gave a natural generalization of the formulae to the more general algebraic curves defined by y^r=f(x), which are special cases of (n,s)-curves. In this talk we extend the formulae to the telescopic curves proposed by Miura and derive new vanishing properties of the sigma function of telescopic curves. The telescopic curves contain the (n,s)-curves as special cases.


October 21, 2016, Валерий Гриценко (Laboratoire Painleve, Lille, IUF и ВШЭ)
Модули поляризованных поверхностей Куммера и произведения Борчердса рода 2.

Пространство модулей поляризованных абелевых поверхностей является конечным накрытием пространства модулей поляризованных поверхностей Куммера. В первом случае имеется только 20 исключительных (1,t)-поляризаций (максимальное значение t равно 36), для которых пространство модулей может быть рациональным или унирациональным. Список был найден мною в 1993 году. Этот результат можно переформулировать так: группа третьих когомологий целочисленной парамодулярной группы уровня t может быть тривиальной только для 20 исключительных поляризаций.

До настоящего времени не было получено каких-то конкретных результатов про геометрический тип пространств модулей поляризованных куммеровых поверхностей. Используя технику автоморфных произведений Борчердса, я построю в докладе канонические дифференциальные формы на таких модулях для нескольких поляризаций, самая маленькая из которых равна простому числу 167. Гипотетически, для всех меньших простых поляризаций соответствующие пространства будут близки к рациональному многообразию. Интересно, что параметры автоморфных произведений, задающих канонические дифференциальные формы, лежат в некотором алгебраическом подмножестве, а условие голоморфности произведения описывается в терминах выпуклого анализа.

Доклад будет носить вводный характер. Автоморфные детали будут изложены позже на семинаре по модулярным формам. Полные доказательства содержатся в препринте "Antisymmetric Paramodular Forms of Weights 2 and 3" (совместно C. Poor и D. Yuen), законченном в сентябре 2016.

October 28, 2016, Антон Зорич (Institut de Mathematiques de Jussieu)
(совместная работа с Максимом Концевичем, Мартином Мёллером, и Сашей Эскиным)
Показатели Ляпунова расслоений с плоской связностью над комплексными кривыми.

Показатели Ляпунова расслоения с плоской связностью заданного на римановой поверхности описывают среднюю монодромию связности вдоль типичной (незамнкнутой) гиперболической геодезической на базе. Они играют роль динамических аналогов характеристических чисел расслоения. Показатели Ляпунова корректно определены, когда все собственные числа оператора монодромии вокруг любого каспа равны по модулю единице. В докладе я докажу гипотезу Фея Ю, показав, что сумма k старших показателей мажорирует (параболическую) степень любого голоморфного подрасслоения ранга k.

Исходная гипотеза была сформулирована для Тейхмюллеровых кривых, то есть для очень специальных одномерных семейств комплексных кривых, для которых слой расслоения - первые когомологии кривой, а плоская связность - связность Гаусса -- Манина. Мы доказали более общую теорему, которая применима в частности к одномерным семействам многообразий Калаби-Яу. Группы монодромии для рассмотренных семейств хорошо изучены. Удивительным образом, сумма двух старших показателей Ляпунова для этих семейств оказывается в точности равной (по крайней мере численно) степени голоморфного подрасслоения, пришедшего из фильтрации Ходжа, ровно в тех случаях, когда группа монодромии - ``тонкая'' подгруппа в своем замыкании по Зарисскому. Детали - в arXiv:1609.01170.

Extra session: November 2, 2016, 18:30
Frederic Mangolte (Angers)
Fake real planes: exotic affine algebraic models of R^2

We study topologically minimal complexifications of the Euclidean affine plane R² up to isomorphism and up to birational diffeomorphism. A fake real plane is a smooth geometrically integral surface S defined over R such that: The analogous study in the compact case, that is the classification of complexifications of the real projective plane P²(R) with the rational homology of the complex projective plane is well known: P²_C is the only one. We prove that fake real planes exist by giving many examples and we tackle the question: does there exist fake planes S such that S(R) is not birationally diffeomorphic to A^2_R(R)? (Joint work with Adrien Dubouloz.)

November 4, 2016, 17:00, Misha Verbitsky (HSE)
Mixed Hodge-Riemann relations for hyperkahler manifolds and Kuga-Satake construction for total cohomology.

Mixed Hodge-Riemann relations were discovered by Vladlen Timorin in 1998 for cohomology of the torus; the proof was purely algebraic. Geometric version was proven for an arbitrary Kahler manifold in 2005 by Dingh and Nguyen. I would explain how a stronger version of their result can be proven for a hyperkahler manifold. The argument is purely algebraic, and involves a generalized version of Kuga-Satake construction. The original Kuga-Satake is used to embed the Hodge structure of a K3 surface to the second cohomology of an appropriate torus. I would show that the whole cohomology space of a hyperkahler manifold M can be embedded to the cohomology of a torus, and this embedding is compatible with the Hodge decomposition, the Poincare pairing, and with the action of the algebra generated by all Lefschetz triples on M. Then the mixed Hodge-Riemann relations follow directly from Timorin's theorem. Using mixed Hodge-Riemann relations, we are able to generalize the Bogomolov-Beauville-Fujiki form to all dimensions. This is a joint work with Nikon Kurnosov.

November 11, 2016: Evgeny Shinder (Sheffield)
K3 L-zero divisors in the Grothendieck ring of varieties

We discuss classes of non-isomorphic algebraic varieties X, Y such that [X] - [Y] is annihilated by a power of the affine line in the Grothendieck ring of varieties. Interesting examples include some derived equivalent Calabi-Yau threefolds (Borisov, Ito-Miura-Okawa-Ueda), and derived equivalent K3 surface pairs of degrees 8 and 2, 12 and 12, 16 and 4 (work in progress joint with A.Kuznetsov).

November 24, 2016: Lev Soukhanov (HSE)
Models of diffusion-orthogonal polynomials of maximal degree.

A model of diffusion-orthogonal polynomials is a triple $(\Omega, L, \mu)$, where $\Omega$ is a (compact) domain in $\mathbb{R}^d$, $\mu$ is a measure on $\Omega$, $L$ is a second order differential operator, self-adjoint on $L^2(\Omega, \mu)$ preserving the subspace of polynomials of degree $\leq n$ for any $n$. In the dimension $2$ these models were classified by Bakry, Orevkov and Zani and it was observed that if the degree of the boundary of $\Omega$ is maximal possible, the model can always be obtained from the group generated by reflections. I will explain the generalization of this fact in the arbitrary dimension.

December 2, 2016: Andrew Staal (HSE)
Irreducibility of Random Hilbert Schemes

What are the geometric properties of a typical Hilbert scheme? In this talk, we consider Hilbert schemes parametrizing closed subschemes in some projective space with a fixed Hilbert polynomial. We first explain how to make the collection of all such Hilbert schemes into a discrete probability space. Exploiting the underlying combinatorial structure, we show why a random Hilbert scheme is smooth and irreducible with probability greater than 0.5. I will explain the generalization of this fact in the arbitrary dimension.

December 9, 2016: Константин Шрамов (МИРАН, ВШЭ)
Бирациональные автоморфизмы трехмерных многообразий

Многие важные бесконечные группы обладают замечательным свойством ограниченности, так называемым свойством Жордана: они могут допускать неограниченно большие конечные подгруппы, но любая их конечная подгруппа содержит абелеву подгруппу ограниченного некоторой константой (не зависящей от подгруппы) индекса. Например, таким свойством обладает группа GL_n(k), где k --- поле нулевой характеристики. Оказывается, что этим же свойством обладают многие группы бирациональных автоморфизмов. Я расскажу о недавней совместной работе с Ю. Г. Прохоровым, в которой мы классифицировали трехмерные многообразия с жордановыми группами бирациональных автоморфизмов.

December 16, 2016: Sergey Fomin (University of Michigan)
Noncommutative Schur functions

The problem of expanding various families of symmetric functions in the basis of Schur functions arises in many mathematical contexts such as combinatorial representation theory and Schubert calculus. I will discuss an approach to this problem that employs noncommutative analogues of Schur functions. The talk is based on joint work with Jonah Blasiak and Curtis Greene.

December 23, 2016: Евгений Горский (UC Davis)
Флаговые схемы Гильберта и гомологии узлов

Хованов и Розанский построили теорию гомологий узлов, обобщающую многочлен ХОМФЛИ. Я расскажу о связи гомологий Хованова-Розанского с гомологиями пучков на флаговой схеме Гильберта, предложенной в совместной работе докладчика с А. Негуцем и Дж. Расмуссеном. Основным техническим средством является теория категорной диагонализации, разработанная в работах Элаяса и Хоганкампа, и представляющая самостоятельный интерес.

December 26 and 28, 2016, room 306, 15:30: a special session by Ivan Cheltsov

Stable and unstable del Pezzo surfaces.

Yau-Tian-Donaldson conjecture, recently proved by Chen, Donaldson and Sun, says that a Fano manifold is Kahler-Einstein if and only if it is K-stable. Its stronger form, still open, says that a polarized manifold (M,L) is K-stable if and only if M admits a constant scalar curvature with Kahler class in L. In these 4 lectures, I will describe K-stability of ample line bundles on smooth del Pezzo surfaces (two-dimensional Fano manifolds). I will show how to apply recent result of Dervan to prove K-stability and how to use flop-version of Ross and Thomas's obstruction to prove instability.

December 28, 2016 (Wednesday), 17:00: Dmitry Zakharov (NYU)
The theta-relations and the tautological ring

The tautological ring of the moduli space of curves M_g is a natural subring of either the cohomology or the Chow ring that is generated by a collection of natural classes. A number of vanishing results have been established about the tautological ring of M_g and its various compactifications. I will show that these results can be derived in a uniform and constructive way from Pixton's double ramification cycle relations, which were recently established by Clader and Janda. Moreover, these relations can be used to derive boundary formulas for any tautological class vanishing on the open locus. This is joint work with Clader, Grushevsky, Janda and Wang.

December 30, 2016 (Friday), 17:00: Dmitry Tonkonog (Cambridge)
Wall-crossing for mutations of Lagrangian tori, and symplectic cohomology

Given a Lagrangian torus with an attached Lagrangian disk, a procedure called mutation produces a new Lagrangian torus out of it. Iterating this procedure allows to construct infinitely many monotone Lagrangian tori in del Pezzo surfaces, which was performed recently by Vianna. We prove the wall-crossing formula which solves the problem of enumerating holomorphic Maslov index 2 disks on these tori; the answer matches the prediction of Galkin and Usnich. Time permitting, I will mention the related Laurent phenomenon, and what it has to do with the symplectic cohomology of certain domains. This is joint work with James Pascaleff.

January 6, 2017: Dmitri Panov (King's College London)
Real line arrangements with Hirzebruch property.

A line arrangement of 3n lines in CP2 satisfies Hirzebruch property if each line intersect others in n+1 points. Hirzebruch asked if all such arrangements are related to finite complex reflection groups. We give a positive answer to this question in the case when the line arrangement in CP2 is real, confirming that there exist exactly four such arrangements.

January 13, 2017: Александр Кузнецов (МИРАН, ВШЭ)
D-эквивалентность и L-эквивалентность.

В последнее время появляется все больше и больше примеров того, что если есть два производно эквивалентные многообразия, то разность их классов в кольце Гротендика многообразий аннулируется умножением на класс аффинной прямой. Я расскажу про примеры такого рода и про возникающие в связи с этим вопросы.

January 20, 2017: Митя Кубрак (MIT)
"Дифференциальные операторы в характеристике p, группа Брауэра и производные эквивалентности"

В статье "Derived equivalences by quantisation" (https://arxiv.org/abs/math/0504584) Дима Каледин доказал частный случай гипотезы Каваматы, а именно, что производные категории когерентных пучков различных симплектических разрешений pi: X --> Y конической особенности Y эквивалентны. Доказательство основано на эффекте Адзумаи для квантований Федосова в характеристике p, а именно по построению квантования являются алгебрами Адзумаи на Фробениус-твисте X, более того они расщепляются на формальных окрестностях слоев отображения pi. Я расскажу о нашей статье с Ромой Травкиным https://arxiv.org/abs/1611.08340, где мы изучаем аналогичный вопрос для некоторых центральных редукций алгебры дифференциальных операторов в характеристике p, строящихся по дифференциальным 1-формам на X. Мы доказываем что соответствующие классы в группе Брауэра спускаются на базу разрешения если база нормальная и R^1pi_*O_X =R^2pi_*O_X=0. Также мы определяем некоторый класс особенностей, включающий важные примеры (многообразия Накаджимы, гиперторические многообразия, срезы Слодового) для которых спуск выполняется глобально. Для упомянутых примеров класс в группе Брауэра квантования Федосова приходит из 1-формы и таким образом для них наша статья даёт уточнение результатов Каледина.

January 27, 2017: Misha Verbitsky (HSE and ULB)
Algebraic and Kahler dimension of nilmanifolds.

Let M be a complex nilmanifold, that is, a quotient of a nilpotent Lie group with left-invariant complex structure by a cocompact lattice, and h the dimension of its space of holomorphic differentials. S. Salamon has shown that \dim M >= h > 0 for any nilmanifold, with equality realized if and only if M is a torus. Algebraic dimension a(M) is transcendental dimension of the field of meromorphic functions on M. It is known that algebraic dimension is bounded from above by the usual dimension. I will show that a(M) is bounded by h (dimension of the space of holomorphic differentials) and explain when this bound is realised and how a(M) can be computed explicitly in terms of the Lie algebra. Also I would show that h bounds the Kahler dimension of M, that is, the maximal dimension of a compact Kahler manifold X such that there exists a dominant meromorphic map M -> Х, and explain when this bound is realized. This is a joint work with Gueo Grantcharov and Anna Fino.


February 3, 2017, Юрий Устиновский (Принстон)
"Потоки метрик на эрмитовых многообразиях"

Поток Риччи является очень мощным инструментом в изучении общих римановых и кэлеровых многообразий. Попытка применить его на общих комплексных многообразиях, снабженных эрмитовой метрикой, сталкивается с трудностью: тензор Риччи, вообще говоря, не инвариантен относительно комплексной структуры и, следовательно, поток Риччи не сохраняет свойство метрики быть эрмитовой. Мы обсудим несколько возможных обобщений потока Ричии, которые не обладают указанным недостатком ("Chern-Ricci flow" Gill, Tosatti, Weinkove; "Hermitian curvature flow" Streets, Tian).

Важное свойство потока Риччи - сохранение различных понятий "положительности кривизны". Для Hermitian curvature flow мы докажем, что неотрицательность кривизны Гриффитса сохраняется вдоль потока. Аналогичное утверждение для потока Риччи в кэлеровой ситуации доказали Бандо в 1984 (в размерности 3) и Мок в 1988 (в любой размерности) и успешно применили его для характеризации кэлеровых многообразий с неотрицательной голоморфной бисекционной кривизной. Все такие многообразиях оказываются симметрическими пространствами.

В качестве приложения мы докажем несколько свойств эрмитовых метрик с неотрицательной кривизной Гриффитса и обсудим гипотетическую классификацию многообразий, допускающих такие метрики.

От слушателей требуется только знакомство с базовыми понятиями дифференциальной геометрии (связность, кривизна). Все необходимые определения будут даны во время доклада.

Wednesday, February 8, 2017, 17:00, Игорь Крылов (Bonn)

Расслоения на поверхности дель Пеццо.

Мы говорим, что f: X \to Z - расслоение на дель Пеццо, если общий слой - это поверхностоль дель Пеццо. В этом докладе я расскажу о стабильной нерациональности расслоений на дель Пеццо малой степени. А именно будет доказано, что очень общее расслоение на дель Пеццо степени 1,2 или 3, такое что его антиканонический класс не обилен, не стабильно нерационально. В первой части доклада я сделаю небольшой обзор известных результатов о стабильной нерациональности, и расскажу о том, как можно улучшить результат о расслоениях на дель Пеццо в размерности три. Во второй части доклада я расскажу о методе редукции в конечную характеристику и как его применять для расслоений на дель Пеццо.

February 10, 2017: Mikhail Belolipetsky (IMPA)
Systoles of hyperbolic manifolds

The systole of a Riemannian manifold M is the length of a shortest geodesic loop in M. I am going to discuss systoles and their higher dimensional analogues of hyperbolic n-manifolds. A special role will be played by arithmetic hyperbolic manifolds and their congruence coverings, which I am going to define in the first part of the talk.

February 17, 2017: Michael Finkelberg (HSE)
"Kostka-Shoji polynomials".

These polynomials were introduced and studied by Shoji; they are analogues of Kostka polynomials $K_{\lambda,\mu}$ when $\lambda$ and $\mu$ are multipartitions. I will present an analogue of the Lusztig-Kato formula for Kostka-Shoji polynomials proved by Shoji last week, and their related geometric interpretation as multiplicities in the spaces of sections of certain line bundles over Lusztig's convolution diagrams for cyclic quivers, proving their positivity. This is a joint work with Andrei Ionov.

February 24, 2017: Fedor Bogomolov (Courant Institute and HSE)
"Geometry of sets of torsion points on elliptic curves"

In this talk I introduce and discuss geometry of curves parametrizing subset of points in $P^1$ obtained as projections of torsion points of elliptic curves. For every subset of different $k$ points in $P^1$ we can define it's image in the moduli $M_{0,k}$ of $k$-tuples of points which is essentially a quotient of projective space $S^kP^1= P^k$ by the action of $PGL(2)$. Thus $M_{0,k}$ is a rational variety of dimension $k-3$. If we consider the images of points of finite order in different elliptic curves under natural projections then we obtain an( infinite) system of modular typoe curves with maps into $M_{0,k}$ I will formulate three conjectures (semi theorems) about properties of such maps which provide a possiblity of realistic universal estimate for intersections between subset of torsion points for different elliptic curves.


March 3, 2017: Misha Verbitsky (HSE and ULB)
Kuga-Satake construction for higher cohomology.

Let M be a hyperkahler manifold of complex dimension n. Kuga-Satake construction gives an embedding of H^2(M) to H^2(torus) compatible with the Hodge structure. We construct a torus T of dimension n+k and an embedding of cohomology space H^*(M) -> H^{*+k}(T) which is compatible with the Hodge structures and the Poincare pairing. This is a joint work with Nikon Kurnosov and Andrei Soldatenkov.

(cancelled due to flight cancellation).

March 3, 2017: Aleksey Gorinov (HSE)
A purity theorem for configuration spaces of smooth compact algebraic varieties

B. Totaro showed \cite{totaro} that the rational cohomology of configuration spaces of smooth complex projective varieties is isomorphic as an algebra to the E_2 term of the Leray spectral sequence corresponding to the open embedding of the configuration space into the Cartesian power. In this note we show that the isomorphism can be chosen to be compatible with the mixed Hodge structures. In particular, we prove that the mixed Hodge structures on the configuration spaces of smooth complex projective varieties are direct sums of pure Hodge structures.

March 10, 2017: Chris Brav (HSE)
Relative Calabi-Yau structures

We introduce the notion of a Calabi-Yau structure on a dg functor between smooth dg categories. We discuss examples coming from topology, algebra, and algebraic geometry, explain how to glue together Calabi-Yau structures in the same way that one glues together oriented manifolds along a common boundary component, and show how this notion gives rise to symplectic/Lagrangian structures on moduli of objects in dg categories. This is joint work with Tobias Dyckerhoff from the University of Bonn.

March 17, 2017: Тарас Панов (мехмат МГУ)
Полиэдральные произведения, прямоугольные группы Коксетера и гиперболические многообразия.

Полиэдральное произведение представляет собой функториальную комбинаторно-топологическую конструкцию, сопоставляющую топологическое пространство $(X,A)^K$ паре топологических $(X,A)$ и конечному симплициальному комплексу $K$. Аналогичная конструкция имеется и в категории групп и называется граф-произведением. Частным случаем граф-произведений являются прямоугольные группы Артина и Коксетера, играющие важную роль в геометрической теории групп. Особый интерес представляют геометрические прямоугольные группы Коксетера, порождённые отражениями в гипергранях многогранников, реализуемых в пространстве Лобачевского с прямыми двугранными углами. Каждому такому многограннику сопоставляется семейство асферических гиперболических многообразий, фундаментальные группы которых суть коммутанты прямоугольных групп Коксетера или их конечные расширения. Используя результаты о топологии полиэдральных произведений, мы описываем строение коммутантов прямоугольных групп Артина и Коксетера, а затем применяем эти результаты для классификации гиперболических многообразий с точностью до диффеоморфизма. Доклад основан на совместных работах с В.М. Бухштабером, Я.А. Верёвкиным, Н.Ю. Ероховцом, М. Масудой и С. Пак.

March 22, 2017: Seidai YASUDA (Osaka University)
Pseudo-tame rational functions on curves in characteristic two.

We introduce the notion of pseudo-tame morphisms of curves in characteristic two. Using this notion we prove that any curve over an algebraically closed field admits a morphism to the projective line which is tamely ramified everywhere. As a corollary, we obtain an analogue of Belyi's theorem in positive characteristic. This talk is based my joint work with Yusuke Sugiyama.

March 24, 2017: Виктор Пржиялковский
Числа Ходжа моделей Ландау--Гинзбурга
(отменен по просьбе докладчика)

Исходно одним из определяющих свойств зеркальной симметрии для (трехмерных) многообразий Калаби--Яу заключалось в том, что ромбы Ходжа двойственных многообразий получаются друг из друга поворотом на 90 градусов. Двойственным объектом для многообразия Фано является модель Ландау--Гинзбурга --- квазипроективное многообразие, снабженное непостоянной комплекснозначной функцией. Мы обсудим определения чисел Ходжа для таких объектов, данные Кацарковым--Концевичем--Пантевым. Подкорректировав (и частично отвергнув) эти определения, мы докажем соответствие ромбов Ходжа поверхностей дель Пеццо и их моделей Ландау--Гинзбурга. Мы также обсудим примеры большей размерности. Важным ингридиентом определений и рассуждений является компактификации моделей Ландау--Гинзбурга до семейства над проективной прямой и их слои над бесконечностью. Мы обсудим такие компактификации для двух- и трехмерного случаев. Большая часть доклада основана на совместных работах с В. Лунцем.

March 24, 2017: P.V. Bibikov (Institute of Control Sciences RAS)
Differential invariants in algebraic geometry and algebra in differential equations

The aim of the talk is to show new relationships between geometric theory of differential equations, algebraic geometry and classical invariant theory. We show how methods and constructions from the theory of differential equations can be used for studying of various algebraic problems. Also we explain how classical algebraic constructions generate new questions in the theory of differential equations. Great attention will be paid to open questions and problems.


15:30, March 31, 2017: Yoshinori Gongyo (University of Tokyo)
Cone theorems

We will discuss several cone theorems which appear in birational geometry.

17:00, March 31, 2017: Евгений Фейгин (ВШЭ)
Представления алгебр токов, полиномы Макдональда и многообразия флагов.

У теории представлений простых конечномерных алгебр Ли имеется (как минимум) три важные составляющие части: алгебраическая (описание пространств с действием операторов), комбинаторная (исчисление размерностей и характеров) и геометрическая (многообразия флагов с линейными расслоениями). Мы рассмотрим обобщение классической теории на случай алгебр токов -- тензорного произведения конечномерной алгебры Ли и кольца полиномов от одной переменной. Мы опишем базовые объекты, возникающий в этой теории, и приведём основные результаты и конструкции.

April 7, 2017: Nicholas Shepherd-Barron (King's College)
Fano 3-folds in positive characteristic

Fano 3-folds in positive characteristic I will discuss Kodaira vanishing and multiple projection for smooth Fano threefolds in positive characteristic.

Exceptional groups and del Pezzo surfaces

I shall extend the construction by Brieskorn and others that contains the simultaneous resolution of du Val singularities to the environment of principal bundles under exceptional groups over elliptic curves. This recovers the simultaneous log resolutions of simply elliptic singularities and gives a direct geometrical path from exceptional groups to del Pezzo surfaces. This is joint work with Grojnowski.

April 14, 2017: Sergey Galkin (HSE)
The conifold point

Consider a Laurent polynomial with real positive coefficients such that the origin is strictly inside its Newton polytope. Then it is strongly convex as a function of real positive argument. So it has a distinguished Morse critical point --- the unique critical point with real positive coordinates. As a consequence we obtain a positive answer to a question of Ostrover and Tyomkin: the quantum cohomology algebra of a toric Fano manifold contains a field as a direct summand. Moreover, it gives a good evidence that the same statement holds for any Fano manifold.


Wednesday, April 19: Liviu Ornea (Bucharest)
Recent results in locally conformally Kahler geometry.

After a brief account on LCK geometry, with focus on LCK with potential and Vaisman manifolds, I shall describe several new results concerning compact LCK with potential, concerning their LCK rank and the fact that they contain Hopf surfaces.

April 21, 2017: Pavel Safronov (Geneva)
Introduction to derived Poisson geometry with examples

Derived Poisson geometry studies higher Poisson structures on (derived) algebraic stacks. I will explain what higher Poisson structures are and how to define them on stacks following the work of Calaque, Pantev, Toen, Vaqui'e and Vezzosi. Moreover, one can define an interesting generalization of the notion of a coisotropic submanifold in this context which I will describe following joint work with Melani. In the second half of the talk I will give several examples of these constructions some of which come from Poisson-Lie groups.

April 28, 2017: Paul Zinn-Justin (Melbourne)
Schubert calculus and quantum integrability

We formulate new combinatorial (puzzle) rules for Schubert calculus in the d-step flag variety, d<=4. More precisely, generalizing my previous work for d=1, we show how to define an integrable model that computes the structure constants of the (equivariant) cohomology (or K-theory) of the d-step flag variety in the basis of Schubert classes. Deligne's exceptional series appears naturally. We also explain the connection to Maulik-Okounkov stable classes. This is joint work with A. Knutson.

May 5, 2017: Серое Фиолетовое/Grey Violet (университет г.Констанц, Германия).
Геометрия множеств $D$-устойчивых многочленов.

Разнообразные задачи связанные с расположением корней многочлена относительно заданной области $\Omega$ на комплексной плоскости, являются одними из наиболее классических для теории управления, рассматриваемыми с самого ее основания (Дж. Максвелл, И. Вышнеградский). Несмотря на обилие частных результатов алгоритмического характера, о геометрии множеств многочленов с фиксированным распределением корней относительно заданной области (области $D$-устойчивости) известно до сих пор очень мало.

Среди известных результатов -- общие алгебраические критерии принадлежности всех корней многочлена к заданной области (R. Kalman, S. Gutman, E. Jury), многочисленные результаты о строении границы множества гиперболических многочленов (В.И. Арнольд, Б.Шапиро, В.П. Костов и др.) и вещественных гурвицевых многочленов (Л.В. Левантовский, А.А. Майлыбаев, А.П. Сейранян).

В докладе планируется развить общий подход к задачам подобного рода, представить топологическое описание множеств комплексных многочленов с фиксированным распределением корней относительно заданной полуалгебраической области, а также объяснить специальное положение трех классических $D$-устойчивостей: гурвицевой ($\Omega$ -- левая полуплоскость), шуровской ($\Omega$ -- внутренность единичного круга), гиперболичности ($\Omega$ -- вещественная прямая).

May 12, 2017: Anatol Kirillov (Kyoto)
Introduction to Dilogarithm Identities, Rigged Configurations and Fomin-Kirillov algebras

The Dilogarithm function had been introduced by L. Euler more than $250$ years ago, and since that time the Dilogarithm function has been extensively studied by many mathematicians and physicists including N. Abel, E. Kummer, L. Rogers, S. Ramanujan, L. Lewin, L.D. Faddeev, D. Zagier, A. Goncharov, H. Gangl, A.Al. Zamolodchikov, among many others. Dilogarithm and its quantum analogue have found numerous deep applications in Number Theory, Hyperbolic Geometry, Knot invariants, Algebraic K-theory, Representation Theory, Mathematical Physics and Applied Mathematics. In my talk I'm planning to draw attention of the audience to some remarkable identities for the values of the Rogers dilogarithm function at some very special families of algebraic numbers. These relations admit an interesting interpretation in algebraic K-theory and Conformal Field Theory. I'm planning to talk about Rigged Configuration Bijection (RC-bijection), which originated from the analysis of the Bethe Ansatz Equations for the XXX and XXZ Heisenberg models, and has a big variety of applications to Combinatorics, Representation Theory, Discrete Integrable Systems, among other interesting applications. I'm also planning to talk about some families of quadratic algebras (the so-called "Fomin-Kirillov" type algebras) with applications to Schubert Calculus, Quantum (and Elliptic) Cohomology and K-theory of flag varieties, and beyond.

May 19, 2017: Александра Скрипченко (ВШЭ)
Системы изометрий отрезков и их родственники

Система частичных изометрий отрезков - объект, состоящий из отрезка действительной оси и семейства изометрий между парами его подотрезков. Такие системы возникают независимо в нескольких разделах математики - топологии (при изучении измеримых слоений на поверхностях), теории динамических систем (как способ описания динамики плоских бильярдов в многоугольниках) и геометрической теории групп (в рамках исследования автоморфизмов свободных групп). Исторически первые и наиболее изученные представители этого класса - перекладывания отрезков. В докладе будут кратко описаны основные динамические свойства этих отображений: минимальность, эргодичность, описание с точки зрения символической динамики, инвариантные меры. После этого я расскажу про различные обобщения перекладываний отрезков - отображения отрезков с флипами, отображения сдвигов (interval translation mappings) и системы частичных изометрий - и задачи, мотивирующие появление этих конструкций. Мы обсудим, какие из найденных свойств перекладываний обобщаются, а какие - заменяются на противоположные.

May 24, 2017, Wednesday, 17:00: Giovanni Mongardi (Bologna)
Calabi Yau quotients of hyperkahlers

In this talk, i will speak about a joint work with C. Camere and A. Garbagnati. We analyze which calabi yau manifolds can be obtained as resolution of quotients of hyperkahler manifolds by non symplectic automorphism. More specifically, we will deal with the case of fourfolds modulo an involution, which gives a wide range of examples. In the natural case, we also compute the Hodge numbers of the Calabi Yau manifolds.

May 24, 2017, Wednesday, 18:30: Dmitri Panov (Kings College)
Односвязность 6-мерных симплектических Фано с гамильнотовым действием окружности.

Доклад посвящен совместной работе с Ником Линдси. Компактное симплектическое многообразие называется многообразием Фано, если первый класс Черна его касательного расслоения равен классу симплектической формы. В размерности 2 такое многообразие одно - это сфера, в размерности 4 благодаря теории Зайберга-Виттена известно, что таких многообразий 10, и они все односвязны. Начиная с размерности 12 есть примеры симплектических многообразий Фано с бесконечной фундаментальной группой. В нашей работе мы доказываем, что 6-мерные симплектические Фано с гамильнотовым действием окружности также односвязны. Это первый шаг в сторону классификации таких многообразий.

May 26, 2017, Friday, 17:00: Giovanni Mongardi (Bologna)
Hodge numbers of the O'Grady six dimensional manifold

In this talk, i will speak about a joint work with A. Rapagnetta and G. Sacca. In it, we realize O'Grady's six dimensional example of irreducible holomorphic symplectic manifold as a quotient of an IHS manifold of K3$^{[3]}$--type by a birational involution, thereby computing its Hodge numbers.

June 2, 2017: Agnieszka Bodzenta-Skibinska (Edinburgh)
Canonical divisors revisited - categorical approach

Properties of the canonical sheaf are one of the first invariants of an algebraic variety considered in birational geometry. I will describe how canonical divisors appear in the study of derived categories of birationally equivalent varieties. I will prove that, given a birational morphism, the canonical bundle and its restriction to relative canonical divisors provide a tilting generator for one category over another. I will also discuss related quasi-hereditary algebras and a system of t-structures.

15:00, Thursday, June 8, 2017: Михаил Бондарко (СпБГУ)
О мотивных пучках и весах для них

В 1980х А. Бейлинсон сформулировал гипотезы о существовании т.н. смешанных мотивных пучков MM(S) - аналога над произвольной базовой схемой S гипотетической абелевой категории смешанных мотивов над полем. Кроме того, он предположил существование фильтраций весов на мотивных пучках; свойства этих понятий должны быть аналогичны свойствам смешанных l-адических превратных пучков над многообразиями над конечными полями. а функторы Ext должны вычисляться в терминах K-теории.

В 1990х, благодаря работам Воеводского и др., началась работа над триангулированными категориями мотивов (DM(S)). Для очень широкого класса базовых схем категории DM(-) обладают почти всеми (гипотетическими) свойствами производных категорий MM(-). В частности, разработанная докладчиком абстрактная теория позволяет определить некоторые "веса" для DM(S) в терминах весовой структуры Чжоу на DM(S); свойства "мотивных весов" аналогичны свойствам весов Делиня для смешанных комплексов этальных пучков, а этальная реализация "переводит мотивные веса в этальные". DM(S) и весовая структура Чжоу на ней будут подробно рассмотрены в докладе (в том числе, над полями).

Категория MM(S) "должна" быть ядром "мотивной" t-структуры DM(S). Компоненты этой t-структуры можно ("попробовать") описать в терминах этальной реализации, однако то, что они действительно задают t-структуру - очень сложная гипотеза. Докладчик расскажет о том, как эта гипотеза сводится к некоторым "стандартным" мотивным гипотезам над полями, и рассмотрит "индуцированную" весовой структурой Чжоу фильтрацию весов на MM(S).

June 9, 2017: Charles Fougeron
Lyapunov exponents for hypergeometric equations.

Lyapunov exponents and their Oseledets flag decomposition are a very useful tool for describing dynamical systems. They are presented sometimes as dynamical variation of Hodge structures. My main motivation here is to understand their link to algebraic invariants of variation of Hodge structure when it exists.

In the 90's, M. Kontsevich observed that the sum of Lyapunov exponents associated to translation surfaces are equal to the degree of some holomorphic subbundle for a variation of Hodge structure associated to its Teichmüller geodesic. It is remarkable that this relation arises from wider properties like ergodicity and some algebraic rigidity on the variation of Hodge structure which is true in a much more general setting.

Recently, a similar result was observed on higher width variation of Hodge structure (which decomposition has more flags), A. Eskin, M.Kontsevich, M. Möller and A. Zorich showed indeed a lower bound of their associated Lyapunov exponents given by the parabolic degrees of their variation of Hodge structure.

I will present this result on the example of variation of Hodge structure yielded by hypergeometric equations of arbitrary order. Starting with the computation of their degrees, and presenting some computer experiments. This will motivate questions about the equality case.

17:00, June 14, 2017: Alexander Gorokhovsky
Циклические когомологии алгебры символов и теоремы об индексе.

Я расскажу, как изучение циклических гомологий и когомологий алгебры полных символов псевдодифференциальных операторов позволяет выработать общий подход к классическим теоремам об индексе (теоремы Atiyah-Singer и Connes-Moscovici, регулярность эта-функции) и к некоторым новым результатам теории индекса.

15:30, June 16, 2017: Sergei Nechaev (Orsay)
Number-theoretic aspects of 1D localization: spectral statistics of sparse random graphs, "popcorn function" with Lifshitz tails, and Dedekind $\eta$-function.

We discuss the number-theoretic properties of distributions appearing in physical systems when an observable is a quotient of two independent exponentially weighted integers. The spectral density of ensemble of linear chains (graphs) distributed exponentially $\sim f^L$ (0<f<1), where $L$ is the chain length, serves as a particular example. At $f\to 1$, the spectral density can be expressed through the discontinuous at all rational points, Thomae ("popcorn") function. We suggest a continuous approximation of the popcorn function, based on the Dedekind $\eta$-function near the real axis. We provide simple arguments, based on the "Euclid orchard" construction, that demonstrate the presence of Lifshitz tails, typical for the 1D Anderson localization, at spectral edges. We also pay attention to the connection of the Dedekind $\eta$-function near the real axis to phyllotaxis and invariant measures of some continued fractions studied by Borwein and Borwein in 1993.

Теоретико-числовые аспекты одномерной локализации: спектральная статистика редких случайных графов, "попкорн-функция" с хвостами Лифшица и $\eta $-функция Дедекинда

Мы обсудим теоретико-числовые свойства распределений, возникающих в физических системах, когда наблюдаемое является частным от двух независимых экспоненциально взвешенных целых чисел. Примером является спектральная плотность ансамбля экспоненциально распределенных линейных цепей (графов), $\sim f ^L$ (0 <f <1 ), где $L$ - длина цепи. При $f \to 1$ спектральная плотность может быть выражена через разрывную во всех рациональных точках функцию Тома (``попкорн''). Мы предлагаем непрерывное приближение функции попкорна на основе функции Дедекинда $\eta$ вблизи действительной оси. Мы предлагаем простые аргументы, основанные на конструкции ``Сада Евклида'', которые демонстрируют наличие хвостов Лифшица вблизи ганицы спектра, типичных для одномерной локализации Андерсона. Также будет отмечена связь $\eta $-функции Дедекинда вблизи вещественной оси с филлотаксисом и инвариантными мерами некоторых цепных дробей, изученных Борвеином и Борвейном в 1993 году.

June 16, 2017: Юрий Зархин (Penn State University)
Алгебры эндоморфизмов некоторых абелевых многообразий.

Цель доклада - описать способы извлечения информации о структуре алгебры эндоморфизмов абелева многообразия $X$, основанные на знании действия абсолютной группы Галуа поля определения $X$ на точках маленького порядка. Мы подробно разберем случай якобианов циклических накрытий проективной прямой.

Monday, 17:00, June 19, 2017: Mahan Mj. (Tata Institute)
Cannon-Thurston maps and Kleinian groups (1)

Let M be a closed hyperbolic 3-manifold fibering over the circle with fiber a closed surface S. The inclusion of S into M lifts to a map between universal covers \tilde{S} and \tilde{M}. In the early 80's Cannon and Thurston showed that this inclusion extends to a continuous map between their compactifications: namely the 2-disk and the 3-ball. This gives rise to a space-filling (Peano) curve from the circle onto the 2-sphere, equivariant under the action of the fundamental group of S. This led Thurston to the following questions.

1) Is this a general phenomenon for finitely generated discrete subgroups of the isometry group of hyperbolic 3-space?

2) How does this map behave with respect to sequences of representations?

In the first lecture I shall survey an affirmative answer to Question 1. In the second, I shall give a review of work (joint in parts with C. Series and K. Ohshika) leading to a resolution of Q. 2.

Wednesday, 17:00 June 21, 2017: Mahan Mj. (Tata Institute)
Cannon-Thurston maps and Kleinian groups (2)

June 23, 2017: Mahan Mj. (Tata Institute)
Cannon-Thurston maps in Geometric Group Theory

Let M be a closed hyperbolic 3-manifold fibering over the circle with fiber a closed surface S. The inclusion of S into M lifts to a map between universal covers \tilde{S} and \tilde{M}. In the early 80's Cannon and Thurston showed that this inclusion extends to a continuous map between their compactifications: namely the 2-disk and the 3-ball. This can be extended to a considerably broader framework in the context of (Gromov) hyperbolic groups. I shall survey some of the developments in this broader context.

June 30, 2017: Николай Тюрин (ВШЭ)
"Многообразия модулей специальных бор - зоммерфельдовых лагранжевых циклов для алгебраических многообразий с обильными дивизорами"

Произвольное компактное односвязное алгебраическое многообразие $X$ с обильным расслоением $L \to X$ может (и обязано) быть рассмотрено, как симплектическое многообразие: выбор подходящей эрмитовой структуры на $L$ порождает соответствующую кэлерову форму на $X$, и все такие кэлеровы формы лежат в одном и том же классе $c_1(L)$. Выбором эрмитовой структуры одновременно каждое голоморфное сечение $\alpha \in H^0(X, L)$ порождает кэлеров потенциал $\psi_{\alpha} = - ln | \alpha |$. Для общего сечения такая функция морсовская вне дивизора нулей $D_{\alpha} \subset X$, и объединение конечных траекторий градиентного потока этой функции обладают замечательными изотропными свойствами. Оказывается, что именно такое объединение содержит специальные бор - зоммерфельдовы лагранжевы циклы, о которых рассказывалось в предыдущих моих докладах. Отсюда возможно сформулировать теорему существования многообразия модулей специальных бор - зоммерфельдовых лагранжевых циклов как отркытого алгебраического многообразия в случае $H_n(X \backslash D_{\alpha}, \mathbb{Z}) = \mathbb{Z}$ для общего сечения.

Jule 14, 2017: Миша Вербицкий (ВШЭ)
Пространство симплектических упаковок шарами.

Пусть M - симплектическое многообразие, а T -- пространство Тейхмюллера наборов симплектических шаров в M (то есть пространство наборов из n симплектически вложенных в M непересекающихся шаров с точностью до изотопии). Я докажу, что T -- гладкое многообразие размерности n, снабженное свободным действием полугруппы (\R^{>0})^n. Благодаря результатам Макдафф и Полтеровича, T можно вложить в пространство Тейхмюллера симплектических структур на раздутии M как замкнутое, гладкое подмногообразие. Многообразие Т хаусдорфово тогда и только тогда, когда для любого заданного набора шаров существует единственное (с точностью до изотопии) симплектическое вложение. Я расскажу, как вывести хаусдорфовость пространства шаров на гиперкэлеровом многообразии и торе из гипотезы Яу-Тиана-Дональдсона о существовании кэлеровых метрик постоянной конформной кривизны на стабильных кэлеровых многообразиях, и вкратце опишу современное состояние этой науки и ее методы. Все результаты получены совместно с Мишей Энтовым (Технион).

August 4, 2017: Sergey Galkin (HSE)
Fano threefolds, K3 surfaces, Mathieu group, and Brav-Dyckerhoff relative Calabi-Yau structures

I will argue that recent works of Brav-Dyckerhoff on relative CY structures (also Katzarkov-Pandit-Spaide and others on relative spherical functors) might help to bridge two so-far distant "moonshines":

1. correspondence between some subgroups of sporadic groups (M23, M24, Co_1) and symmetries of K3, that was observed by Nikulin-Mukai (1980s), Eguchi-Ooguri-Tachikawa (2010, in form of elliptic genus), and further works such as Gaberdiel-Hochenegger-Volpato

2. correspondence between conjugacy classes of same sporadic groups and G-Fano threefolds, that was observed by myself around 2009 in an attempt to generalize and refine Dolgachev-Golyshev's picture of mirror symmetry.

August 10 and 11, 2017: Dmitry Kaledin (Steklov Institute)
Brown representability for groupoids

This is a continuation and/or refinement of my June talk on Brown representability theorem. I will show how to prove a version of Brown representability with values in groupoids, and sketch some applications. Caution: this is heavily work in progress, use as is, no warranty, don't try this at home.

The talks are organized jointly with Colloquim of Laboratory of Mirror Symmetry.

August 18, 2017: Fedor Bogomolov (NYU and HSE)
$PGL(2)$-invariants of collections of torsion points of elliptic curves"

In this talk I will continue to discuss geometry of sets of images of torsion points of elliptic curves in $P^1$. I am going to develop some ideas which were mentioned in my previous talks on the subject. In particular I provide an argument proving the first conjecture described in previous talk for almost all $4$ tuples of the images of torsion points.

September 1, 2017: Andrey Soldatenkov (University of Bonn)
Kuga-Satake construction and its generalizations

Let H be a rational polarized weight 2 Hodge structure of K3 type, meaning that the (2,0)-component is one-dimensional. Classical Kuga-Satake construction attaches to it an abelian variety A an an embedding of H into the second cohomology of A, compatible with Hodge structures. I will talk about our recent work with N.Kurnosov and M.Verbitsky in which we consider the case where H is the second cohomology of a hyperkahler manifold X. We show that all cohomology of X can be embedded into the cohomology of the product of several copies of A. If time permits, I will talk about our joint work with S.Schreieder, where we consider the behaviour of Kuga-Satake abelian varieties under degeneration. It turns out that one can describe the limit mixed Hodge structure on the central fibre of degenerating family of Kuga-Satake varieties.

September 8, 2017: Александр Бейлинсон (Чикаго)
Высота мотивов (по работе К.Като).

Высота точки многообразия над числовым полем - классический инструмент диофантовой геометрии. Она играет основную роль в доказательствах различных свойств конечности (теорема Морделла-Вейля, теорема конечности Фальтингса об абелевых многообразий с заданным множеством точек плохой редукции). Недавно Като определил высоту произвольных мотивов и предложил ряд гипотез о ней; я расскажу об этой работе.

September 13, 2017 (Wednesday), 17:00, and
September 15, 2017: Евгений Македонский
Обобщенные модули Вейля - алгебра, геометрия и комбинаторика

Классические модули Вейля - это модули над алгебрами токов, являющиеся аналогами неприводимых модулей над простыми алгебрами Ли. Они нумеруются доминантными весами. Мы вводим обобщения этих модулей, занумерованные произвольными весами. Обобщенные модули Вейля оказываются удобными при изучении классических и их связи с многочленами Макдональда. В частности, с их помощью категорифицируется формула Орра-Шимозоно для многочленов Макдональда. Кроме того, они являются модулями глобальных сечений линейных расслоений на полубесконечных многообразиях Шуберта.

September 22, 2017, 17:00: Александр Кузнецов (МИРАН, ВШЭ)
Многообразия Гушеля-Мукаи и их производные категории

Многообразия Гушеля-Мукаи --- это трансверсальные пересечения конуса над грассманианом Gr(2,5) с квадрикой, соответственно их размерность ограничена сверху 6. Они обладают чрезвычайно интересной геометрией, особенно в размерности 4 (в этом случае они весьма похожи на четырехмные кубические гиперповерхности).

Я постараюсь рассказать про основные геометрические свойства многообразий Гушеля-Мукаи, связь с гиперкэлеровыми многообразиями, строение производных категорий и интересные вопросы, связанные с их бирациональной геометрией.

September 29, 2017, 17:00: Don Zagier (Bonn)
Poor man's adeles and multiple zeta values

The "poor man's adeles" of the title is the informal name of the ring $ \Prod_p\bigl(\Bbb Z/p\Bbb Z_p\bigr)/\Oplus_p\bigl(\Bbb Z/p\Bbb Z_p\bigr)$ whose elements are ``numbers" having a well-defined value modulo almost every prime number. It turns out that examples of elements of this ring show up in many places in mathematics. In the lecture I will describe several examples of this, most notably a finite-field version of the well-known multiple zeta values invented by Euler and much studied in recent years (this part is joint work with Masanobu Kaneko), but also examples coming from areas as different as quantum invariants of homology 3-spheres and transition matrices between different bases of the space of solutions of a linear differential equation with regular singularities.

(joint colloquium of Laboratory of Algebraic Geometry and Laboratory of Mirror Symmetry).

October 4, 2017 (Wednesday), 18:30: Jean-Louis Colliot-Thelene (CNRS, Universite Paris-Sud Paris-Saclay)
Disproving stable rationality

In the last four years, a series of papers by several authors has established that some very classical, rationally connected, complex varieties (cyclic covers of projective space with ramification locus of low degree, hypersurfaces of low degree, quadric bundles over rational varieties) are not stably birational to projective space. In the first part of the talk I shall give a general description of the method and of some of its variants, and I shall try to list the main results achieved. The second part of the talk will be devoted to a recent variant of the technique.

October 6, 2017, 17:00: Андрей Миронов (Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН)
Обыкновенные коммутирующие дифференциальные операторы с полиномиальными коэффициентами и автоморфизмы первой алгебры Вейля
(коллоквиум Лаборатории Алгебраической Геометрии и Лаборатории Зеркальной Симметрии)

В докладе будет рассказано об обыкновенных коммутирующих дифференциальных операторах, и в частности, о методе построения коммутативных подалгебр в первой алгебре Вейля. В докладе также будет обсуждаться задача об описании орбит действия автоморфизмов первой алгебры Вейля на множестве коммутирующих операторов с полиномиальными коэффициентами при фиксированной спектральной кривой. Доклад основан на совместной работе с А.Б.Жегловым.

October 6, 2017, 18:30: Александр Жеглов (МГУ)
Алгебро-геометрические спектральные данные для планарных систем Калоджеро-Мозера
Algebro-geometric spectral data for planar Calogero-Moser systems.
(коллоквиум Лаборатории Алгебраической Геометрии и Лаборатории Зеркальной Симметрии)

работе с Игорем Бурбаном) посвящен алгебраическому анализу рациональных систем Калоджеро-Мозера на плоскости. Этот класс квантовых интегрируемых систем известен как суперинтегрируемый. Это означает, что оператор Шредингера с соответствующим рациональным потенциалом включается в большое семейство попарно {\it коммутирующих дифференциальных операторов в частных производных}, так что пространство общих собственных функций одномерно в общей точке спектра.

С алгебро-геометрической точки зрения, всякая такая квантовая суперинтегрируемая система по существу определяется некоторыми алгебро-геометрическими данными: проективной спектральной поверхностью (определенной по алгебре планарных квази-инвариантов с естественной фильтрацией) и спектральным пучком (определенным некоторым модулем, про который известно, что он Коэно-Маколеев ранга один). Эти геометрические данные имеют очень специальные алгебро-геометрические свойства, наиболее важным из которых является сппециальная форма полинома Гильберта пучка. Спектральное многообразие оказывается рациональным, но очень особым (Коэно-Маколеевым, но не нормальным). Оказывается, что все Коэно-Маколеевы модули ранга один над алгеброй планарных квази-инвариантов могут быть явно описаны в терминах очень естественных модульных параметров, и это описание, в некотором смысле, очень похоже на описание обобщенного якобиана особой рациональной кривой. Спектральный модуль планарной системы Калождеро-Мозера при этом оказывается проективным.

В отличие от случая кривых, не каждый модуль Коэно-Маколея является спектральным модулем некоторой квантовой системы. Пространство модулей {\it спектральных} пучков устроено намного тоньше, тем не менее его структура указывает на существование интегрируемых {\it деформаций} систем Калоджеро-Мозера. В частности, я собираюсь рассказать как классификация модулей Коэно-Маколея вместе с алгебраическими методами обратной спектральной задачи позволяют выписать некоторые новые деформации систем Калоджеро-Мозера в алгебре дифференциально-разностных операторов.

My talk (based on a joint work with Igor Burban) is devoted to the algebraic analysis of planar rational Calogero-Moser systems. This class of quantum integrable systems is known to be superintegrable. This means that the underlying Schrodinger operator with Calogero-Moser potential can be included into a large family of pairwise commuting partial differential operators such that the space of joint power series eigenfunctions is generically one-dimensional.

More algebraically, any such system is essentially determined by a certain algebro-geometric datum: the projective spectral surface (defined by the algebra of planar quasi-invariants with natural filtration) and the spectral sheaf (defined by a module known to be Cohen-Macaulay of rank one). This geometric datum has very special algebro-geometric properties, the most important of which is a very special form of the Hilbert polynomial of the module (sheaf). Moreover, the spectral variety appears to be rational but very singular (only Cohen-Macaulay, even not normal). It turns out that all rank one Cohen-Macaulay modules over the algebra of planar quasi-invariants can be explicitly described in terms of very natural moduli parameters, and this description looks in some sence very similar to to the description of the generalised Jacobian for singular rational curves. The spectral module of a planar Calogero-Moser system is actually projective, and its underlying moduli parameters are explicitely determined.

Unlike the case of curves, not every Cohen-Macaulay module is spectral. The moduli space of spectral sheaves appears to be much more subtle, but its structure indicates the existence of integrable deformations of Calogero-Moser systems. I am going to explain how the classification of CM modules, combined with tools of the algebraic inverse scattering method, leads to certain new integrable deformations of Calogero-Moser systems in the algebra of differential-difference operators.

October 13, 2017, 17:00: Chris Brav (HSE)
Functions on moduli spaces from cyclic homology

We discuss the 'moduli of objects' M_D in a dg category D and construct a map from cyclic homology of D to functions on the moduli space M_D. When D is a smooth, oriented dg category ('Calabi-Yau'), the cyclic homology HC(D) is endowed with a shifted Lie bracket ('algebraic string bracket') and the functions on M_D are endowed with a shifted Poisson bracket. We show that the map from cyclic homology to functions entwines the brackets. Examples include the Goldmann bracket of free loops on a surface, the string bracket of Chas-Sullivan, and the Hitchen system for Higgs bundles. This is joint work very much in progress with Nick Rozenblyum.

Laboratory of Algebraic Geometry and its Applications