Laboratory of algebraic geometry:
weekly seminar
Archive
January 18, 2013:
Роман Безрукавников (MIT)
"Характер пучки на группах петель".
Группа Шевалле это группа точек редуктивной алгебраической группы над конечным полем,
например, группа обратимых матриц над F_q. Тем самым это конечная группа алгебро-геометрического
происхождения. Теория характер пучков Люстига показывает, что характеры такой группы тоже имеют
алгебро-геометрическое происхождение. Я расскажу про совместный проект с Д. Кажданом и Я. Варшавским,
целью которого является обобщение этой теории на группы петель, дающее алгебро-геометрическую
конструкцию функций, возникающих в гармоническом анализе на р-адических группах. Он опирается
на подход к характер пучкам Люстига из совместной работы с В. Остриком и М. Финкельбергом.
January 25, 2013:
Екатерина Америк (матфак ВШЭ)
O лагранжевых расслоениях на голоморфных симплектических многообразиях
Пусть A -- лагранжев комплексный тор на неприводимом голоморфном
симплектическом многообразии X размерности 2n. Известно, что A варьируется
в n-мерном семействе, причем гладкие деформации A сами являются
лагранжевыми торами; другими словами, окрестность A в X имеет
структуру лагранжева расслоения.
Бовилль спросил, верно ли, что и само X расслаивается на лагранжевы торы.
Утвердительный ответ на этот вопрос был получен Гребом, Леном и Ролленске
в непроективном случае и Ваном (J.-M. Hwang) и Вайссом в проективном.
Доказательство Вана и Вайсса довольно сложное и использует, среди
всего прочего, нетривиальные результаты из теории групп. Я расскажу о двух
замечаниях, сделанных вместе с Ф. Кампана: первое из них - это очень
короткое доказательство для непроективного случая, а второе - возможный
алгебро-геометрический подход к проективному.
February 1, 2013:
Misha Verbitsky (HSE)
Эргодические комплексные структуры в пространстве Тейхмюллера
Пространство Тейхмюллера комплексного
многообразия M можно определить как фактор
(бесконечномерного) пространства всех комплексных
структур на M по связной компонене группы диффеоморфизмов.
Обыкновенное пространство модулей получается
из пространства Тейхмюллера как фактор по "группе
Тейхмюллера", то есть группе компонент связности
группы диффеоморфизмов.
Пространство модулей для кривых и для многообразий
общего типа хаусдорфово, и даже квазипроективно, как доказал
Э. Фивег. Для многообразий с нулевым каноническим расслоением
(тор, К3 и другие гиперкэлеровы многообразия) это
не так: действие группы Тейхмюллера на пространстве
Тейхмюллера эргодично, в частности, имеет много плотных
орбит. Такие комплексные структуры называются
эргодическими. Я расскажу, каким образом это получается,
и как строить эргодические комплексные структуры.
Михаил Бондарко
(СпБГУ):
"Весовые структуры и мотивы
Воеводского"
Доклад посвящен основам (недавно
разработанной) теории весовых структур
для триангулированных категорий.
Весовые структуры отчасти родственны
т-структурам, и не менее важны. Они
аксиоматизируют глупую фильтрацию
комплексов (тогда как т-структуры
аксиоматизируют каноническую
фильтрацию); есть много
"топологических" и мотивных примеров
весовых структур. Они дают весовые
комплексы, фильтрации и спектральные
последовательности. Последние
обобщают спектральные
последовательности Атьи-Хирцебруха,
Делиня, и коразмерности носителя; новый
подход сильно облегчает исследование
их функториальности. Кроме того,
доказано, что из "стандартных" мотивных
гипотез следует существование
(смешанных) мотивных пучков, весов и
Теоремы Разложения для них.
February 15, 2013:
Victor Batyrev
Mavlyutov's mirror construction and string
polytopes of homogeneous spaces.
Brion and Alexeev have found
an example of a homogeneous space of type E
such that the string polytope corresponding
to the representation in the space of global sections
of the anticanonical bundle is not reflexive, but
a rational polytope. Recently Mavlyutov has discovered a new
combinatorial duality for rational polytopes which
generalizes the polar duality for reflexive polytopes.
He has introduced the notion of Q-reflexive polytopes
and shown that this notion coincides with the notion of
usual refelexive polytopes if the dimension is less or
equal to 4. Our aim is to explain the Mavlyutov's mirror
construction and its relation to toric degenerations of
homogeneous spaces via string polytopes. This is a joint
work with Makoto Miura.
February 22, 2013:
Андрей Лосев (HSE)
Топологические струны, ходжевы и не очень,
на примере теории Саито для особенностей.
Будет дано определение топологических струн
и уравнений ВДВВ (обычных и ориентированных),
которым удовлетворяют амплитуды.
Затем будет предъявлена конструкция собственно
Ходжевых струн, основанная на алгебре
Баталина-Вилковысского (суперкоммутативная алгебра с
двумя суперкоммутирующими дифференциалами - первого
порядка $d$ и второго - $\Delta$), в которой
пространство полей удовлетворяет сильному условию Ходжа,
то есть равно сумме когомологий и квадруплетов.
Далее мы покажем, что решения ВДВВ, построенные
по теории Саито в теории особенностей, не являются
буквальной реализацией этой конструкции.
Однако они могут быть связаны с сильно
ходжевой теорией обобщенных гармонических форм
(вакуумов теории Ландау-Гинзбурга).
Альтернативный подход основан на конструкции
слабо-ходжевых струн, в которой $d+z\Delta$ сопряжен оператору $d$
(см. недавнюю работу Маркаряна, Хорошкина и Шадрина).
Мы покажем, что он приводит к тем же результатам.
March 1, 2013, 15:30:
Виктор Герасимов
(U. Fed. de Minas Gerais, Brazil )
Динамические методы в геометрической теории групп
Алгебраические и геометрические свойства групп проявляются
в асимптотическом поведении при их действии
гомеоморфизмами компактов. Рассмотрение
``динамически простейших'' действий групп (как дискретных, так и более общих
локальнокомпактных) даёт новых взгляд на эти
группы. Иногда динамические методы оказываются эффективнее
геометрических.
Большинство приложений нашей теории относится к
относительно гиперболическим группам, но мы надеемся
распространить динамические методы на другие, близкие
классы групп.
March 1, 2013, 17:00:
Jorge Pereira (IMPA)
Deformations of free morphisms along foliations
A foliation F on a projective manifold X induces
natural foliations on the space of morphisms of any
given projective manifold Y to X. In general this is
rather dull, as the induced foliation is nothing but
the foliation by points. When this foliation is
non-trivial one expects that it must reflect
properties of the original foliation F and should be
an useful tool to unravel its geometry.
I plan to discuss the particular case
of space of free morphisms from P^1
to X. The focus will be on codimension one foliations,
and I will show how to apply these ideas to describe
the structure of codimension one foliations with
trivial canonical bundle on rationally connected
manifolds.
March 5, 2013, 15:30, room 317:
Ruxandra Moraru (Waterloo)
The geometry of essentially saturated spaces.
A compact complex space $X$ is called {\em essentially saturated}
if and only if the components of the Douady space of each Cartesian power
$X^n$ are compact; these spaces are of special interest in geometric model
theory because they are universal domains for their first-order
theories. Examples of essentially saturated spaces are given by spaces of
Fujiki class $\mathcal{C}$ since the components of the Douady space of such
spaces are always compact and the Cartesian product of two spaces of class
$\mathcal{C}$ is again of class $\mathcal{C}$. The class $\mathcal{S}$ of
essentially saturated spaces is thus a natural extension of the Fujiki
class $\mathcal{C}$, and an interesting problem is to understand how these
two classes differ. It is important to point out that not all compact
complex spaces are essentially saturated; for example Hopf surfaces are
not. Furthermore, one can show that there exist spaces of class
$\mathcal{S}$ that are not of class $\mathcal{C}$. In this talk, I will
give examples of essentially saturated spaces that are not of Fujiki class
$\mathcal{C}$ and discuss some open questions.
This is joint work with Rahim Moosa and Matei Toma.
March 6, 2013, 17:00, room 1001:
Daisuke Matsushita (Hokkaido University)
A base space of Lagrangian fibrations of symplectic varieties
I will talk about a base space of Lagrangian fibrations of
symplectic varieties. Hwang proved that the base space of
a Lagrangian fibration of an irreducible symplectic
manifold is the projective space if the base space is
smooth. I will give an alternative proof of this result
which can be applied a Lagrangian fibration which defined
on singular symplectic variety.
March 15, 2013:
Ruxandra Moraru (Waterloo)
Generalized holomorphic vector bundles
Generalized complex geometry is a hybrid of complex and
symplectic geometry, introduced by Hitchin in 2002, which provides the
proper framework for many questions arising in complex/Poisson geometry and
in physics. Generalized holomorphic bundles are the analogues of
holomorphic vector bundles in the generalized geometry setting. For some
generalized complex structures, these bundles correspond to co-Higgs
bundles, flat bundles or Poisson modules. In this talk, I will recall the
notion of generalized complex structure and give an overview of what is
known about generalized holomorphic bundles. I will also describe their
moduli spaces in some specific examples.
March 22, 2013:
Алексей Глуцюк
(École normale supérieure de Lyon)
О продолжимости голономии одномерных
голоморфных слоений на
комплексной проективной плоскости
(по работе Б.Деруана, А.Гийо,
Г.Кальсамильи, С.Френкеля)
О продолжимости голономии одномерных
голоморфных слоений на
комплексной проективной плоскости
(по работе Б.Деруана, А.Гийо,
Г.Кальсамильи, С.Френкеля).
Известно, что широкий класс
аналитических функций одного
комплексного переменного,
включающий
алгебраические функции, продолжаются
аналитически вдоль любого пути, не
проходящего
через не более чем счетное множество
точек. Оказывается, что для голономии
рассматриваемых
слоений это, вообще говоря, неверно. В
вышеупомянутой работе построен
замечательный пример
слоения вида Риккати, для которого
подходящее отображение голономии не
продолжается за
пределы некоторого диска на
трансверсали. Этот пример
опровергает старую гипотезу. Будут
обсуждены
родственные задачи и открытые вопросы.
March 29, 2013: Сергей
Галкин (Universität Wien)
Малообразия
Давным-давно Севери спросил: верно ли что алгебраическое многообразие,
гомеоморфное комплексному проективному пространству P^n, единственно? Этот
вопрос был решен положительно в нечетномерном случае Хирцебрухом и Кодаирой
(в 1957 году), а в четномерном - Яу (в 1977). Оставался вопрос: как близко
можно подойти к P^n не становясь им; в частности, что можно сказать про
комплексные многообразия с такими же числами Бетти как у P^n? Таковы,
например, нечетномерные квадрики. Первый четномерный пример (ложная
проективная плоскость - поверхность общего типа, геометрического рода 0,
степени 9) был построен Мамфордом в 1979.
В 1978 Бейлинсон показал, что n-мерное проективное пространство обладает
интересным гомологическим свойством - производная категория когерентных
пучков на нем порождена исключительным набором из (n+1) объекта. Это
свойство является определением (гомологического) малообразия. Малообразия
изучались Бондалом, Полищуком и Посицельским, а Бондал и Орлов
предположили, что все четномерные малообразия - это лишь проективные
пространства. Это мы и докажем для n=4, заодно опишем все малообразия
меньшей размерности.
Это рассказ по мотивам совместных работ с Меллитом, Шиндером и Кацарковым.
April 5, 2013: Alexander
Shen (Montpellier)
Замощения (tilings): непериодичность, устойчивость, логика.
Пусть дан конечный набор квадратных плиток с окрашенными сторонами; ими
(точнее, их сдвинутыми копиями) требуется замостить плоскость, при этом
примыкающие друг к другу стороны должны быть одного цвета. Оказывается,
что есть набор плиток, для которого это возможно, но только
непериодическим (а для другого набора - только невычислимым!) образом.
Это, как ни странно, не так просто доказать, и есть разные варианты
доказательств (геометрические, логические -- с использованием теоремы о
неподвижной точке, как с программой, печатающей свой текст, и другие);
дальше можно исследовать устойчивость к ошибкам (что могло бы
теоретически объяснить квазикристаллы) и пр. В докладе предполагается
обзор ситуации и более подробное изложение чего-нибудь по выбору
слушателей. Есть много интересных вопросов, на которые ответ пока
неизвестен, и если кто-нибудь заинтересуется, будет здорово....
April 12, 2013: Ivan
Cheltsov (Edinburgh)
Локальные неравенства в алгебраической геометрии
Локальные неравенства естественно возникают в различных
вопросах алгебраической геометрии. Например, теорема Исковских и Манина
о нерациональности гладкой трехмерной квартики следует из одного
такого локального неравенства о кривых на поверхностях.
Я раскажу о новых локальных неравенствах и их применениях.
Одно из этих локальных неравенств пришло мне в голову во время
доклада Миши Вербицкого в Мадриде 8-го марта 2013 года.
April 19, 2013: Dmitri Panov (King's College)
Hyperbolic geometry and symplectic manifolds
This talk is based on joint works with Joel Fine and Anton
Petrunin. We prove that every finitely presented group is
the fundamental group of a compact three-dimensional
hyperbolic orbifold and deduce the same result for compact
symplectic six dimensional manifolds with c_1=0.
April 26, 2013: Yuri Bilu (Bordeaux)
Целые точки на модулярных кривых.
Проблема поиска рациональных точек на произвольных модулярных кривых
сводится, грубо говоря, к трем типам кривых простого уровня,
соответствующих трем типам максимальных подрупп линейной группы
GL_2(F_p):
-
кривая X_0(p), соответствующая подгруппе Бореля;
- кривая X_sp^+(p), соответствующая нормализатору разложимой подгруппы Картана;
- кривая X_ns^+(p), соответствующая нормализатору неразложимой
подгруппы Картана;
На кривых первых двух типов рациональные точки определены (почти)
полностью: Mazur (1978), B.-Parent-Rebolledo (2012). В частности,
доказано, что для p>13 рациональные точки на этих кривых являются или
вершинами, или точками комплексного умножения. Но о рациональных
точках на X_ns^+(p) почти ничего не известно.
В докладе я расскажу о недавнем прогрессе в более простой задаче:
классификации целых точек на X_ns^+(p). Мои аспиранты Bajolet и Sha
получили довольно сильную явную верхнюю границу для высоты целых
точек. Кроме того, в совместной работе с Bajolet мы доказали, что для
7 < p < 71 целые точки на X_ns^+(p) являются точками комплексного
умножения, существенно усилив недавний результат Schoof и Tzanakis.
May 10, 2013:
Liviu Ornea (Bucharest University)
A survey of locally conformally Kaehler manifolds
I shall introduce locally conformally Kaehler geometry and
focus on examples, constructions, relations with other
structures and topological properties.
May 17, 2013:
Ivan Losev (Northeastern University)
Представления рациональных алгебр Чередника
с минимальным носителем
This talk is based on the joint work with Etingof and
Gorsky, http://arxiv.org/abs/1304.3412.
We study irreducible representations of
Rational Cherednik algebras having minimal support. We
establish a number of their properties:
Cohen-Macaulayness, relation between characters and
colored HOMFLY polynomials, Koszul resolutions, and
symmetry. Our motivation mostly comes from a conjectural
relation between these representations and knot homology.
May 24, 2013, 15:30:
Jerome Poineau (Strasbourg University)
Berkovich spaces over Z
Although Berkovich spaces usually appear in a
non-archimedean setting, their general denition actually
allows arbitrary Banach rings as base
rings, e.g. Z endowed with the usual absolute value. Over
the latter, Berkovich spaces
look like fibrations that contain complex analytic spaces
as well as p-adic analytic
spaces for every prime number p. It is possible to
generalize the Weierstrass division
theorem to this context and use it to investigate the
local properties of the
spaces. We deduce that the structure sheaf of a Berkovich
space over Z behaves as
expected: it is coherent and its stalks are excellent
local rings.
May 24, 2013, 17:00:
Valery Gritsenko (Lille 1 University)
Унилинейчатые пространства модулей поляризованных
обобщенных многообразий Куммера
Имеются две бесконечные серии простых гиперкэлеровых многообразий
(неприводимых голоморфных симплектических многообразий) -- это
деформации симметрических степеней (схемы Гильберта) К3 и абелевых
поверхностей. Размерности пространства модулей поляризованных
многообразий типа К3^[n] и обобщенных многообразий Куммера равны
соответственно 20 и 4. Для К^[n] известны четыре примера
унирациональных пространств модулей (Voisin, O'Grady,
Debarre-Voisin, Iliev-Ranestad) и доказано, что такие пространства
модулей имеют общий тип, если степень поляризации многообразия типа
К3^[n] достаточно велика (Gritsenko-Hulek-Sankaran). О геометрическом
типе модулей обобщенных многообразий Куммера совершенно НИЧЕГО не
известно.
В этом докладе будет описан десяток примеров таких 4-х мерных
пространств модулей, которые оказываются по крайней мере
унилинейчатыми. Доказательство использует технику рефлективных
модулярных форм на ортогональных группах. Аналогичный метод дает
примеры унилинейчатых 5-мерных пространств модулей поляризованных
6-мерных гиперкэлеровых многообразий O'Grady. Это мой новый
совместный проект с К. Hulek (Hannover).
Дополнительное занятие: среда, 29 мая, 17:00, комната 1001
Максим Арап (Johns Hopkins University)
Линки Саркисова для расслоений на коники и тетрагональная конструкция
Донаги
Согласно В.А.Исковских, рациональность трёхмерных расслоений на
коники тесно связана с наличием тригонального ряда на дискриминанте
расслоения. Основная цель данного доклада - сообщить о совместном проекте с
В.В. Шокуровым, в котором анализируются ситуация, когда дискриминанта
расслоения на коники допускает тетрагональный ряд.
May 31, 2013:
Marc Hindry (Strasbourg University)
Arithmetic-geometric estimates for abelian varieties
Let K be a global field (number field or function field of a curve) and g a
positive integer, we consider the family
of abelian varieties of dimension g and defined over K. The complexity of the
abelian variety is measured by the degree of
the pushforward of the sheaf of differentials (in the number fields it is
called
Faltings height; in the function field case, it should be called Parshin
height). We
device estimates in terms of the height for several quantities - at least the
quantities that occur in the Birch and Swinnerton formula.
More precisely we control the number of torsion sections and the
cardinality of the
group of component of special fibres of the Neron model. Proofs require
various
tools : the geometry of moduli spaces, rigid geometry "a la Raynaud", the
case of
Jacobians being both interesting and easier.
June 07, 2013:
Андрей Трепалин (НМУ)
Рациональные факторы нерациональных поверхностей
Над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 всякая
унирациональная поверхность является рациональной. Однако
в случае алгебраически незамкнутого поля это не
так. Например, всякая поверхность Дель Пеццо степени 4, 3,
2 является унирационально, но бывают нерациональные
поверхности Дель Пеццо степени 4, 3, 2. Важным примером
унирациональных поверхностей являются факторы рациональных
поверхностей по конечным группам автоморфизмов. В докладе
будет рассказано, в каких случаях фактор поверхности Дель
Пеццо может быть нерациональным: Для поверхностей Дель
Пеццо степеней 5 и выше фактор по любой конечной группе
всегда является рациональным.Для поверхностей Дель Пеццо
степени 4 фактор может быть нерациональным для групп
$C_2$, $C_4$, $C_2^2$.Для поверхностей Дель Пеццо степени
3 фактор может быть нерациональным для групп $C_3$.
Для поверхностей Дель Пеццо степени 2 фактор может быть
нерациональным для групп $C_2$, $C_3$, $C_2^2$, $C_4$,
$D_8$, $Q_8$.Для поверхностей Дель Пеццо степени 1 фактор
может быть нерациональным для групп $C_2$, $C_3$, $C_6$,
$S_3$.Для других групп фактор рационален всегда. (Здесь
$C_n$ - циклическая группа порядка n, $D_n$ - диэдральная
группа порядка n, $Q_8$ - группа кватернионов, $S_n$ -
симметрическая группа на n буквах).Нахождение
нерациональных факторов рациональных поверхностей важно
для изучения классов сопряжённости в группе Кремоны
проективной плоскости над незамкнутым
полем. Действительно, если группа $G$ действует на
рациональных поверхностях $X$ и $Y$ так, что фактор $X/G$
рационален, а $Y/G$ нет, то группа $G$ вкладывается в
группу Кремоны как минимум двумя различными способами.
В первой части доклада я напомню основные определения и
свойства рациональных поверхностей. Во второй части
доклада я расскажу про методы исследования рациональности
факторов нерациональных поверхностей.
June 14, 2013:
Дмитрий Кубрак (ВШЭ)
Теоремы типа Брауэра-Зигеля для алгебраических торов и даже редуктивных
групп
Пусть $K_i$ - последовательность числовых полей cо стремящимися к
бесконечности дискриминантами. Классическая теорема Брауэра-Зигеля говорит,
что если их степень над $\mathbb Q$ ограничена, то логарифм произведения
$h_{K_i} R_{K_i}$ числа классов на регулятор растет как логарифм корня из
дискриминанта. В 2011 году Цимерман сформулировал и доказал простое
обобщение этого классического результата для алгебраических торов над
числовыми полями. Я в частности расскажу об этом и о продолжении его
результата на случай функциональных полей.
Если же мы хотим отбросить условие ограниченности степени для
последовательности, то ответ дается формулой Цфасмана-Влэдуца для введенных
ими асимптотически точных семейств кривых. Кунявский и Цфасман в
последствии предположили аналогичную асимптотическую формулу для
алгебраических торов, о доказательстве которой я тоже расскажу. Оказывается
(в функциональном случае), что для асимптотически точной последовательности
$(С_i, \mathcal F_i)$ кривых и конструктивных $\mathbb Q_l$-пучков на них
можно написать подобную формулу, выражающую асимптотически вычет
$L$-функции через характеристические многочлены действия Фробениуса на
ростках.
При замене тора на произвольную редуктивную группу $G$ получаются
аналогичные формулы для асимптотики числа точек на стэке $Bun_G$ модулей
$G$-расслоений, которые, как я предполагаю, должны оставаться верными при
замене всего $Bun_G$ на его стабильную или полустабильную часть.
We consider (holomorphic) Lagrangian fibrations X->P^n
that satisfy some natural hypotheses. We prove that
there are only finitely many such Lagrangian
fibrations up to deformation.
June 21, 2013:
Mikhail Zaidenberg (Grenoble)
Scrolls and hyperbolicity
This is a survey on the present state of art in complex
hyperbolic analysis. After a brief introduction we will
highlight a remarkable recent progress in theclassical
conjectures of Kobayashi and Green-Griffiths-Lang, and as
well in construction of hyperbolic projective
hypersurfaces of small degrees. A special accent will be
done on the degeneration method developed jointly with
Bernie Shiffman (Johns Hopkins University) and Ciro
Ciliberto (Universita degli Studi di Roma `Tor Vergata').
Our preferable degeneration is to scrolls i.e. to
(singular in our case) hypersurfaces
ruled in lines.
June 24, 2013, 18:30, room 1001:
Justin Sawon (University of North Carolina),
Fourier-Mukai transforms, mirror symmetry, and
generalized K3 surfaces
We study generalized complex structures on K3 surfaces, in
the sense of Hitchin. For each real parameter t between
one and infinity we exhibit two families of generalized K3
surfaces, parametrized by a point in CP^1, which are Mukai dual for
zeta=0 and infinity, and mirror partners for points not
equal to 0 and infinity. Moreover, the Fourier-Mukai
equivalence induces an isomorphism between the spaces of
first order deformations as generalized complex manifolds
June 28, 2013:
Андрей Минченко (Hebrew University of Jerusalem),
Линейные дифференциальные алгебраические группы и их представления.
Наличие в основном поле дифференцирований позволяет развить теорию
дифференциальных алгебраических многообразий и групп. Во многом это было
сделано Колчиным в прошлом веке. Нас будут интересовать линейные
дифференциальные алгебраические группы (ЛДАГ). Их категория дуальна
категории дифференциально конечно порожденных дифференциальных алгебр Хопфа
(над полем характеристики 0). Можно себе представлять ЛДАГ как группу
матриц, коэффициенты которых - это функции, удовлетворяющие наботу
дифференциальных полиномиальных уравнений.
ЛДАГ появляются как группы Галуа линейных дифференциальных уравнений с
параметрами. Построение алгоритма вычисления последних - важная задача
дифференциальной теории Галуа. (В непараметрическом случае такой алгоритм
был построен Хрущевским в 2002.) Изучение свойств ЛДАГ и ее категории
представлений, проделанное недавно докладчиком в соавторстве с А.
Овчинниковым и М. Сингером, позволяет существенно продвинуться в решении
этой задачи.
В докладе, мы сконцентрируемся на свойствах категории представлений
редуктивных ЛДАГ, которые могут представлять независимый интерес. Если
позволит время, я также расскажу, как именно наши результаты применяются к
вычислению параметрических групп Галуа.
July 5, 2013, 14:30,
Дмитрий Тонконог (ВШЭ и Кембриджский университет)
Скручивания Дена в симплектической топологии
В первой части доклада я расскажу о статье Хованова-Зайделя (2004). В ней
построены Лагранжевы сферы в гладких аффинных гипервоверхностях, которые
гладко изотопны, но гамильтоново не изотопны. После этого я расскажу о
том, как подобные примеры можно строить в других симплектических
многообразиях.
July 5, 2013, 17:00:
Fedor Bogomolov (Courant Institute and HSE)
On Szpiro's conjecture, it's relation to ABC-conjecture
and some other problems in arithmetic geometry.
Last year Sh. Mochizuki announced a solution of famous
ABC-conjecture in number theory.
L. Szpiro discovered that ABC follows from arithmetic
analogue of a geometric statement for one-dimensional
families of elliptic curves and gave the proof of the
corresponding geometric result.
I will discuss the proof of Szpiro's inequality
which reduces the proof in the geometric case
to a purely group theoretic statement and has a potential
of being extended into the proof in arithmetic case.
July 12, 2013: Dimitry Leites
(Stockholm University)
О классификации простых конечномерных алгебр Ли над алгебраически замкнутыми
полями характеристики р=3 и p=2 и о супералгебрах Ли
Сперва я напомню гипотезу Кострикина-Шафаревича, перечисляющию
простые алгебры Ли в характеристиках >7. Благодаря
Блоку, Уилсону, Штраде и (в-основном, по-моему) А.Премету, КШ-гипотеза
доказана, с поправкой для характеристики 5, при р>3.
Потом я сформулирую отличный от метода КШ способ получения простых алгебр
Ли, работающий при р>3 точно, а при р=3 гипотетически.
July 15, 2013, 17:00, room 1001: Евгений Шиндер
Прямые на кубиках и симметрические степени
Будут рассмотрены симметрические
степени многообразий и триангулированных
категорий и связь между ними.
В качестве примера мы рассмотрим
случай кубических гиперповерхностей,
и свяжем их симметрический квадрат с
многообразием Фано прямых.
July 18, 2013, 16:00, room 1001:
Дмитрий Сустретов (Университет Бен-Гуриона)
Реконструкция поля по групповоми симметрические степени
Будут рассмотрены симметрические
степени многообразий и триангулированных
категорий и связь между ними.
В качестве примера мы рассмотрим
случай кубических гиперповерхностей,
и свяжем их симметрический квадрат с
многообразием Фано прямых.
July 18, 2013, 16:00, room 1001:
Дмитрий Сустретов (Университет Бен-Гуриона)
Реконструкция поля по групповому закону
Пусть G аффинная группа поля K, тогда поле К можно восстановить по G
зная только структуру абстрактной группы на G. В теории моделей
изучают подобного рода конструкции, которые называются там
"интерпретациями" (поле K интерпретируется в группе G). Плодотворная
теория была разработана для групп, допускающих аксиоматически
определённое понятие размерности и имеющих при этом конечную
размерность; аксиомы постулируют некоторые свойства размерности
многообразий в алгебраической геометрии. Целью доклада является
объяснить следующий результат (Несин, Зильбер): пусть G разрешимая, но
не нильпотентная алгебраическая группа, определённая над алгебраически
замкнутым полем К, тогда поле К восстанавливается по абстрактной
группе K-точек G. Теоретико-модельная терминология будет использована
минимально и будет объяснена.
July 19, 2013: Jordan Thomas (Courant Institute)
Local Chern classes on Singular Surfaces and Bogomolov-type Stability
We will discuss local invariants of vector bundles on a resolution of a
complex analytic surface singularity. One can define a local Euler
characteristic, local Chern classes, and an asymptotic local Riemann-Roch
theorem is valid in some circumstances. We will give examples of the
computation of these invariants for the cotangent bundle and provide a
counterexample to a conjecture of Wahl about the vanishing of the local
second Chern class. We will also discuss the validity of Bogomolov-type
stability inequalities for Chern classes defined in this manner. Such
inequalities have application to the Green-Griffiths conjecture and to
boundedness of negative curves on algebraic surfaces, and we give some
examples of these applications.
August 2, 2013: Evgeny Gorsky
(Stony Brook)
Algebro-geomeric models for
invariants of torus knots.
Motivated by the string theory, M. Aganagic and S. Shakirov proposed a
"refinement" to quantum invariants
of knots, which can be formulated mathematically for torus knots using
Macdonald polynomials.
In a recent paper with A. Negut we proved that these "refined
invariants" can be obtained as
equivariant Euler characteristics of certain sheaves on the Hilbert
scheme of points on the plane.
Using localization at fixed points, one can get explicit formulae for
these invariants. In some special cases,
these results match a certain bivariate deformation of Catalan numbers
defined by A. Garsia and M. Haiman.
A comparison with the construction of Oblomkov and Shende gives rise
to nontrivial combinatorial identities.
August 9, 2013:
Роман Безрукавников (MIT)
Эквивариантные квантовые когомологии и стабильности в духе Бриджленда.
Я расскажу о гипотезах (совместных с Окуньковым, доказанных в отдельных
примерах), связывающих эквивариантные квантовые когомологии
симплектических разрешений особенностей с производными категориями
когерентных пучков на этих разрешениях.
Гипотезы отчасти мотивированы зеркальной двойственностью, и в свою
очередь поднимают новые вопросы о
(эквивариантном варианте) этой двойственности. В изученных примерах,
связанных с полупростыми алгебрами Ли,
речь идет о разных конструкциях стандартных представлений (аффинной)
группы кос. Другие аспекты этой картины обсуждались в моих
предыдущих докладах в Вышке.
August 16, 2013:
Andrei Pajitnov (University of Nantes)
Novikov Homology, jump loci, and non-abelian Hodge theory
We begin with a brief introduction
to the Novikov homology and circle-valued Morse theory.
Then I will explain our joint work with Toshitake
Kohno about the applications of the Novikov homology
to the jump loci in the homology
with local coefficients, in particular
on compact Kaehler manifolds.
August 23, 2013:
Константин Шрамов (МИРАН)
Особая квартика с кручением в третьих гомологиях.
Следуя работе Джуна Хуха, я расскажу про пример особой трехмерной
квартики с кручением в третьих гомологиях, которая дает контрпример
к так называемой геометрической гипотезе Шевалле--Варнинга.
Это также даст повод обсудить другие известные примеры многообразий
Фано с таким свойством.
August 30, 2013:
Миша Вербицкий (ВШЭ)
Глобальная теорема Торелли: простое доказательство,
использующее эргодическую теорию
Глобальная теорема Торелли для гиперкэлеровых
многообразий явно описывает множество классов бирациональной
эквивалентности комплексных структур на голоморфных симплектических
многообразиях в терминах отображения периодов и
группы Тейхмюллера. Я расскажу про это
описание и приведу простое доказательство
этой теоремы, использующее эргодическую теорию.
Доклад должен быть понятен каждому, кто знает
основы комплексной алгебраической геометрии (комплексные
структуры, разложение Ходжа, теорема Калаби-Яу).
September 6, 2013:
Сергей Иванов
(Лаборатория Чебышева, СПбГУ)
Производные пределы и теории гомологий.
В 1989 году Квиллен доказал, что 2n-ые циклические гомологии алгебры над
полем характеристики 0 могут быть представлены, как пределы некоторых
простых функторов из категории копредставлений алгебры в категорию абелевых
групп. Позднее Р.Михайловым вместе с соавторами было доказано, что
аналогичные представления имеются для 2n-ых гомологий группы и для самых
старших ненулевых производных функторов тензорной, внешней и разделенной
степени. Доклад будет посвящен тому, как могут быть описаны вышеуказанные
теории гомологий, используя производные функторы предела, уже для всех
случаев, включая нечетные гомологии и все производные функторы тензорной,
внешней и симметрической степени.
September 13, 2013:
Yves de Cornulier
(Orsay)
Hyperbolic groups.
I will give a little panorama of hyperbolic spaces and group actions
thereon. Introduced by Gromov in the late 80's as a far-reaching
generalization of negatively curved manifolds, they now play an
essential role in geometric group theory. They have remarkable
applications, even beyond finitely generated groups; notably the
recent discovery, by Cantat and Lamy, that the "Cremona group" of
birational self-transformations of the plane is not a simple group.
September 20, 2013:
Vadim Vologodsky (Oregon)
Когомологии Хохшильда алгебр Адзумая
Я объясню, что это такое, как их вычислять и зачем это нужно. Главная
теорема: когомологии алгебры дифференциальных операторов на гладком
многообразии Х равны когомологиям де Рама кокасательного расслоения к Х.
October 4, 2013:
Florian Heiderich (HSE)
Galois theories of functional equations
The classical Galois theory for polynomials in one variable has
analogues for
functional equations. We first give a quick introduction to the Galois
theories of
linear differential and of linear difference equations. We point out the
analogies
between these theories and show how they can be unified. Then we turn to
non-linear
equations. Galois theories for both non-linear differential equations
and difference
equations have been developed in recent years, the origins being works
of Malgrange and
Umemura. We show that the unifying framework that we encountered in the
case of
linear equations is suitable also in the non-linear case. If time
permits, we report
on recent developments and future directions.
October 11, 2013:
Roman Karasev (МФТИ)
Mahler's conjecture and symplectic geometry
http://arxiv.org/abs/1303.4197
Roman Karasev (MIPT),
joint with Shiri Artstein-Avidan and Yaron Ostrover (Tel-Aviv)
In this talk we are going to discuss some interesting
connections between the convex geometry and symplectic
geometry.
My coauthors have previously established a nice
correspondence between the minimal length of a closed
billiard trajectory in a convex body K, measured with a
certain norm, and the symplectic Hofer--Zehnder capacity
$c_{HZ}(K\times T)$, where T is the unit ball of the
dual norm. This assertion was used to establish different
bounds on the lengths of closed billiard trajectories.
It turned out that in some cases it is possible to bound
the length of a closed billiard trajectory from below
using some elementary convex geometry. In particular, if
K is a unit ball of a norm and $T=K^\circ$ is its polar
body (the unit ball of the dual norm) then the length is
at least 4. The proof of this fact it easy and will be
presented in detail.
A conjecture of Claude Viterbo in sympletic geometry is
that the volume of a convex body $X\in \R^{2n}$ is at
least $c_{HZ}(X)^n/n!$. Assuming this conjecture we
readily deduce that $\vol K\times K^\circ \ge 4^n/n!$ for
any centrally symmetric convex body in $\R^n$ and
its polar, but this is a classical conjecture of Mahler
(1939). There were some results on this conjecture
establishing the lower bound like $\gamma^n/n!$ (the
Bougain--Milman theorem, 1987), and the best known
constant $\gamma$ is close to $\pi$ for sufficiently large
n (Greg Kuperberg, 2008). The precise inequality was
proved by Mahler himself for n=2 and is open for $n\ge 3$.
Now to finish the proof of the Mahler conjecture it
remains to prove the Viterbo conjecture. We are also going
to discuss the meaning of the Viterbo conjecture, known
results, and its connections with other classical
problems.
Роман Карасёв (МФТИ), совместно с Шири
Артштейн-Авидан и Яроном Островером (Тель-Авив)
В этом докладе мы обсудим интересные связи
между симплектической и выпуклой геометрией.
Мои соавторы в своих предыдущих работах установили
замечательное соответствие между минимальной длиной
замкнутой бильярдной траектории в выпуклом теле K,
измеренной с помощью некоторой нормы, и симплектической
ёмкостью Хофера--Цендера $c_{HZ}(K\times T)$, причём T --
единичный шар двойственной нормы. Это
утверждение уже было использовано ранее для разных оценок
длины бильярдных траекторий.
Оказалось, что в некоторых случаях можно получить оценку
снизу на длину замкнутой бильярдной траектории методами
элементарной выпуклой геометрии. Например, если K ---
единичный шар некоторой нормы, а $T=K^\circ$ --- полярное
ему тело (единичный шар двойственной нормы), то эта длина
не менее 4. Доказательство этого факта несложно и будет
рассказано полностью.
В симплектической геометрии известна гипотеза
Клода Витербо, что объём выпуклого тела X в
$R^{2n}$ не менее $c_{HZ}(X)^n/n!$. Если она верна, то из
утверждения о бильярдах мы сразу получаем, что
$\vol K\times K^\circ \ge 4^n/n!$ для любого центрально
симметричного выпуклого тела в $\R^n$ и его
полярного тела, а это классическая гипотеза Малера
(1939). По этой гипотезе имеются результаты с худшей
оценкой вида $\gamma^n/n!$ (теорема Бургена--Мильмана,
1987), в которой константа $\gamma$ была приближена к
$\pi$ для больших n (Грег Куперберг, 2008), в точном
виде гипотеза доказана самим Малером только для n=2 и
открыта для $n\ge 3$.
Чтобы закончить доказательство гипотезы Малера, теперь
остаётся доказать гипотезу Витербо. Мы обсудим смысл этой
гипотезы, известные продвижения и её связи с другими
классическими задачами.
October 18, 2013:
Victor Przyjalkowski (Steklov Institute)
Hodge numbers of Fano varieties via Mirror Symmetry.
Mirror Symmetry predicts duality between different geometries ---
symplectic and algebraic --- of pairs of varieties. One of the
basic evidences of this duality is a coincidence of a Hodge diamond
of Calabi--Yau variety and 90-degrees rotated Hodge diamond of a dual
Calabi--Yau variety. The dual object for a Fano variety is a so called
Landau--Ginzburg model. Recently the similar duality of their Hodge
numbers was discovered. We discuss the computation of Hodge numbers via
Mirror Symmetry on some examples such as Fano threefolds and Fano
complete intersections. If we have a time we observe
a similar approach to Minimal Model program.
Числа Ходжа многообразий Фано через зеркальную симметрию.
Зеркальная симметрия предсказывает двойственность двух разных геометрий
--- алгебраической и симплектической --- для пар совершенно разных
многообразий. Одним из основных признаков такой двойственности является
совпадение ромба Ходжа многообразия Калаби--Яу и повернутого на 90
градусов ромба Ходжа двойственного Калаби--Яу.
Двойственным объектом для многообразия Фано является так называемая
модель Ландау--Гинзбурга. Для них недавно была обнаружена двойственность
чисел Ходжа, сходная с двойственностью для многообразий Калаби--Яу. Мы
обсудим вычисление чисел Ходжа через зеркальную симметрию на некоторых
примерах, таких как трехмерные многообразия Фано или полные пересечения.
Если останется время, мы обсудим на примерах зеркальный подход к
программе минимальных моделей.
October 25, 2013:
Nicolò Sibilla (MPIM)
Ribbon graphs, skeleta and homological mirror symmetry
In this talk I will review recent work of mine (partially in collaboration
with H. Ruddat, D. Treumann and E. Zaslow), which centers on various
aspects of Kontsevich's Homological Mirror Symmetry in the large complex
limit. Special emphasis will be given to the one-dimensional case, as a
testing ground for more general constructions.
November 1, 2013:
Валентина Кириченко (ВШЭ)
Многогранники Ньютона-Окунькова разрешений Ботта-Самельсона
Выпуклые тела Ньютона-Окунькова обобщают многогранники
Ньютона проективных торических многообразий и определены
для широкого класса линейных расслоений на алгебраических
многообразиях. Для многих интересных классов многообразий
эти тела оказываются выпуклыми многогранниками, и
возникает задача их явного описания (например, с помощью
неравенств). Я расскажу про результаты и гипотезы о
многогранниках Ньютона-Окунькова многообразий полных
флагов и разрешений Ботта-Самельсона, а также про их связь
с многогранниками, возникающими в теории представлений
(такими как многогранники Гельфанда-Цетлина и струнные
многогранники).
Все необходимые определения будут даны в докладе.
November 8, 2013:
Сергей Горчинский (МИРАН)
Смешанные мотивы и алгебраические циклы
Доклад будет состоять из двух частей. В первой части будет дано общее
введение в теорию мотивов, а также будет рассказано, как из гипотез об
абелевой категории смешанных мотивов вытекают очень явные
(гипотетические) утверждения о группах Чжоу и К-теории гладких
проективных многообразий. Во второй части речь пойдет о совместных
результатах с В. Гулецким о явной структуре мотивов Чжоу трехмерных
многообразий с тривиальным ядром отображения Альбанезе.
November 15, 2013:
Александр Кузнецов (МИРАН)
Рациональность кубических гиперповерхностей и производные категории
Я расскажу о том, что известно и что неизвестно
о рациональности гиперповерхностей небольшой степени
в проективном пространстве (особенно кубических гиперповерхностей),
и о том, как производные категории когерентных пучков помогают
в изучении таких вопросов.
November 22, 2013:
Александр Шень (CNRS)
КАК ИЗМЕРИТЬ СЛУЧАЙНОСТЬ ИНДИВИДУАЛЬНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ?
Классическая теория вероятностей рассматривает вероятностные меры,
скажем, равномерную (бернуллиеву) меру на последовательностях нулей и
единиц, в которой все биты независимы и равновероятны. Однако с точки
зрения чистой теории меры последовательность 00000... ничуть не хуже,
чем любая другая последовательность - существует сохраняющий меру
автоморфизм, переводящий первую во вторую. Можно ли как-то объяснить, в
каком смысле последовательность 00000... (или, скажем, двоичное
разложение числа \pi) "не случайна"? В своё время такой подход,
использующий теорию алгоритмов, был предложен Мартин-Лёфом. Я расскажу о
некотором варианте этого подхода, связанном с дефектами случайности
относительно меры или класса мер: мы увидим, что некоторые теоремы
классической теории меры могут быть сформулированы на этом языке.
Предварительных знаний из теории алгоритмов (выходящих за
общечеловеческие представления об исполнении программ компьютерами) не
предполагается.
November 25, 2013 (Monday), 15:30, room 1001:
Klaus Hulek (Leibniz Universität Hannover)
Stable cohomology of compactifications of A_g
It is a famous result of Borel that the cohomology of A_g stabilizes.
This was generalized to the Satake compactification by Charney and
Lee. In this talk we will discuss whether the result can also be
generalized to toroidal compactifictaions. As we shall see this cannot
be expected for the second Vornoi compactification, but we shall show
that the cohomology of the perfect cone compactification does
stabilize. We shall also discuss partial compactifications, in
particular the matroidal locus. This is joint work with Sam Grushevsky
and Orsola Tommasi.
November 27, 2013 (Wednesday), 17:00, room 1001:
Sergei Merkulov (Luxembourg University)
Grothendieck-Teichmueller group in algebra
and geometry
The Grothendieck-Teichmueller group GT was introduced by
Drinfeld in his study of braid groups and quasi-Hopf algebras. It
turned out to be one of the
most interesting and mysterious objects in modern mathematics. It plays a
central role in many seemingly unrelated fields. Drinfeld pioneered
applications of
the profinite completion of GT in number theory. Etingof and Kazhdan
used GT to solve the Drinfeld's
quantization conjecture for Lie bialgebras, and Alekseev-Torossian
applied it to the
Kashiwara-Vergne problem in Lie theory. Kontsevich's and Tamarkin's
formality theory
unravels the role of the group GT in Deformation Quatization, and
recent results of
Willwacher establish a link between the group GT and graph complexes.
We explain the definition of GT. Using some new compactified
configuration spaces of points in the 2-plane,
we construct an explicit formula for an exotic Lie-infinity
automorphism of the
Schouten algebra of polyvector fields on any smooth manifold.
The formula is transcendental; it is an example of a universal GT
action on polyvector fields and Poisson structures.
November 29, 2013 (Friday), 17:00, room 1001:
Дмитрий Степанов (МГТУ имени Баумана)
Локальные тропические многообразия
В докладе будет описана конструкция локальной тропикализации ростка
алгебраического многообразия по недавней совместной работе автора с
Патриком Попеску-Пампу: http://arxiv.org/abs/1204.6154 .
Конструкция в целом параллельна тропикализации
подмногообразий тора. Также будут рассмотрены некоторые приложения
локальных тропических многообразий, полученные Мартином Улиршем, и
некоторые задачи из теории нормирований, связанные с локальной
тропикализацией. Доклад будет расширенной версией доклада автора на
конференции, посвящённой памяти В. А. Исковских.
December 6, 2013:
Yuri Zarhin (Penn State/Weizmann):
Families of abelian varieties with big monodromy
Let $K$ be a global field of characteristic different from $2$ and $u(x)$
be an irreducible polynomial over $K$ of even degree $2g>4$, whose Galois
group over $K$ is either the full symmetric group or the alternating
group. We describe explicitly how to choose (infinitely many) pairs of
distinct elements $t_1, t_2$ of $K$ such that the $g$-dimensional
jacobian of a hyperelliptic curve
$y^2=(x-t_1)(x-t_2)) u(x)$
has no nontrivial endomorphisms over an algebraic closure of $K$ and has
big monodromy.
Пусть $K$ - глобальное поле характеристики, отличной от двойки, а $u(x)$
- неприводимый многочлен над $K$ с четной степенью $2g>4$, группа Галуа
которого либо полная симметрическая группа либо знакопереременная группа
перестановок $2g$ элементов. Мы описываем явную процедуру, позволяющую
выбрать (бесконечно много) пар $(t_1, t_2)$ различных
элементов поля $K$ , таких, что $g$-мерный якобиан гиперэллиптической
кривой
$y^2=(x-t_1)(x-t_2)) u(x)$
не имеет нетривиальных эндоморфизмов над алгебраическим замыканием поля
$K$ и имеет большую монодромию.
December 11, 2013 (Wednesday), 17:00, room 1001:
Boris Zilber (Oxford)
Теория моделей и гипотеза Гротендика-Андрэ о периодах
История начинается с гипотезы о трихотомии,
сформулированной докладчиком в 1970-х годах, сводящая
классификацию "логически совершенных" структур (к
которым относятся, в частности, объекты алгебраической
геометрии) к трем явно указанным классам. Хотя во многих
важных частных случаях гипотезу удалось доказать,
Хрушовски построил серию контрпримеров, которые
предположительно указывают на невозможность классификации
в общем случае. Тем не менее, было замечено, что
практически все варианты конструкции Хрушовского можно
объяснить в терминах классических трансцендентных
функций, свойства которых позволяют строить "достаточно
логически совершенные" структуры. Я покажу в докладе, что
при достаточно общих предположениях основной ингредиент
конструкции Хрушовского, неравенство предразмерности,
совпадает с неравенством в гипотезе Андрэ-Гротендика о
периодах мотивов.
Ссылка: https://people.maths.ox.ac.uk/zilber/periods.pdf
December 13, 2013:
Стефан Немировский (МИРАН/Ruhr-Universität Bochum)
Строгая космическая цензура и частичный порядок на небесах
Будет дан обзор результатов о связях между лоренцевой геометрией
и разными глобальными результатами дифференциальной и контактной
топологии.
December 20, 2013:
Vladimir Guletskii (Liverpool University)
Симметрические степени в A^1-гомотопической теории схем
В докладе речь пойдет о совместных результатах
с Сергеем Горчинским. В топологии, симметрические степени
сохраняют гомотопический тип CW-комплексов, что имеет
отношение к теоремам Дольда-Тома и
Барратта-Придди-Квиллена. Мы получили аналогичный
результат в A^1-гомотопической теории схем над нетеровой
базой конечной размерности. Результат верен в этальной
топологии и в топологии Нисневича. Будут даны мотивировки,
формулировки результатов, схемы доказательств и несколько
слов об ожидаемых применениях в алгебраической геометрии.
December 24, 2013 (Tuesday), 18:30, room 1001:
Dmitri Panov (King's College)
A four-dimensional sphere type theorem.
This talk is based on a joint work with Joel Fine.
A result of Kleiner and Wilking states that a positively curved
Riemannian 4-manifold admitting an isometric S^1-action
is diffeomorphic to S^4, RP^4 of CP^2.
Using elementary symplectic geometry considerations
we prove a similar result for geometric structures that are
"softer" than metrics. Namely we consider S^1-equivariant
definite connections on 4-manifolds and prove that
a 4-manifold admitting such a structure is diffeomorphic
to S^4 of CP^2.
A definite connection on a 4-manifold M is a metric connection
on a rank 3 bundle over M whose curvature Q satisfy the following inequality:
for any two vectors (u,v) in T_x(M) the matrix Q(u,v) is non-zero.
December 27, 2013:
Ilya Karzhemanov (New York University)
On characterization of toric varieties
I will speak about a conjectural
(due to V.V. Shokurov) approach to characterization
of toric varieties, discuss some of its positive
instances and the case where it breaks. I'll also
try to discuss one possible application of this
characterization to rationality problem for quotients
of Abelian varieties by finite groups.