archive: 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016

Laboratory of algebraic geometry: weekly seminar

For first-time visitors: please see the directions at the separate page.

Every Friday, 17:00, Usacheva 6, room 306

If this file is not always up to date, please check the latest announcements on the laboratory's mailing list.

This week

Future seminars

August 31, 2018: Hang Fu (National Center for Theoretical Sciences, National Taiwan University)
Projectively equivalence for the roots of unity

Let $\mu_{\infty}\subseteq\mathbb{C}$ be the collection of roots of unity. Two $n$-tuples $(s_{1},\cdots,s_{n}),(t_{1},\cdots,t_{n})\in\mu_{\infty}^{n}$ are said to be projectively equivalent if there exists $\gamma\in\text{PGL}(2,\mathbb{C})$ such that $\gamma(s_{i})=t_{i}$ for any $1\leq i\leq n$. This talk will discuss the classification of such equivalent pairs.

September 7, 2018: Евгений Македонский (Киото)
Вертексные операторы и полубесконечные флаги

Мы строим структуру обобщенной вертексной алгебры на кольце однородных функций на полубесконечном многообразии флагов для типов A, D, E. С помощью этой структуры мы строим вертекс-операторную реализацию глобальных модулей Вейля.

Past seminars

January 6, 2017: Dmitri Panov (King's College London)
Real line arrangements with Hirzebruch property.

A line arrangement of 3n lines in CP2 satisfies Hirzebruch property if each line intersect others in n+1 points. Hirzebruch asked if all such arrangements are related to finite complex reflection groups. We give a positive answer to this question in the case when the line arrangement in CP2 is real, confirming that there exist exactly four such arrangements.

January 13, 2017: Александр Кузнецов (МИРАН, ВШЭ)
D-эквивалентность и L-эквивалентность.

В последнее время появляется все больше и больше примеров того, что если есть два производно эквивалентные многообразия, то разность их классов в кольце Гротендика многообразий аннулируется умножением на класс аффинной прямой. Я расскажу про примеры такого рода и про возникающие в связи с этим вопросы.

January 20, 2017: Митя Кубрак (MIT)
"Дифференциальные операторы в характеристике p, группа Брауэра и производные эквивалентности"

В статье "Derived equivalences by quantisation" (https://arxiv.org/abs/math/0504584) Дима Каледин доказал частный случай гипотезы Каваматы, а именно, что производные категории когерентных пучков различных симплектических разрешений pi: X --> Y конической особенности Y эквивалентны. Доказательство основано на эффекте Адзумаи для квантований Федосова в характеристике p, а именно по построению квантования являются алгебрами Адзумаи на Фробениус-твисте X, более того они расщепляются на формальных окрестностях слоев отображения pi. Я расскажу о нашей статье с Ромой Травкиным https://arxiv.org/abs/1611.08340, где мы изучаем аналогичный вопрос для некоторых центральных редукций алгебры дифференциальных операторов в характеристике p, строящихся по дифференциальным 1-формам на X. Мы доказываем что соответствующие классы в группе Брауэра спускаются на базу разрешения если база нормальная и R^1pi_*O_X =R^2pi_*O_X=0. Также мы определяем некоторый класс особенностей, включающий важные примеры (многообразия Накаджимы, гиперторические многообразия, срезы Слодового) для которых спуск выполняется глобально. Для упомянутых примеров класс в группе Брауэра квантования Федосова приходит из 1-формы и таким образом для них наша статья даёт уточнение результатов Каледина.

January 27, 2017: Misha Verbitsky (HSE and ULB)
Algebraic and Kahler dimension of nilmanifolds.

Let M be a complex nilmanifold, that is, a quotient of a nilpotent Lie group with left-invariant complex structure by a cocompact lattice, and h the dimension of its space of holomorphic differentials. S. Salamon has shown that \dim M >= h > 0 for any nilmanifold, with equality realized if and only if M is a torus. Algebraic dimension a(M) is transcendental dimension of the field of meromorphic functions on M. It is known that algebraic dimension is bounded from above by the usual dimension. I will show that a(M) is bounded by h (dimension of the space of holomorphic differentials) and explain when this bound is realised and how a(M) can be computed explicitly in terms of the Lie algebra. Also I would show that h bounds the Kahler dimension of M, that is, the maximal dimension of a compact Kahler manifold X such that there exists a dominant meromorphic map M -> Х, and explain when this bound is realized. This is a joint work with Gueo Grantcharov and Anna Fino.


February 3, 2017, Юрий Устиновский (Принстон)
"Потоки метрик на эрмитовых многообразиях"

Поток Риччи является очень мощным инструментом в изучении общих римановых и кэлеровых многообразий. Попытка применить его на общих комплексных многообразиях, снабженных эрмитовой метрикой, сталкивается с трудностью: тензор Риччи, вообще говоря, не инвариантен относительно комплексной структуры и, следовательно, поток Риччи не сохраняет свойство метрики быть эрмитовой. Мы обсудим несколько возможных обобщений потока Ричии, которые не обладают указанным недостатком ("Chern-Ricci flow" Gill, Tosatti, Weinkove; "Hermitian curvature flow" Streets, Tian).

Важное свойство потока Риччи - сохранение различных понятий "положительности кривизны". Для Hermitian curvature flow мы докажем, что неотрицательность кривизны Гриффитса сохраняется вдоль потока. Аналогичное утверждение для потока Риччи в кэлеровой ситуации доказали Бандо в 1984 (в размерности 3) и Мок в 1988 (в любой размерности) и успешно применили его для характеризации кэлеровых многообразий с неотрицательной голоморфной бисекционной кривизной. Все такие многообразиях оказываются симметрическими пространствами.

В качестве приложения мы докажем несколько свойств эрмитовых метрик с неотрицательной кривизной Гриффитса и обсудим гипотетическую классификацию многообразий, допускающих такие метрики.

От слушателей требуется только знакомство с базовыми понятиями дифференциальной геометрии (связность, кривизна). Все необходимые определения будут даны во время доклада.

Wednesday, February 8, 2017, 17:00, Игорь Крылов (Bonn)

Расслоения на поверхности дель Пеццо.

Мы говорим, что f: X \to Z - расслоение на дель Пеццо, если общий слой - это поверхностоль дель Пеццо. В этом докладе я расскажу о стабильной нерациональности расслоений на дель Пеццо малой степени. А именно будет доказано, что очень общее расслоение на дель Пеццо степени 1,2 или 3, такое что его антиканонический класс не обилен, не стабильно нерационально. В первой части доклада я сделаю небольшой обзор известных результатов о стабильной нерациональности, и расскажу о том, как можно улучшить результат о расслоениях на дель Пеццо в размерности три. Во второй части доклада я расскажу о методе редукции в конечную характеристику и как его применять для расслоений на дель Пеццо.

February 10, 2017: Mikhail Belolipetsky (IMPA)
Systoles of hyperbolic manifolds

The systole of a Riemannian manifold M is the length of a shortest geodesic loop in M. I am going to discuss systoles and their higher dimensional analogues of hyperbolic n-manifolds. A special role will be played by arithmetic hyperbolic manifolds and their congruence coverings, which I am going to define in the first part of the talk.

February 17, 2017: Michael Finkelberg (HSE)
"Kostka-Shoji polynomials".

These polynomials were introduced and studied by Shoji; they are analogues of Kostka polynomials $K_{\lambda,\mu}$ when $\lambda$ and $\mu$ are multipartitions. I will present an analogue of the Lusztig-Kato formula for Kostka-Shoji polynomials proved by Shoji last week, and their related geometric interpretation as multiplicities in the spaces of sections of certain line bundles over Lusztig's convolution diagrams for cyclic quivers, proving their positivity. This is a joint work with Andrei Ionov.

February 24, 2017: Fedor Bogomolov (Courant Institute and HSE)
"Geometry of sets of torsion points on elliptic curves"

In this talk I introduce and discuss geometry of curves parametrizing subset of points in $P^1$ obtained as projections of torsion points of elliptic curves. For every subset of different $k$ points in $P^1$ we can define it's image in the moduli $M_{0,k}$ of $k$-tuples of points which is essentially a quotient of projective space $S^kP^1= P^k$ by the action of $PGL(2)$. Thus $M_{0,k}$ is a rational variety of dimension $k-3$. If we consider the images of points of finite order in different elliptic curves under natural projections then we obtain an( infinite) system of modular typoe curves with maps into $M_{0,k}$ I will formulate three conjectures (semi theorems) about properties of such maps which provide a possiblity of realistic universal estimate for intersections between subset of torsion points for different elliptic curves.

March 3, 2017: Misha Verbitsky (HSE and ULB)
Kuga-Satake construction for higher cohomology.

Let M be a hyperkahler manifold of complex dimension n. Kuga-Satake construction gives an embedding of H^2(M) to H^2(torus) compatible with the Hodge structure. We construct a torus T of dimension n+k and an embedding of cohomology space H^*(M) -> H^{*+k}(T) which is compatible with the Hodge structures and the Poincare pairing. This is a joint work with Nikon Kurnosov and Andrei Soldatenkov.

(cancelled due to flight cancellation).

March 3, 2017: Aleksey Gorinov (HSE)
A purity theorem for configuration spaces of smooth compact algebraic varieties

B. Totaro showed \cite{totaro} that the rational cohomology of configuration spaces of smooth complex projective varieties is isomorphic as an algebra to the E_2 term of the Leray spectral sequence corresponding to the open embedding of the configuration space into the Cartesian power. In this note we show that the isomorphism can be chosen to be compatible with the mixed Hodge structures. In particular, we prove that the mixed Hodge structures on the configuration spaces of smooth complex projective varieties are direct sums of pure Hodge structures.

March 10, 2017: Chris Brav (HSE)
Relative Calabi-Yau structures

We introduce the notion of a Calabi-Yau structure on a dg functor between smooth dg categories. We discuss examples coming from topology, algebra, and algebraic geometry, explain how to glue together Calabi-Yau structures in the same way that one glues together oriented manifolds along a common boundary component, and show how this notion gives rise to symplectic/Lagrangian structures on moduli of objects in dg categories. This is joint work with Tobias Dyckerhoff from the University of Bonn.

March 17, 2017: Тарас Панов (мехмат МГУ)
Полиэдральные произведения, прямоугольные группы Коксетера и гиперболические многообразия.

Полиэдральное произведение представляет собой функториальную комбинаторно-топологическую конструкцию, сопоставляющую топологическое пространство $(X,A)^K$ паре топологических $(X,A)$ и конечному симплициальному комплексу $K$. Аналогичная конструкция имеется и в категории групп и называется граф-произведением. Частным случаем граф-произведений являются прямоугольные группы Артина и Коксетера, играющие важную роль в геометрической теории групп. Особый интерес представляют геометрические прямоугольные группы Коксетера, порождённые отражениями в гипергранях многогранников, реализуемых в пространстве Лобачевского с прямыми двугранными углами. Каждому такому многограннику сопоставляется семейство асферических гиперболических многообразий, фундаментальные группы которых суть коммутанты прямоугольных групп Коксетера или их конечные расширения. Используя результаты о топологии полиэдральных произведений, мы описываем строение коммутантов прямоугольных групп Артина и Коксетера, а затем применяем эти результаты для классификации гиперболических многообразий с точностью до диффеоморфизма. Доклад основан на совместных работах с В.М. Бухштабером, Я.А. Верёвкиным, Н.Ю. Ероховцом, М. Масудой и С. Пак.

March 22, 2017: Seidai YASUDA (Osaka University)
Pseudo-tame rational functions on curves in characteristic two.

We introduce the notion of pseudo-tame morphisms of curves in characteristic two. Using this notion we prove that any curve over an algebraically closed field admits a morphism to the projective line which is tamely ramified everywhere. As a corollary, we obtain an analogue of Belyi's theorem in positive characteristic. This talk is based my joint work with Yusuke Sugiyama.

March 24, 2017: Виктор Пржиялковский
Числа Ходжа моделей Ландау--Гинзбурга
(отменен по просьбе докладчика)

Исходно одним из определяющих свойств зеркальной симметрии для (трехмерных) многообразий Калаби--Яу заключалось в том, что ромбы Ходжа двойственных многообразий получаются друг из друга поворотом на 90 градусов. Двойственным объектом для многообразия Фано является модель Ландау--Гинзбурга --- квазипроективное многообразие, снабженное непостоянной комплекснозначной функцией. Мы обсудим определения чисел Ходжа для таких объектов, данные Кацарковым--Концевичем--Пантевым. Подкорректировав (и частично отвергнув) эти определения, мы докажем соответствие ромбов Ходжа поверхностей дель Пеццо и их моделей Ландау--Гинзбурга. Мы также обсудим примеры большей размерности. Важным ингридиентом определений и рассуждений является компактификации моделей Ландау--Гинзбурга до семейства над проективной прямой и их слои над бесконечностью. Мы обсудим такие компактификации для двух- и трехмерного случаев. Большая часть доклада основана на совместных работах с В. Лунцем.

March 24, 2017: P.V. Bibikov (Institute of Control Sciences RAS)
Differential invariants in algebraic geometry and algebra in differential equations

The aim of the talk is to show new relationships between geometric theory of differential equations, algebraic geometry and classical invariant theory. We show how methods and constructions from the theory of differential equations can be used for studying of various algebraic problems. Also we explain how classical algebraic constructions generate new questions in the theory of differential equations. Great attention will be paid to open questions and problems.

15:30, March 31, 2017: Yoshinori Gongyo (University of Tokyo)
Cone theorems

We will discuss several cone theorems which appear in birational geometry.

17:00, March 31, 2017: Евгений Фейгин (ВШЭ)
Представления алгебр токов, полиномы Макдональда и многообразия флагов.

У теории представлений простых конечномерных алгебр Ли имеется (как минимум) три важные составляющие части: алгебраическая (описание пространств с действием операторов), комбинаторная (исчисление размерностей и характеров) и геометрическая (многообразия флагов с линейными расслоениями). Мы рассмотрим обобщение классической теории на случай алгебр токов -- тензорного произведения конечномерной алгебры Ли и кольца полиномов от одной переменной. Мы опишем базовые объекты, возникающий в этой теории, и приведём основные результаты и конструкции.

April 7, 2017: Nicholas Shepherd-Barron (King's College)
Fano 3-folds in positive characteristic

Fano 3-folds in positive characteristic I will discuss Kodaira vanishing and multiple projection for smooth Fano threefolds in positive characteristic.

Exceptional groups and del Pezzo surfaces

I shall extend the construction by Brieskorn and others that contains the simultaneous resolution of du Val singularities to the environment of principal bundles under exceptional groups over elliptic curves. This recovers the simultaneous log resolutions of simply elliptic singularities and gives a direct geometrical path from exceptional groups to del Pezzo surfaces. This is joint work with Grojnowski.

April 14, 2017: Sergey Galkin (HSE)
The conifold point

Consider a Laurent polynomial with real positive coefficients such that the origin is strictly inside its Newton polytope. Then it is strongly convex as a function of real positive argument. So it has a distinguished Morse critical point --- the unique critical point with real positive coordinates. As a consequence we obtain a positive answer to a question of Ostrover and Tyomkin: the quantum cohomology algebra of a toric Fano manifold contains a field as a direct summand. Moreover, it gives a good evidence that the same statement holds for any Fano manifold.

Wednesday, April 19: Liviu Ornea (Bucharest)
Recent results in locally conformally Kahler geometry.

After a brief account on LCK geometry, with focus on LCK with potential and Vaisman manifolds, I shall describe several new results concerning compact LCK with potential, concerning their LCK rank and the fact that they contain Hopf surfaces.

April 21, 2017: Pavel Safronov (Geneva)
Introduction to derived Poisson geometry with examples

Derived Poisson geometry studies higher Poisson structures on (derived) algebraic stacks. I will explain what higher Poisson structures are and how to define them on stacks following the work of Calaque, Pantev, Toen, Vaqui'e and Vezzosi. Moreover, one can define an interesting generalization of the notion of a coisotropic submanifold in this context which I will describe following joint work with Melani. In the second half of the talk I will give several examples of these constructions some of which come from Poisson-Lie groups.

April 28, 2017: Paul Zinn-Justin (Melbourne)
Schubert calculus and quantum integrability

We formulate new combinatorial (puzzle) rules for Schubert calculus in the d-step flag variety, d<=4. More precisely, generalizing my previous work for d=1, we show how to define an integrable model that computes the structure constants of the (equivariant) cohomology (or K-theory) of the d-step flag variety in the basis of Schubert classes. Deligne's exceptional series appears naturally. We also explain the connection to Maulik-Okounkov stable classes. This is joint work with A. Knutson.

May 5, 2017: Серое Фиолетовое/Grey Violet (университет г.Констанц, Германия).
Геометрия множеств $D$-устойчивых многочленов.

Разнообразные задачи связанные с расположением корней многочлена относительно заданной области $\Omega$ на комплексной плоскости, являются одними из наиболее классических для теории управления, рассматриваемыми с самого ее основания (Дж. Максвелл, И. Вышнеградский). Несмотря на обилие частных результатов алгоритмического характера, о геометрии множеств многочленов с фиксированным распределением корней относительно заданной области (области $D$-устойчивости) известно до сих пор очень мало.

Среди известных результатов -- общие алгебраические критерии принадлежности всех корней многочлена к заданной области (R. Kalman, S. Gutman, E. Jury), многочисленные результаты о строении границы множества гиперболических многочленов (В.И. Арнольд, Б.Шапиро, В.П. Костов и др.) и вещественных гурвицевых многочленов (Л.В. Левантовский, А.А. Майлыбаев, А.П. Сейранян).

В докладе планируется развить общий подход к задачам подобного рода, представить топологическое описание множеств комплексных многочленов с фиксированным распределением корней относительно заданной полуалгебраической области, а также объяснить специальное положение трех классических $D$-устойчивостей: гурвицевой ($\Omega$ -- левая полуплоскость), шуровской ($\Omega$ -- внутренность единичного круга), гиперболичности ($\Omega$ -- вещественная прямая).

May 12, 2017: Anatol Kirillov (Kyoto)
Introduction to Dilogarithm Identities, Rigged Configurations and Fomin-Kirillov algebras

The Dilogarithm function had been introduced by L. Euler more than $250$ years ago, and since that time the Dilogarithm function has been extensively studied by many mathematicians and physicists including N. Abel, E. Kummer, L. Rogers, S. Ramanujan, L. Lewin, L.D. Faddeev, D. Zagier, A. Goncharov, H. Gangl, A.Al. Zamolodchikov, among many others. Dilogarithm and its quantum analogue have found numerous deep applications in Number Theory, Hyperbolic Geometry, Knot invariants, Algebraic K-theory, Representation Theory, Mathematical Physics and Applied Mathematics. In my talk I'm planning to draw attention of the audience to some remarkable identities for the values of the Rogers dilogarithm function at some very special families of algebraic numbers. These relations admit an interesting interpretation in algebraic K-theory and Conformal Field Theory. I'm planning to talk about Rigged Configuration Bijection (RC-bijection), which originated from the analysis of the Bethe Ansatz Equations for the XXX and XXZ Heisenberg models, and has a big variety of applications to Combinatorics, Representation Theory, Discrete Integrable Systems, among other interesting applications. I'm also planning to talk about some families of quadratic algebras (the so-called "Fomin-Kirillov" type algebras) with applications to Schubert Calculus, Quantum (and Elliptic) Cohomology and K-theory of flag varieties, and beyond.

May 19, 2017: Александра Скрипченко (ВШЭ)
Системы изометрий отрезков и их родственники

Система частичных изометрий отрезков - объект, состоящий из отрезка действительной оси и семейства изометрий между парами его подотрезков. Такие системы возникают независимо в нескольких разделах математики - топологии (при изучении измеримых слоений на поверхностях), теории динамических систем (как способ описания динамики плоских бильярдов в многоугольниках) и геометрической теории групп (в рамках исследования автоморфизмов свободных групп). Исторически первые и наиболее изученные представители этого класса - перекладывания отрезков. В докладе будут кратко описаны основные динамические свойства этих отображений: минимальность, эргодичность, описание с точки зрения символической динамики, инвариантные меры. После этого я расскажу про различные обобщения перекладываний отрезков - отображения отрезков с флипами, отображения сдвигов (interval translation mappings) и системы частичных изометрий - и задачи, мотивирующие появление этих конструкций. Мы обсудим, какие из найденных свойств перекладываний обобщаются, а какие - заменяются на противоположные.

May 24, 2017, Wednesday, 17:00: Giovanni Mongardi (Bologna)
Calabi Yau quotients of hyperkahlers

In this talk, i will speak about a joint work with C. Camere and A. Garbagnati. We analyze which calabi yau manifolds can be obtained as resolution of quotients of hyperkahler manifolds by non symplectic automorphism. More specifically, we will deal with the case of fourfolds modulo an involution, which gives a wide range of examples. In the natural case, we also compute the Hodge numbers of the Calabi Yau manifolds.

May 24, 2017, Wednesday, 18:30: Dmitri Panov (Kings College)
Односвязность 6-мерных симплектических Фано с гамильнотовым действием окружности.

Доклад посвящен совместной работе с Ником Линдси. Компактное симплектическое многообразие называется многообразием Фано, если первый класс Черна его касательного расслоения равен классу симплектической формы. В размерности 2 такое многообразие одно - это сфера, в размерности 4 благодаря теории Зайберга-Виттена известно, что таких многообразий 10, и они все односвязны. Начиная с размерности 12 есть примеры симплектических многообразий Фано с бесконечной фундаментальной группой. В нашей работе мы доказываем, что 6-мерные симплектические Фано с гамильнотовым действием окружности также односвязны. Это первый шаг в сторону классификации таких многообразий.

May 26, 2017, Friday, 17:00: Giovanni Mongardi (Bologna)
Hodge numbers of the O'Grady six dimensional manifold

In this talk, i will speak about a joint work with A. Rapagnetta and G. Sacca. In it, we realize O'Grady's six dimensional example of irreducible holomorphic symplectic manifold as a quotient of an IHS manifold of K3$^{[3]}$--type by a birational involution, thereby computing its Hodge numbers.

June 2, 2017: Agnieszka Bodzenta-Skibinska (Edinburgh)
Canonical divisors revisited - categorical approach

Properties of the canonical sheaf are one of the first invariants of an algebraic variety considered in birational geometry. I will describe how canonical divisors appear in the study of derived categories of birationally equivalent varieties. I will prove that, given a birational morphism, the canonical bundle and its restriction to relative canonical divisors provide a tilting generator for one category over another. I will also discuss related quasi-hereditary algebras and a system of t-structures.

15:00, Thursday, June 8, 2017: Михаил Бондарко (СпБГУ)
О мотивных пучках и весах для них

В 1980х А. Бейлинсон сформулировал гипотезы о существовании т.н. смешанных мотивных пучков MM(S) - аналога над произвольной базовой схемой S гипотетической абелевой категории смешанных мотивов над полем. Кроме того, он предположил существование фильтраций весов на мотивных пучках; свойства этих понятий должны быть аналогичны свойствам смешанных l-адических превратных пучков над многообразиями над конечными полями. а функторы Ext должны вычисляться в терминах K-теории.

В 1990х, благодаря работам Воеводского и др., началась работа над триангулированными категориями мотивов (DM(S)). Для очень широкого класса базовых схем категории DM(-) обладают почти всеми (гипотетическими) свойствами производных категорий MM(-). В частности, разработанная докладчиком абстрактная теория позволяет определить некоторые "веса" для DM(S) в терминах весовой структуры Чжоу на DM(S); свойства "мотивных весов" аналогичны свойствам весов Делиня для смешанных комплексов этальных пучков, а этальная реализация "переводит мотивные веса в этальные". DM(S) и весовая структура Чжоу на ней будут подробно рассмотрены в докладе (в том числе, над полями).

Категория MM(S) "должна" быть ядром "мотивной" t-структуры DM(S). Компоненты этой t-структуры можно ("попробовать") описать в терминах этальной реализации, однако то, что они действительно задают t-структуру - очень сложная гипотеза. Докладчик расскажет о том, как эта гипотеза сводится к некоторым "стандартным" мотивным гипотезам над полями, и рассмотрит "индуцированную" весовой структурой Чжоу фильтрацию весов на MM(S).

June 9, 2017: Charles Fougeron
Lyapunov exponents for hypergeometric equations.

Lyapunov exponents and their Oseledets flag decomposition are a very useful tool for describing dynamical systems. They are presented sometimes as dynamical variation of Hodge structures. My main motivation here is to understand their link to algebraic invariants of variation of Hodge structure when it exists.

In the 90's, M. Kontsevich observed that the sum of Lyapunov exponents associated to translation surfaces are equal to the degree of some holomorphic subbundle for a variation of Hodge structure associated to its Teichmüller geodesic. It is remarkable that this relation arises from wider properties like ergodicity and some algebraic rigidity on the variation of Hodge structure which is true in a much more general setting.

Recently, a similar result was observed on higher width variation of Hodge structure (which decomposition has more flags), A. Eskin, M.Kontsevich, M. Möller and A. Zorich showed indeed a lower bound of their associated Lyapunov exponents given by the parabolic degrees of their variation of Hodge structure.

I will present this result on the example of variation of Hodge structure yielded by hypergeometric equations of arbitrary order. Starting with the computation of their degrees, and presenting some computer experiments. This will motivate questions about the equality case.

17:00, June 14, 2017: Alexander Gorokhovsky
Циклические когомологии алгебры символов и теоремы об индексе.

Я расскажу, как изучение циклических гомологий и когомологий алгебры полных символов псевдодифференциальных операторов позволяет выработать общий подход к классическим теоремам об индексе (теоремы Atiyah-Singer и Connes-Moscovici, регулярность эта-функции) и к некоторым новым результатам теории индекса.

15:30, June 16, 2017: Sergei Nechaev (Orsay)
Number-theoretic aspects of 1D localization: spectral statistics of sparse random graphs, "popcorn function" with Lifshitz tails, and Dedekind $\eta$-function.

We discuss the number-theoretic properties of distributions appearing in physical systems when an observable is a quotient of two independent exponentially weighted integers. The spectral density of ensemble of linear chains (graphs) distributed exponentially $\sim f^L$ (0<f<1), where $L$ is the chain length, serves as a particular example. At $f\to 1$, the spectral density can be expressed through the discontinuous at all rational points, Thomae ("popcorn") function. We suggest a continuous approximation of the popcorn function, based on the Dedekind $\eta$-function near the real axis. We provide simple arguments, based on the "Euclid orchard" construction, that demonstrate the presence of Lifshitz tails, typical for the 1D Anderson localization, at spectral edges. We also pay attention to the connection of the Dedekind $\eta$-function near the real axis to phyllotaxis and invariant measures of some continued fractions studied by Borwein and Borwein in 1993.

Теоретико-числовые аспекты одномерной локализации: спектральная статистика редких случайных графов, "попкорн-функция" с хвостами Лифшица и $\eta $-функция Дедекинда

Мы обсудим теоретико-числовые свойства распределений, возникающих в физических системах, когда наблюдаемое является частным от двух независимых экспоненциально взвешенных целых чисел. Примером является спектральная плотность ансамбля экспоненциально распределенных линейных цепей (графов), $\sim f ^L$ (0 <f <1 ), где $L$ - длина цепи. При $f \to 1$ спектральная плотность может быть выражена через разрывную во всех рациональных точках функцию Тома (``попкорн''). Мы предлагаем непрерывное приближение функции попкорна на основе функции Дедекинда $\eta$ вблизи действительной оси. Мы предлагаем простые аргументы, основанные на конструкции ``Сада Евклида'', которые демонстрируют наличие хвостов Лифшица вблизи ганицы спектра, типичных для одномерной локализации Андерсона. Также будет отмечена связь $\eta $-функции Дедекинда вблизи вещественной оси с филлотаксисом и инвариантными мерами некоторых цепных дробей, изученных Борвеином и Борвейном в 1993 году.

June 16, 2017: Юрий Зархин (Penn State University)
Алгебры эндоморфизмов некоторых абелевых многообразий.

Цель доклада - описать способы извлечения информации о структуре алгебры эндоморфизмов абелева многообразия $X$, основанные на знании действия абсолютной группы Галуа поля определения $X$ на точках маленького порядка. Мы подробно разберем случай якобианов циклических накрытий проективной прямой.

Monday, 17:00, June 19, 2017: Mahan Mj. (Tata Institute)
Cannon-Thurston maps and Kleinian groups (1)

Let M be a closed hyperbolic 3-manifold fibering over the circle with fiber a closed surface S. The inclusion of S into M lifts to a map between universal covers \tilde{S} and \tilde{M}. In the early 80's Cannon and Thurston showed that this inclusion extends to a continuous map between their compactifications: namely the 2-disk and the 3-ball. This gives rise to a space-filling (Peano) curve from the circle onto the 2-sphere, equivariant under the action of the fundamental group of S. This led Thurston to the following questions.

1) Is this a general phenomenon for finitely generated discrete subgroups of the isometry group of hyperbolic 3-space?

2) How does this map behave with respect to sequences of representations?

In the first lecture I shall survey an affirmative answer to Question 1. In the second, I shall give a review of work (joint in parts with C. Series and K. Ohshika) leading to a resolution of Q. 2.

Wednesday, 17:00 June 21, 2017: Mahan Mj. (Tata Institute)
Cannon-Thurston maps and Kleinian groups (2)

June 23, 2017: Mahan Mj. (Tata Institute)
Cannon-Thurston maps in Geometric Group Theory

Let M be a closed hyperbolic 3-manifold fibering over the circle with fiber a closed surface S. The inclusion of S into M lifts to a map between universal covers \tilde{S} and \tilde{M}. In the early 80's Cannon and Thurston showed that this inclusion extends to a continuous map between their compactifications: namely the 2-disk and the 3-ball. This can be extended to a considerably broader framework in the context of (Gromov) hyperbolic groups. I shall survey some of the developments in this broader context.

June 30, 2017: Николай Тюрин (ВШЭ)
"Многообразия модулей специальных бор - зоммерфельдовых лагранжевых циклов для алгебраических многообразий с обильными дивизорами"

Произвольное компактное односвязное алгебраическое многообразие $X$ с обильным расслоением $L \to X$ может (и обязано) быть рассмотрено, как симплектическое многообразие: выбор подходящей эрмитовой структуры на $L$ порождает соответствующую кэлерову форму на $X$, и все такие кэлеровы формы лежат в одном и том же классе $c_1(L)$. Выбором эрмитовой структуры одновременно каждое голоморфное сечение $\alpha \in H^0(X, L)$ порождает кэлеров потенциал $\psi_{\alpha} = - ln | \alpha |$. Для общего сечения такая функция морсовская вне дивизора нулей $D_{\alpha} \subset X$, и объединение конечных траекторий градиентного потока этой функции обладают замечательными изотропными свойствами. Оказывается, что именно такое объединение содержит специальные бор - зоммерфельдовы лагранжевы циклы, о которых рассказывалось в предыдущих моих докладах. Отсюда возможно сформулировать теорему существования многообразия модулей специальных бор - зоммерфельдовых лагранжевых циклов как отркытого алгебраического многообразия в случае $H_n(X \backslash D_{\alpha}, \mathbb{Z}) = \mathbb{Z}$ для общего сечения.

Jule 14, 2017: Миша Вербицкий (ВШЭ)
Пространство симплектических упаковок шарами.

Пусть M - симплектическое многообразие, а T -- пространство Тейхмюллера наборов симплектических шаров в M (то есть пространство наборов из n симплектически вложенных в M непересекающихся шаров с точностью до изотопии). Я докажу, что T -- гладкое многообразие размерности n, снабженное свободным действием полугруппы (\R^{>0})^n. Благодаря результатам Макдафф и Полтеровича, T можно вложить в пространство Тейхмюллера симплектических структур на раздутии M как замкнутое, гладкое подмногообразие. Многообразие Т хаусдорфово тогда и только тогда, когда для любого заданного набора шаров существует единственное (с точностью до изотопии) симплектическое вложение. Я расскажу, как вывести хаусдорфовость пространства шаров на гиперкэлеровом многообразии и торе из гипотезы Яу-Тиана-Дональдсона о существовании кэлеровых метрик постоянной конформной кривизны на стабильных кэлеровых многообразиях, и вкратце опишу современное состояние этой науки и ее методы. Все результаты получены совместно с Мишей Энтовым (Технион).

August 4, 2017: Sergey Galkin (HSE)
Fano threefolds, K3 surfaces, Mathieu group, and Brav-Dyckerhoff relative Calabi-Yau structures

I will argue that recent works of Brav-Dyckerhoff on relative CY structures (also Katzarkov-Pandit-Spaide and others on relative spherical functors) might help to bridge two so-far distant "moonshines":

1. correspondence between some subgroups of sporadic groups (M23, M24, Co_1) and symmetries of K3, that was observed by Nikulin-Mukai (1980s), Eguchi-Ooguri-Tachikawa (2010, in form of elliptic genus), and further works such as Gaberdiel-Hochenegger-Volpato

2. correspondence between conjugacy classes of same sporadic groups and G-Fano threefolds, that was observed by myself around 2009 in an attempt to generalize and refine Dolgachev-Golyshev's picture of mirror symmetry.

August 10 and 11, 2017: Dmitry Kaledin (Steklov Institute)
Brown representability for groupoids

This is a continuation and/or refinement of my June talk on Brown representability theorem. I will show how to prove a version of Brown representability with values in groupoids, and sketch some applications. Caution: this is heavily work in progress, use as is, no warranty, don't try this at home.

The talks are organized jointly with Colloquim of Laboratory of Mirror Symmetry.

August 18, 2017: Fedor Bogomolov (NYU and HSE)
$PGL(2)$-invariants of collections of torsion points of elliptic curves"

In this talk I will continue to discuss geometry of sets of images of torsion points of elliptic curves in $P^1$. I am going to develop some ideas which were mentioned in my previous talks on the subject. In particular I provide an argument proving the first conjecture described in previous talk for almost all $4$ tuples of the images of torsion points.

September 1, 2017: Andrey Soldatenkov (University of Bonn)
Kuga-Satake construction and its generalizations

Let H be a rational polarized weight 2 Hodge structure of K3 type, meaning that the (2,0)-component is one-dimensional. Classical Kuga-Satake construction attaches to it an abelian variety A an an embedding of H into the second cohomology of A, compatible with Hodge structures. I will talk about our recent work with N.Kurnosov and M.Verbitsky in which we consider the case where H is the second cohomology of a hyperkahler manifold X. We show that all cohomology of X can be embedded into the cohomology of the product of several copies of A. If time permits, I will talk about our joint work with S.Schreieder, where we consider the behaviour of Kuga-Satake abelian varieties under degeneration. It turns out that one can describe the limit mixed Hodge structure on the central fibre of degenerating family of Kuga-Satake varieties.

September 8, 2017: Александр Бейлинсон (Чикаго)
Высота мотивов (по работе К.Като).

Высота точки многообразия над числовым полем - классический инструмент диофантовой геометрии. Она играет основную роль в доказательствах различных свойств конечности (теорема Морделла-Вейля, теорема конечности Фальтингса об абелевых многообразий с заданным множеством точек плохой редукции). Недавно Като определил высоту произвольных мотивов и предложил ряд гипотез о ней; я расскажу об этой работе.

September 13, 2017 (Wednesday), 17:00, and
September 15, 2017: Евгений Македонский
Обобщенные модули Вейля - алгебра, геометрия и комбинаторика

Классические модули Вейля - это модули над алгебрами токов, являющиеся аналогами неприводимых модулей над простыми алгебрами Ли. Они нумеруются доминантными весами. Мы вводим обобщения этих модулей, занумерованные произвольными весами. Обобщенные модули Вейля оказываются удобными при изучении классических и их связи с многочленами Макдональда. В частности, с их помощью категорифицируется формула Орра-Шимозоно для многочленов Макдональда. Кроме того, они являются модулями глобальных сечений линейных расслоений на полубесконечных многообразиях Шуберта.

September 22, 2017, 17:00: Александр Кузнецов (МИРАН, ВШЭ)
Многообразия Гушеля-Мукаи и их производные категории

Многообразия Гушеля-Мукаи --- это трансверсальные пересечения конуса над грассманианом Gr(2,5) с квадрикой, соответственно их размерность ограничена сверху 6. Они обладают чрезвычайно интересной геометрией, особенно в размерности 4 (в этом случае они весьма похожи на четырехмные кубические гиперповерхности).

Я постараюсь рассказать про основные геометрические свойства многообразий Гушеля-Мукаи, связь с гиперкэлеровыми многообразиями, строение производных категорий и интересные вопросы, связанные с их бирациональной геометрией.

September 29, 2017, 17:00: Don Zagier (Bonn)
Poor man's adeles and multiple zeta values

The "poor man's adeles" of the title is the informal name of the ring $ \Prod_p\bigl(\Bbb Z/p\Bbb Z_p\bigr)/\Oplus_p\bigl(\Bbb Z/p\Bbb Z_p\bigr)$ whose elements are ``numbers" having a well-defined value modulo almost every prime number. It turns out that examples of elements of this ring show up in many places in mathematics. In the lecture I will describe several examples of this, most notably a finite-field version of the well-known multiple zeta values invented by Euler and much studied in recent years (this part is joint work with Masanobu Kaneko), but also examples coming from areas as different as quantum invariants of homology 3-spheres and transition matrices between different bases of the space of solutions of a linear differential equation with regular singularities.

(joint colloquium of Laboratory of Algebraic Geometry and Laboratory of Mirror Symmetry).

October 4, 2017 (Wednesday), 18:30: Jean-Louis Colliot-Thelene (CNRS, Universite Paris-Sud Paris-Saclay)
Disproving stable rationality

In the last four years, a series of papers by several authors has established that some very classical, rationally connected, complex varieties (cyclic covers of projective space with ramification locus of low degree, hypersurfaces of low degree, quadric bundles over rational varieties) are not stably birational to projective space. In the first part of the talk I shall give a general description of the method and of some of its variants, and I shall try to list the main results achieved. The second part of the talk will be devoted to a recent variant of the technique.

October 6, 2017, 17:00: Андрей Миронов (Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН)
Обыкновенные коммутирующие дифференциальные операторы с полиномиальными коэффициентами и автоморфизмы первой алгебры Вейля
(коллоквиум Лаборатории Алгебраической Геометрии и Лаборатории Зеркальной Симметрии)

В докладе будет рассказано об обыкновенных коммутирующих дифференциальных операторах, и в частности, о методе построения коммутативных подалгебр в первой алгебре Вейля. В докладе также будет обсуждаться задача об описании орбит действия автоморфизмов первой алгебры Вейля на множестве коммутирующих операторов с полиномиальными коэффициентами при фиксированной спектральной кривой. Доклад основан на совместной работе с А.Б.Жегловым.

October 6, 2017, 18:30: Александр Жеглов (МГУ)
Алгебро-геометрические спектральные данные для планарных систем Калоджеро-Мозера
Algebro-geometric spectral data for planar Calogero-Moser systems.
(коллоквиум Лаборатории Алгебраической Геометрии и Лаборатории Зеркальной Симметрии)

работе с Игорем Бурбаном) посвящен алгебраическому анализу рациональных систем Калоджеро-Мозера на плоскости. Этот класс квантовых интегрируемых систем известен как суперинтегрируемый. Это означает, что оператор Шредингера с соответствующим рациональным потенциалом включается в большое семейство попарно {\it коммутирующих дифференциальных операторов в частных производных}, так что пространство общих собственных функций одномерно в общей точке спектра.

С алгебро-геометрической точки зрения, всякая такая квантовая суперинтегрируемая система по существу определяется некоторыми алгебро-геометрическими данными: проективной спектральной поверхностью (определенной по алгебре планарных квази-инвариантов с естественной фильтрацией) и спектральным пучком (определенным некоторым модулем, про который известно, что он Коэно-Маколеев ранга один). Эти геометрические данные имеют очень специальные алгебро-геометрические свойства, наиболее важным из которых является сппециальная форма полинома Гильберта пучка. Спектральное многообразие оказывается рациональным, но очень особым (Коэно-Маколеевым, но не нормальным). Оказывается, что все Коэно-Маколеевы модули ранга один над алгеброй планарных квази-инвариантов могут быть явно описаны в терминах очень естественных модульных параметров, и это описание, в некотором смысле, очень похоже на описание обобщенного якобиана особой рациональной кривой. Спектральный модуль планарной системы Калождеро-Мозера при этом оказывается проективным.

В отличие от случая кривых, не каждый модуль Коэно-Маколея является спектральным модулем некоторой квантовой системы. Пространство модулей {\it спектральных} пучков устроено намного тоньше, тем не менее его структура указывает на существование интегрируемых {\it деформаций} систем Калоджеро-Мозера. В частности, я собираюсь рассказать как классификация модулей Коэно-Маколея вместе с алгебраическими методами обратной спектральной задачи позволяют выписать некоторые новые деформации систем Калоджеро-Мозера в алгебре дифференциально-разностных операторов.

My talk (based on a joint work with Igor Burban) is devoted to the algebraic analysis of planar rational Calogero-Moser systems. This class of quantum integrable systems is known to be superintegrable. This means that the underlying Schrodinger operator with Calogero-Moser potential can be included into a large family of pairwise commuting partial differential operators such that the space of joint power series eigenfunctions is generically one-dimensional.

More algebraically, any such system is essentially determined by a certain algebro-geometric datum: the projective spectral surface (defined by the algebra of planar quasi-invariants with natural filtration) and the spectral sheaf (defined by a module known to be Cohen-Macaulay of rank one). This geometric datum has very special algebro-geometric properties, the most important of which is a very special form of the Hilbert polynomial of the module (sheaf). Moreover, the spectral variety appears to be rational but very singular (only Cohen-Macaulay, even not normal). It turns out that all rank one Cohen-Macaulay modules over the algebra of planar quasi-invariants can be explicitly described in terms of very natural moduli parameters, and this description looks in some sence very similar to to the description of the generalised Jacobian for singular rational curves. The spectral module of a planar Calogero-Moser system is actually projective, and its underlying moduli parameters are explicitely determined.

Unlike the case of curves, not every Cohen-Macaulay module is spectral. The moduli space of spectral sheaves appears to be much more subtle, but its structure indicates the existence of integrable deformations of Calogero-Moser systems. I am going to explain how the classification of CM modules, combined with tools of the algebraic inverse scattering method, leads to certain new integrable deformations of Calogero-Moser systems in the algebra of differential-difference operators.

October 13, 2017, 17:00: Chris Brav (HSE)
Functions on moduli spaces from cyclic homology

We discuss the 'moduli of objects' M_D in a dg category D and construct a map from cyclic homology of D to functions on the moduli space M_D. When D is a smooth, oriented dg category ('Calabi-Yau'), the cyclic homology HC(D) is endowed with a shifted Lie bracket ('algebraic string bracket') and the functions on M_D are endowed with a shifted Poisson bracket. We show that the map from cyclic homology to functions entwines the brackets. Examples include the Goldmann bracket of free loops on a surface, the string bracket of Chas-Sullivan, and the Hitchen system for Higgs bundles. This is joint work very much in progress with Nick Rozenblyum.

October 20, 2017, 17:00: Sergey Arkhipov (Aarkhus)
Braid relations in the affine Hecke category and differential forms with logarithmic singularities.

We recall the even and odd algebro-geometric realizations of the affine Hecke category - one via equivariant coherent sheaves on the Steinberg variety and the other in terms of some equivariant DG-modules over the DG-algebra of differential forms on a reductive group G.

The latter one has a toy analog called the coherent Hecke category. It contains certain canonical objects satisfying braid relations via convolution. The proof uses simple facts from the geometry of Bott-Samelson varieties.

Our goal is to provide a similar proof of braid relations in the affine Hecke category. It turns out that canonical braid group generators are given by certain DG-modules of logarithmic differential forms and braid relations follow immediately from a general statement which seems to be new: direct image of the DG-module of logarithmic differential forms does not depend on a resolution of singularities.

The talk is organized jointly with the Mirror Symmetry lab

October 27, 2017, 17:00: Юрий Прохоров (МИРАН)
Вырождения поверхностей дель Пеццо в Q-горенштейновых семействах.

Я начну с того, что напомню основные факты о двумерных особенностях и их деформациях. Далее будет рассказано о классификации поверхностей дель Пеццо ранга 1 с логтерминальными Т-особенностями (совместная работа с П. Хаккингом). Я расскажу также о обобщениях этой классификации на случай более сложных особенностей и о приложениях к трехмерной бирациональной геометрии.

November 3, 2017, 15:30: John Alexander Cruz Morales (Universidad Nacional de Colombia)
On Stokes matrices for Frobenius manifolds

In this talk we will discuss how to compute the Stokes matrices for some semisimple Frobenius manifolds by using the so-called monodromy identity. In addition, we want to discuss the case when we get integral matrices and their relations with mirror symmetry. This is part of an ongoing project with Maxim Smirnov which extends previous work with Marius van der Put for the case of quantum cohomology of projective and weighted projective spaces to other Frobenius manifolds not necessarily of quantum cohomology type.

The talk is organized jointly with the Mirror Symmetry lab

November 3, 2017, 17:00: Grigory Mikhalkin (Geneva)
Примеры тропическо-лагранжевых соответствий

Согласно методологии "Эс-Игрек-Зет" (Штромингер-Яу-Заслов), тропические объекты могут быть воплощены в классическом мире двумя способами: как объекты в комплексной, и как объекты в симплектической геометриях. Каждое из таких воплощений должно быть математически описано своей теоремой соответствия.

В то время как тропически-комплексные соответствия изучались и изучаются достаточно интенсивно (в частности, для кривых, точек, и полных пересечений), тропически-симплектические соответствия относительно малоизучены. В докладе мы рассмотрим некоторые простейшие примеры таких соответствий. В качестве применения мы передокажем теорему Гивенталя (доказанную около 30 лет назад) о лагранжевых вложениях связных сумм бутылок Клейна в C^2.

The talk is organized jointly with the Mirror Symmetry lab

November 10, 2017, Sergey Gorchinskiy (MIRAN)
Categorical measures for varieties with finite group actions

The talk is based on a common work with D. Bergh, M. Larsen, and V. Lunts. Given a variety with a finite group action, we compare categorical measures of the corresponding quotient stack and the extended quotient. Under some conditions the measures are the same and there are examples showing that they might be non-equal in general. We will dicsuss related technique and auxiliary results including the Grothendieck group of Deligne-Mumford stacks.

The talk is organized jointly with the Mirror Symmetry lab

Wednesday, November 15, 2017, 17:00: Maxim Smirnov (MPIM Bonn)
On Lefschetz exceptional collections and quantum cohomology of Grassmannians.

Given a Lefschetz exceptional collection on a variety X one defines its residual subcategory as the orthogonal to the rectangular part of the collection. In this talk we will discuss some (partially) conjectural relations between the quantum cohomology of X and the structure of the residual subcategory in the case of ordinary and symplectic isotropic Grassmannians. The talk is based on joint works, some finished and some still in progress, with A. J. Cruz Morales, S. Galkin, A. Mellit, N.Perrin, and A. Kuznetsov.

The talk is organized jointly with the Mirror Symmetry lab

November 17, 2017: Artan Sheshmani (Harvard)
Nested Hilbert schemes, local Donaldson-Thomas theory, Vafa-Witten / Seiberg-Witten correspondence

We report on the recent rigorous and general construction of the deformation-obstruction theories and virtual fundamental classes of nested (flag) Hilbert scheme of one dimensional subschemes of a smooth projective algebraic surface. This construction will provide one with a general framework to compute a large class of already known invariants, such as Poincare invariants of Okonek et al, or the reduced local invariants of Kool and Thomas in the context of their local surface theory. We show how to compute the generating series of deformation invariants associated to the nested Hilbert schemes, and via exploiting the properties of vertex operators, prove that in some cases they are given by modular forms. We finally establish a connection between the Vafa-Witten invariants of local-surface threefolds (recently analyzed Tanaka and Thomas) and such nested Hilbert schemes. This construction (via applying Mochizuki's wall- crossing techniques) enables one to obtain a relations between the generating series of Seiberg-Witten invariants of the surface, the Vafa-Witten invariants and some modular forms. This is joint work with Amin Gholampour and Shing-Tung Yau following arXiv:1701.08902 and arXiv:1701.08899.

The talk is organized jointly with the Mirror Symmetry lab

Tuesday, November 21, 2017, 17:00, room 427: Seok-Jin Kang
Schur-Weyl duality via quiver Hecke algebras

Let $J$ be a set of pairs consisting of good $\uqpg$-modules and invertible elements in the base field $\mathbb C(q)$. The distribution of poles of normalized R-matrices yields Khovanov-Lauda-Rouquier algebras $R^J(\beta)$ for each $\beta \in \rootl^+$. We define a functor $\mathcal F_\beta$ from the category of graded $R^J(\beta)$-modules to the category of $\uqpg$-modules. The functor $\mathcal F= \bigoplus_{\beta \in \rootl^+} \mathcal F_\beta$ sends convolution products of finite-dimensional graded $R^J(\beta)$-modules to tensor products of finite-dimensional $\uqpg$-modules. It is exact if $R^J$ is of finite type $A,D,E$. If $V(\varpi_1)$ is the fundamental representation of $\UA$ of weight $\varpi_1$ and $J=\set{\bl V(\varpi_1), q^{2i} \br}{i \in \mathbb Z}$, then $R^J$ is the \KLR\ of type $A_{\infty}$. The corresponding functor $\F$ sends a finite-dimensional graded $R^J$-module to a module in $\mathcal C_J$, where $\mathcal C_J$ is the category of finite-dimensional integrable $\UA$-modules $M$ such that every composition factor of $M$ appears as a composition factor of a tensor product of modules of the form $V(\varpi_1)_{q^{2s}}$ $(s \in \Z)$. Focusing on this case, we obtain an abelian rigid graded tensor category $\T_J$ by localizing the category of finite-dimensional graded $R^J$-modules. The functor $\mathcal F$ factors through $\T_J$. Moreover, the Grothendieck ring of the category $\mathcal C_J$ is isomorphic to the Grothendieck ring of $\T_J$ at $q=1$.

November 24, 2017, 17:00: Miles Reid (Warwick)
The Tate-Oort group scheme of order p and 5-torsion Godeaux surfaces

Over an algebraically closed field of characteristic p, there are three group schemes of order p, namely FF_p^+ = ZZ/p, the multiplicative subgroupscheme mu_p in GG_m and the additive subgroupscheme alpha_p in GG_a. The Tate--Ort group scheme is a construction in mixed characteristic that puts these three into one happy family, together with the ordinary cyclic group ZZ/p in characteristic zero. The applications of this construction to moduli theory include the Eichler-Shimura description of the moduli spaces Ga_0(p) and Ga_1(p) of elliptic curves plus an order p subgroup near the prime p. Godeaux surfaces or Godeaux CY 3-folds with 5-torsion are quotients of quintics in PP^3 or PP^4 by a group scheme of order 5. We use the Tate-Oort group C_5 to construct an irreducible family of Godeaux surfaces that includes the usual characteristic zero surfaces together with the surfaces with Pic^tau of order 5 in characteristic 5 due to Lang, Miranda amd Liedtke. The main computational difficulty involves understanding the representation theory of C_p. This is joint work with KIM Soonyoung.

November 24, 2017, 18:30: Jaroslaw Wisniewski (Warsaw)
Combinatorics of torus action and low dimensional contact manifolds

I will report on the ongoing project whose task is to use combinatorics arising from algebraic torus action to understand complex contact manifolds which arise in the context of LeBrun-Salamon conjecture about quaternionic-Kaehler manifods. The project is developed in collaboration with Jaroslaw Buczynski and Andrzej Weber.

(seminar organized jointly with Laboratory of Mirror Symmetry)

December 1, 2017: Валерий Гриценко (НИУ ВШЭ/Университет Лилля/УИФ, Париж)
Какие аффинные алгебры Ли задают гиперболические алгебры Каца-Муди?

В докладе мы обсудим арифметические и геометрические аспекты следующего автоморфного эффекта. Имеются несколько аффинных алгебр, производящая функция которых порождает некоторую алгебру Каца-Муди и в аддитивном, и в мультипликативном смыслах, а также задают автоморфный дискриминант некоторого пространства модулей.

Арифметическое приложение этого факта - доказательство гипотезы о тета-блоках порядка один из теории тета-блоков Gritsenko-Skoruppa-Zagir'a.

(Отметим, что тета-блоки позволяют построить первую новую парамодулярную форму Зигеля, L-функция которой имеет тип Калаби-Яу.)

Второе приложение - математическое объяснение геометрических формул, полученных в работах M. Cheng, Sh. Kachru и других физиков, связанных с "q-расширением" многочлена Ходжа K3 поверхностей в теории струн.

В докладе будет предложены несколько задач для дипломных работ и тем для возможной совместной научной работы.

December 8, 2017: Аскольд Хованский (Торонто)
Кольцо условий комплексного тора

Де Кончини и Прочези в 1980-х годах определили кольцо условий для широкого класса однородных пространств. Кольцо условий - это своеобразная версия теории пересечений для алгебраических подмногообразий в однородном пространстве. Недавно появилось два наглядных геометрических описания кольца условий комплексного тора (C^*)^n (рассматриваемого как однородное пространство относительно естественного действия тора на себе). Одно из них проводится в рамках тропической геометрии. Другое дается в терминах функции, сопоставляющей каждому выпуклому многограннику в R^n его объем. Теория торических многообразий унифицирует эти описания. Я приведу также новое элементарное доказательство теоремы о хорошей компактификации, на которой основана конструкция кольца условий. Все доказательства этой теоремы, которые я встречал в литературе, достаточно громоздки. Если позволит время, расскажу о (еще не вполне продуманных) мультипликативной версии теории и о ее связи с теорией гомологий Горески-Макферсона.

December 22, 2017, 18:00: Fedor Bogomolov
Unsolved questions in geometry.

I will present a list of problems - questions which I think are interesting (and important in my opinion) They are related to different areas of geometry, algebra and number theory. The only common feature is that I formulated them and tried to solve at different points of my mathemtical career but have not be able to do it.

December 29, 2017: Valentin Ovsienko (Reims)
Разбиения единицы в SL(2,Z), цепные дроби и разрезания n-угольников.

Как описать все n-ки положительных целых чисел (a_1,...,a_n) для которых произведение 2x2-матриц специального вида
a_i  -1
1     0
равно единичной матрице (или -1, или квадратному корню из -1)? Оказывается, что ответ связан с классической комбинаторикой: триангуляциями (и более общими разбиениями) n-угольников. Я расскажу про три области в которых возникают такие произведения матриц и связь между ними.

January 12 and 19, 2018, 17:00: Vadim Vologodsky
Топологические гомологии Хохшильда ДГ алгебр над конечным полем

Топологические гомологии Хохшильда сопоставляют кольцевому спектру А спектр ТНН(А) с циклотомической структурой. В случае, если кольцевой спектр А является ДГ алгеброй над конечным полем, ТНН(А) вместе с циклотомической структурой является HZ_p-модулем, то есть комплексом Z_p-модулей с некоторой дополнительной структурой. Я объясню простую алгебраическую конструкцию ТНН(А) (вместе со всеми дополнительными структурами) в этом случае. Ключевой ингредиент - открытая Калединым сопряженная фильтрация на периодических циклических гомологиях. Это совместная работа с Сашей Петровым.

January 26, 2018, Boris Shoikhet (Antwerpen)
Higher structures on the operadic deformation complexes of a map of the n-algebras operad to another operad.

It was proven by D.Tamarkin that the shifted deformation complex of an n-algebra X in complexes of vector spaces over a field of characteristic 0, Def(X)[-n], is a homotopy (n+1)-algebra for n>1. The latter deformation complex for n=1 is the Hochschild complex of an associative algebra X, it is a homotopy 2-algebra by so-called Deligne conjecture. This statement admits several proofs, but all of them use transcendental methods.

Tamarkin's observation was that for n>=2, the statement can be proven algebraically, without any transcendental methods.

We consider more general deformation complexes Def(e_n-->O)[-n] where O is another operad, and we deform a map f: e_n-->O. (This complex becomes Def(X)[-n] for O=End(X), the End-operad).

We prove that the latter more general complex is also a homotopy (n+1)-algebra, for any O and f, in a canonical way.

Высшие структуры на деформационных комплексах отображения операды n-алгебр в другую операду.

Д.Тамаркин доказал что сдвинутый деформационный комплекс n-алгебры X в комплексах векторных пространств над полем характеристики 0, Def(X)[-n], является гомотопической (n+1)-алгеброй для n>1. При n=1 это когомологический комплекс Хохшильда ассоциативной алгебры X, он является гомотопической 2-алгеброй по "гипотезе Делиня".

Гипотеза Делиня имеет сейчас несколько разных доказательств, но все они используют трансцендентные методы. Наблюдение Тамаркина было что при n>=2 утверждение можно доказать чисто алгебраически, без трансцентдентных методов.

Я рассматриваю более общие деформационные комплексы Def(e_n-->O)[-n] где O другая операда, а деформируется отображение операд f: e_n-->O. (Этот комплекс совпадает с Def(X)[-n] при O=End(X), где End это операда эндоморфизмов).

Этот комплекс тоже оказывается гомотопической (n+1)-алгеброй, при любых O и f, каноническим образом. Я расскажу о доказательстве этого утверждения.

February 2, 2018, Misha Verbitsky (IMPA and HSE)
Кратность билипшицевых особенностей

Зариски предположил, что гомеоморфные особенности комплексных подмногообразий в P^n имеют одинаковую кратность. Впоследствии эту гипотезу (неверную) ослабили, предположив, что билипшицево эквивалентные особенности комплексных подмногообразий в P^n имеют одинаковую кратность. Эта гипотеза верна в размерности 1 и 2 и коразмерности 1 и 2, но в другой размерности она оставалась до недавнего времени открытой. Я расскажу, как построить контрпример к этой гипотезе в размерности 3, используя классификацию Бардена-Смэйла 5-мерных многообразий, и поведаю детали этой классификации. Рассказ будет элементарный, ничего, кроме знания основ топологии, не потребуется. Результаты получены в соавторстве с Lev Birbrair, Alexandre Fernandes, J. Edson Sampaio, arXiv:1801.06849

February 13 (Tuesday), 2018, 18:30, room 306, Keisuke ARAI (Tokyo Denki University):
Rational points on Shimura curves

A modular curve classifies elliptic curves with additional structures. As an analogue, a Shimura curve classifies two-dimensional abelian varieties with additional structures. In this talk, we discuss rational points on Shimura curves, and give several results on non-existence of rational points over number fields. We also give counterexamples to the Hasse principle for Shimura curves.

February 16 (Friday), 2018, 17:00, room 306, Alexey Glutsyuk (CNRS, ENS de Lyon and HSE):
On polynomially integrable billiards on surfaces of constant curvature

The famous Birkhoff Conjecture deals with convex bounded planar billiards with smooth boundary. Recall that a caustic of a planar billiard is a curve C such that each tangent line to C reflects from the boundary of the billiard to a line tangent to C. A billiard is Birkhoff caustic integrable, if an interior neighborhood of its boundary admits a foliation by closed caustics. The Birkhoff Conjecture states that every Birkhoff caustic integrable planar billiard is an ellipse. A very strong recent joint result of Vadim Kaloshin with Alphonso Sorrentino implies that every integrable perturbation of an ellipse is an ellipse. Birkhoff integrability is equivalent to the Liouville integrability of the billiard flow: existence of a first integral independent with the module of the speed. The algebraic version of the Birkhoff Conjecture, which was first studied by Sergey Bolotin at the beginning of 1990-ths, concerns polynomially integrable billiards, where the billiard flow admits a first integral polynomial in the speed that is non-constant on the unit level hypersurface of the module of the speed. In this talk we present a survey of the Birkhoff Conjecture and a complete solution of its algebraic version. Namely, we show that every polynomially integrable real bounded planar convex billiard with smooth boundary is an ellipse. We present a complete classification of piecewise-smooth and not necessarily convex polynomially integrable billiards on arbitrary two-dimensional surface of constant curvature: plane, sphere, hyperbolic plane. This is a joint result with Mikhail Bialy and Andrey Mironov. Its proof consists of two parts: - two joint papers of Bialy and Mironov, where everything is reduced to a purely algebro-geometric problem that was partially studied by themselves; - the preprint of the speaker, where the algebro-geometric problem is solved. References: [1] Bialy, M., Mironov, A. Adv. in Math. 313 (2017), 102╜126. [2] Bialy, M., Mironov, A. J. Geom. Phys. 115 (2017), 150╜156. [3] Glutsyuk, A. Preprint https://arxiv.org/abs/1706.04030

March 2, 2018: А.Пенской (МГУ, НИУ ВШЭ, НМУ, ISCP)
Изопериметрическое неравенство для собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами на сфере (по совместной работе с Карпухиным, Надирашвили и И.Полтеровичем)

Доклад посвящен доказательству изопериметрического неравенства для всех собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами на двумерной сфере: для любого натурального k собственное число \lambda_k оператора Лапласа-Бельтрами на двумерной сфере с римановой метрикой площади 1 максимизируется в пределе последовательности метрик, сходящейся к особой метрике на объединении k идентичных касающихся сфер со стандартной метрикой.

Это доказывает гипотезу, высказанную Надирашвили в 2002 году, и дает строгое изопериметрическое неравенство для всех ненулевых собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами на сфере. Ранее этот результат был известен только для k=1 (Hersch , 1970), k=2 (Nadirashvili, 2002; Petrides, 2014) и k=3 (Nadirashvili и Sire, 2017). В частности, это значит, что для k>=2 супремум k-го собственного числа на сфере единичного объема не можем быть достигнут на римановой метрике, гладкой за исключением конечного числа конических особенностей. Доказательство использует свойства гармонических отображений между сферами.

Отметим, что впервые задача геометрической оптимизации собственных чисел на поверхности была решена для всех собственных чисел: до этого эта задача решалась лишь для некоторых собственных чисел.

March 9, 2018: Никита Калинин (НИУ ВШЭ в Санкт-Петербурге)
Тропический предел дифференциальных форм на римановых поверхностях

Рассмотрим семейство комплексных кривых рода g. Из них можно выбрать сходящуюся последовательность в пространстве Делиня-Мамфорда. Пределу отвечает двойственный граф. При наличии масштабирующего параметра можно присвоить длины рёбрам этого графа, получается так называемая тропическая кривая. Можно проследить и за пределами мероморфных функций: получается кусочно-линейные функции. Я расскажу о пределах дифференциальных форм, и зачем они нужны. Совместная работа с Г. Михалкиным.

Tropical limit of differential forms on Riemann surfaces.

For a given sequence of complex curves of genus g there exists a subsequence with a limit in the Deligne-Mumford space. A dual graph is associated to the limiting curve, and this graph is provided with a metric on edges if we are given with a scaling parameter. The dual graph with such a metric is a tropical limit of the sequence of curves. Tropical limit of meromorphic functions are piece-wise linear functions. I will explain how to define the tropical limit of meromorphic differentials and how to use them. This is a joint work with G.Mikhalkin.

March 13, 2018 (Tuesday), room 306, 18:30: Geo Grantcharov (Florida International)
On some examples of solutions of Hull-Strominger system

We adapt the Fu-Yau construction of solutions to the Hull-Strominger system on elliptic fibrations over K3 surfaces to K3 orbifolds. In the talk I'll present the original construction and how it could be extended to the singular base. This is joint project with A. Fino and L. Vezzoni.

March 16, 2018: Stefan Nemirovski (Steklov Institute)
Лагранжевы поверхности с особенностями

В 1986 году Гивенталь поставил вопрос о существовании особых лагранжевых вложений поверхностей с заданным количеством простейших изолированных особенностей - так называемых раскрытых зонтиков Уитни. В докладе будет рассказано об ответе на этот вопрос и о его связи с теорией приближений.

Мarch 21, 2018 (Wednesday), room 110, 17:30, Alexander Polishchuk (Oregon):
Ассоциативное уравнение Янга-Бакстера и 1-CY категории

Доклад основан на совместной работе с Янки Лекили. Ассоциативное уравнение Янга-Бакстера это квадратичное уравнение, связанное как с классическим, так и с квантовым уравнениями Янга-Бакстера. Оно естественно возникает в связи с тройными произведениями Масси в производной категории когерентных пучков на эллиптической кривой и ее вырождениях. Оказывается, все его невырожденные тригонометрические решения получаются из категорий Фукаи некоторых некомпактных поверхностей. Используя это, мы доказываем, что любые два простых расслоения на цикле проективных прямых связаны цепочкой сферических отражений.

Совместное занятие с семинаром по математической физике НИУ ВШЭ и Центра перспективных исследований Сколтеха (среда, в 17.30 в аудитории 110).

March 23, 2018: Валерий Лунц (Блумингтон, Индиана)
О трёх понятиях размерности для триангулированных категорий.

Я постараюсь рассказать о нашем текущем проекте с Лёшей Елагиным. Мы изучаем различные понятия размерности для триангулированных категорий. А именно, мы рассматриваем размерность Рукье rdim, размерность Серра sdim, и диагональную размерность ddim. Уже понятно, что все эти величины, вообще говоря, имеют разные значения. Мы пока считаем примеры и изучаем "простейшие" свойства этих размерностей и находимся только в начале пути. Тем не менее, кое-что уже понятно или можно предсказать.

Семинар организован совместно с коллоквиумом Лаборатории Зеркальной Симметрии.

April 6, 2018: Semyon Alesker (Tel Aviv),
Некоторые гипотезы про поперечные меры (intrinsic volumes) на Римановых многообразиях и Александровских пространствах.

Классическая теорема Хадвигера из выпуклой геометрии утверждает, что линейные комбинации поперечных мер являются единственными примерами непрерывных в метрике Хаусдорфа инвариантных относительно изометрий конечно аддитивых мер (валюаций) на выпуклых компатных подмножествах евклидова пространства. С другой строны, Г. Вейль и др. обобщили понятие поперечной меры за рамки выпуклой геометрии, а именно, на гладкие Римановы многообразия (возможно, с границей и углами).

Мы пытаемся понять свойства непрерывности этого обобщения в метрике Громова-Хаусдорфа. В общем случае такая непрерывность не имеет места, но мы опишем несколько гипотетических компактификаций множества классов изометрий компактных римановых многообразий с данными верхними оценками на размерность и диаметр, и нижней оценкой на секционную кривизну. Точки этой компацификации - это пары: Александровское пространство и конструктивная функция на нем в смысле Перельмана-Петрунина.Гипотетически, все поперечные меры продолжаются по непрерывности на эту компактификацию.

Предварительное знакомство с александровскими пространствами не предполагается, но было бы полезно.

April 12 2018: (Thursday), room 305, 17:00, Alexander Polishchuk (Oregon):
Обобщения нормальной формы Вейерштрасса на кривые рода >1 и А-бесконечность алгебры

В первой части доклада мы обсудим нормальные формы эллиптических кривых и их обобщения на алгебраические кривые высших родов. Во второй части мы рассмотрим А-бесконечность алгебры, связанные с кривыми, и сопоставим их с нормальными формами из первой части.

Доклад совместный с НИС "Разнообразие многообразий"

April 13, 2018: Ignasi Mundet i Riera (Barcelona)
Finite subgroups of Ham and Symp

Let X be a compact symplectic manifold and let Symp(X) (resp. Ham(X)) denote the group of symplectomorphisms (resp. hamiltonian diffeomorphisms) of X. I will talk about the following results:

Theorem 1: Ham (X) is Jordan. More precisely, there exists a constant C (depending only on the topology of X) such that any finite subgroup G of Ham(X) has an abelian subgroup whose index in G is at most C.

Theorem 2: if b_1(X)=0 then Theorem 1 holds true replacing Ham(X) by Symp(X).

Theorem 3: for general X, Theorem 1 holds true replacing Ham(X) by Symp(X) and "abelian" by "abelian or 2-step nilpotent".

In the first part of the seminar I will explain the context of these results. In particular, I will talk on the Jordan property for diffeomorphism groups, putting emphasis on situations where these theorems imply that the finite transformation groups in the symplectic category are much more restricted than in the smooth category. In the second part of the seminar I will explain the main ideas in the proofs of the theorems.

April 20, 2018: Alice Garbagnati (Università Statale di Milano)
(Double) Covers of K3 surfaces

In the past, the problem to determine finite automorphisms on a K3 surface and their quotients was intensively studied.

If one considers symplectic automorphisms, the quotient admits a desingularization which is still a K3 surface. The main results in this context relate the presence of an automorphism group to certain properties of the Neron-Severi group of the surface, so that one describes the family of K3 surfaces with certain automorphisms as L-polarized families, for certain lattice L.

The converse problem was, quite surprising, less studied: is it possible to describe K3 surfaces which admit certain covers by means of properties of their Neron-Severi groups? In the talk I will report some positive answers to this question, both in the cases where the covering surface is another K3 surface, and in some cases where the cover has order 2 and the covering surface is of general type. In the last part of the talk I restrict attention to double covers which are certain smooth surfaces of general type. The Hodge structure on the second cohomology group of these surfaces naturally contains two different sub-Hodge structures of K3 type. We discuss both of them proving that in certain cases each of them is related to a K3 surface by a geometric constructuion.

April 27, 2018:
Erwan Lanneau (Grenoble)
The minimum dilatation of pseudo-Anosov homeomorphisms on hyperelliptic components

In this talk I will explain the link between pseudo-Anosov homeomorphisms and Rauzy-Veech induction. We will see how to derive properties on the dilatations of these homeomorphisms (I will recall the definitions) and as an application, we will give the minimum dilatation of pseudo-Anosov homeromorphisms for any hyperelliptic component.

May 4, 2018: Екатерина Америк, (ВШЭ и University of Paris-Sud Orsay)
Построение автоморфизмов гиперкэлеровых многообразий с помощью вложений решеток (часть 1 и 2).

Из теоремы Торелли легко следует, что для построения поверхности типа К3 с бесконечной группой автоморфизмов достаточно примитивно вложить в решетку КЗ решетку сигнатуры (1,k), k > 1, не представляющую -2. Существование такого вложения для любого k < 10 (и любой решетки сигнатуры (1,k)) гарантируется теоремой Никулина. Я расскажу, как все это обобщается на случай произвольных гиперкэлеровых многообразий. По совместной работе с Мишей Вербицким.

May 11, 2018, Дмитрий Каледин (МИРАН, ВШЭ)
Теоремы представимости в топологии и оснащения для категорий.

Примерно год назад я рассказывал на семинаре о своей деятельности по топологической теореме представимости Брауна, и о том, как с ее помощью построить удобный и инвариантный формализм оснащений для разного рода категорий, получаемых локализацией (например, производных категорий). Деятельность эта все еще в процессе, но в чем состоит точное утверждение, уже понятно, да и доказательство по большей части записано. Поэтому наверно имеет смысл про это вновь рассказать.

May 18, 2018, Владимир Барановский (UC Irvine)
Квантование векторных расслоений на коизтропных многообразиях

Пусть X алгебраическое многообразие с алебраической симплектической формой. Предположим, что существует и зафиксировано деформационное квантование функций на X, и мы хотим продеформировать пучок сечений расслоения E на гладком подмногообразии Y до пучка модулей над квантованными функциями. Планируется объяснить, как методы формальной геометрии, использованные ранее в близкой ситуации Безрукавниковым и Калединым, приводят к условиям на пару (Y, E), которые необходимы и достаточны для существования квантованного пучка модулей.

15:30, Monday, May 21, 2018, room 212
Andrzej Zuk (Universite Paris 7): "PDEs, automata and groups"

We present a construction which associates to the KdV equation the lamplighter group. It uses the L2 Betti numbers introduced by Atiyah which are homotopy invariants of closed manifolds.

June 1, 2018, Егор Ясинский (ВШЭ),
Группы бирациональных автоморфизмов над полями вещественных и комплексных чисел

Группа бирациональных автоморфизмов проективного пространства устроена очень сложно уже в размерности 2. Более того, свойства этой группы существенно зависят от базисного поля. Так, например, группа бирациональных автоморфизмов вещественной проективной плоскости имеет нетривиальную абелианизацию и является нетривиальной амальгамой, в то время как над полем комплексных чисел абелианизация тривиальна, а нетривиальной структуры амальгамы нет (как обычно, тут возникает теория Басса-Серра). Специфика базисного поля сказывается также и при работе с конечными группами бирациональных автоморфизмов. В своем докладе я планирую рассказать о подобных эффектах, то есть обсудить те свойства групп бирациональных автоморфизмов, что зависят от базисного поля.

June 15, 2018: Alexander Duncan (University of South Carolina)
Exceptional collections on arithmetic toric varieties

An "arithmetic toric variety" is a normal variety with a faithful action of an algebraic torus having a dense open orbit. When the base field is algebraically closed, there is only one torus in every dimension and one can identify the torus with its orbit. Over a general field, there may be many non-isomorphic tori of the same dimension. Moreover, it is no longer possible to identify the torus with its orbit since there may not exist any rational points.

Exceptional collections are one way of describing the bounded derived categories of coherent sheaves on a variety. The existence of exceptional collection is a very strong condition but, nevertheless, Kawamata showed that all smooth projective toric varieties possess exceptional collections when the ground field is algebraically closed. For a general field, this immediately fails even in dimension 1. However, if one allows an arithmetic generalization of the "usual" notion of exceptional object, then the theory is again interesting.

I will given an overview of arithmetic toric varieties emphasizing their differences with the algebraically closed case. Then I will discuss exceptional collections over general fields. I will point out the difficulties with generalizing Kawamata's proof as well as some positive results for arithmetic toric varieties.

August 3, 2018: Jenia Tevelev (Amherst)
Birational geometry of the moduli space of stable rational curves

Despite being a rational variety, the Grothendieck-Knutsen's moduli space of stable rational curves with marked points exhibits devilishly complex geometric behavior. It was demonstrated recently that various standard conjectures about its birational geometry are in fact wrong. I will give a survey of what's known (as well as known unknowns) about its cones of effective divisors and curves, birational contractions, total coordinate ring, structure of derived category, etc.

Доклад: Бирациональная геометрия пространства модулей стабильных рациональных кривых
Докладчик: Женя Тевелев (ЮМасс Амхерст)

Пространство модулей стабильных рациональных кривых с отмеченными точками обладает весьма сложной геометрией для рационального многообразия. Сравнительно недавно стало ясно, что большинство стандартных гипотез о его бирацинальной геометрии не верны. Я расскажу что известно (а также что пока неизвестно) о его конусах эффективных дивизоров и кривых, бирациональных стягиваниях, кольце Кокса, структуре производний категории, и т.п.

Laboratory of Algebraic Geometry and its Applications