Laboratory of algebraic geometry:
weekly seminar
Archive
January 17, 2014:
Julio Rebelo (Universite Paul Sabatier, France)
Halphen equations revisited
Halphen vector fields appear in a number of
situations in Mathematics, including reductions of
Yang-Mills equations (Atiyah-Hitchin) and number theory
(P,Q,R-functions of Ramanujan). The dynamics/geometry
associated to these equations was first clarified in a
beautiful work of Guillot from about 2003. The purpose of
this talk will be to sketch a slightly
different geometric point of view concerning these
equations that allows us to obtain some additional
results, including a sharp description of Malgrange
(pseudo-)group and a theory of confluence paralleling the
case of the hypergeometric equation. If time permits, some
extensions of these equations may also be discussed.
What precedes sits inside a joint project with
J.-P. Ramis and E. Paul.
January 24, 2014:
А. Элашвили (Математический Институт им. Размадзе, Тбилиси)
О Фробениусовых алгебрах Ли
Пусть L - конечномерная алгебра Ли. Определим билинейную
кососимметрическую форму
B_f(x,y):=f([x,y]) по фиксированной линейной функции f на
L. Если существует такая f, для которой форма B_f
невырождена, то L называют фробениусовой алгеброй Ли.
В докладе будет рассказано о вычислении функции F(n), определённой как число
сопряжённых класов фробениусовых алгебр Ли в классе бипараболических подалгебр
специальной линейной алгебры Ли sl(n) (алгебра Ли матриц
порядка n с нулевым следом)
и будут приведены примеры семейств фробениусовых алгебр Ли
бипараболического типа в sl(n),
для которых можно явно указать асимптотику их числа по n.
Основные результаты получены совместно с М. Джибладзе
(Математический Институт им. Размадзе, Тбилиси)
January 31, 2014:
Ivan
Penkov (Jacobs University Bremen)
Геометрия инд-многообразий обобщенных флагов
Обобщенные флаги - это цепи подпространств в
бесконечномерном пространстве, удовлетворяющие некоторым
естественным, но неочевидным условиям. В докладе я
построю инд-многообразия обобщенных флагов и реализую их
как однородные пространства инд-группы GL(infty). Я обсужу
также некоторые вопросы геометрии этих инд-многообразий, в
частности, их непроективность.
February 7, 2014:
Semyon Alesker (Tel-Aviv University)
New structures on translation invariant valuations on convex sets
Valuations are finitely additive measures on convex compact sets;
this is a very classical notion in convexity theory.
An additional analytic assumption of continuity of valuations in the
Hausdorff
metric turned out to be very fruitful: on one hand there are many geometric
examples, but on the other
hand such valuations can be described in some terms.
One of such descriptions of translation invariant continuous valuations
will be discussed in the talk using
a relation to representation theory. Then we will construct a new
multiplicative structure on a dense subspace
of smooth valuations. If time permits, we will indicate its relations to
integral geometry.
February 14, 2014:
Андрей Алпеев (мат-мех СПбГУ, Лаборатория им. П.Л. Чебышёва)
Софическая энтропия.
Несколько лет назад Льюис Боуэн ввёл новый инвариант сохраняющих меру
действий софических групп --- софическую энтропию, что позволило ему
широко обобщить существующую классификацию бернуллиевских сдвигов. В
своём докладе я объясню непонятные слова из первого предложения,
расскажу о софической энтропии и связанных результатах.
Предварительных знаний в эргодической теории не требуется.
February 21, 2014:
Владлен Тиморин (ВШЭ)
Топологические модели динамики рациональных функций
Рациональные функции (от одной комплексной переменной)
записываются явными формулами, но эти формулы не помогают
увидеть динамические свойства. Поэтому необходимы альтернативные
описания рациональных функций, которые были бы явными в другом
смысле. Я приведу несколько примеров таких явных описаний
(инвариантные ламинации Терстона, спаривания, захваты, переклейки),
покажу много картинок, диафильмов и мультиков:).
Часть обсуждаемых тем связана с совместной работой с И. Машановой,
и с циклом совместных работ с А. Блохом, Л. Оверстигеном и Р. Птачеком.
February 25, 2014, 17:15, room 1001:
Олег Демченко (СПбГУ)
Пространство модулей деформаций p-делимой группы
Пусть $G$ -- связная $p$-делимая группа высоты $h$ и
размерности $d$ над совершенным полем $k$, и пусть
$O$ -- кольцо векторов Витта над $k$. Хорошо известно, что функтор
деформации $G$ представляется с помощью формального спектра кольца
$O[[t_1,...,t_{d(h-d)}]]$.
Следуя философии Хазевинкеля, мы строим в явном виде семейство
универсальных деформаций $G$.
February 28, 2014:
Liviu Ornea (University of Bucharest)
Compact Homogeneous Locally Conformally Kaehler Manifolds
After a brief introduction on LCK manifolds and on the particular class of Vaism
an manifolds, I shall prove that compact homogeneous LCK manifolds are Vaisman.
March 6, 2014 (Thursday), 17:00, room 1001:
Christian Liedtke (Technische Universität München)
Unirationality, supersingularity, and formal Brauer groups
An n-dimensional variety is called unirational if there
exists a rational and dominant map from n-dimensional
projective space onto it. Unirational varieties are thus
(in some sense) close to projective space itself, and the
classical Lüroth problem asks whether unirational
varieties are in fact rational, that is, birational to
projective space. This is true for curves (by Lüroth
himself), as well as for surfaces over the complex
numbers (Castelnuovo). Over the complex numbers it false
in dimension 3 (counter-examples by Fano,
Clemens-Griffiths, Artin-Mumford), as well as for surfaces
in positive characteristic (Zariski). In this talk I will
introduce the formal Brauer group, and various notions of
supersingularity (via cycles, formal Brauer groups, and in
terms of F-crystals). I will explain that unirational
varieties are supersingular. The interesting (and open)
question is whether supersingular varieties are
unirational.
March 7, 2014:
Christian Liedtke (Technische Universität München)
Supersingular K3 surfaces are unirational
I show that supersingular K3 surfaces in positive
characteristic are related by purely inseparable
isogenies. As an application, I deduce that supersingular
K3 surfaces are unirational, which confirms conjectures
Artin, Rudakov, Shafarevich, and Shioda. The main
ingredient in the proof is to use the formal Brauer group
of a Jacobian elliptically fibered supersingular K3
surface to construct a family of "moving torsors" under
this fibration that eventually related supersingular K3
surfaces of different Artin invariants by purely
inseparable isogenies. If time permits, I will also
explain how these moving torsors exhibit Ogus' moduli
space of supersingular K3 crystals as an iterated
projective bundle over a finite field.
March 11, 2014 (Tuesday), 17:00, room 1001:
Christian Liedtke (Technische Universität München)
Rational curves on K3 surfaces
Although a projective K3 surface over the complex numbers
cannot be unirational, Bogomolov conjectured that it
contains nevertheless infinitely many rational curves. In
this talk, I will prove Bogomolov's conjecture for K3
surfaces of odd Picard rank - this includes the generic
case of Picard rank 1. The idea is to reduce to positive
characteristic p, and to use the Tate conjecture to find
infinitely many rational curves (albeit for infinitely
many distinct primes). Then we use Kontsevich's moduli
space of stable maps and a rigidification argument to lift
cycles of rational curves to characteristic zero, which
eventually establishes infinitely many rational curves on
the original K3 surface. This work is joint with Jun Li
and extends an approach due to Bogomolov, Hassett, and
Tschinkel.
March 14, 2014,
Андрей Солдатенков (HSE),
"Геометрия гиперкомплексных многообразий"
Гиперкомплексное многообразие - это гладкое многообразие
с тремя интегрируемыми почти комплексными структурами I, J, K,
для которых выполнены кватернионные соотношения IJ=-JI=K.
Известно много примеров таких многообразий, среди них гиперкэлеровы
многообразия, нильмногообразия и некоторые компактные группы
Ли. Обата доказал, что на гиперкомплексном многообразии существует
единственная связность без кручения, которая сохраняет I, J и K.
В первой части доклада я расскажу про связность Обаты и про конструкцию
Джойса гиперкомплексных структур на компактных группах Ли. Мы обсудим
голономию связности Обаты на группе SU(3).
Во второй части доклада я расскажу про голоморфные лагранжевы расслоения
на гиперкомплексных многообразиях. Перед этим я напомню необходимые
сведения про HKT-метрики и кватернионный комплекс Дольбо.
March 21, 2014:
Тарас Панов
(мех-мат МГУ)
Пересечения квадрик и гамильтоново-минимальные лагранжевы подмногообразия
Гамильтонова минимальность (H-минимальность) для лагранжевых
подмногообразий - это симплектический аналог минимальности в римановой
геометрии. Лагранжево погружение называется H-минимальным, если вариации
его объёма относительно всех гамильтоновых векторных полей нулевые.
Мы изучаем топологию H-минимальных лагранжевых подмногообразий N в C^m,
построенных из пересечений вещественных квадрик в работе А.Е.Миронова. Эта
конструкция связывается при помощи критерия вложения с известной
конструкцией Дельзанта гамильтоновых торических многообразий.
Применяя методы торической топологии мы получаем новые примеры
H-минимальных лагранжевых подмногообразий с достаточно сложной топологией.
Интрепретация нашей конструкции в терминах симплектической редукции
приводит к её обобщению, дающему H-минимальные лагранжевы подмногообразия
в произвольных торических многообразиях.
Доклад основан на совместных работах с А.Е.Мироновым.
March 28, 2014:
Eugenii Shustin
(Tel-Aviv University)
"Real, complex, and tropical enumerative invariants"
Abstract. Tropical geometry provides an ultimate tool to compute
Gromov-Witten and Welschhinger (open Gromov-Witten) invariants of
toric surfaces and three-folds. On the other hand, the count of
tropical curves on tropical toric surfaces and three-folds leads to
tropical invariants. Some of these tropical invariants indeed
correspond to Gromov-Witten or Welschinger invariants, and the others
(like broccoli invariants or Block-Goetsche invariants) do not. We
discuss relations between algebraic and tropical invariants and pose
open questions.
"Вещественные, комплексные и тропические исчислительные инварианты"
Тропическая геометрия является уникальным технических средством для
вычисления инвариантов Громова-Виттена и Вельшанже торических поверхностей
и трёхмерных многообразий. С другой стороны, перечисление тропических
кривых на тропических поверхностях и трёхмерных тропических
многообразиях позволяет определить тропические исчислительные инварианты.
Некоторые из них совпадают с известными ивариантами Громова-Виттена
и Вельшанже, в то время как другие (например, брокколи-инварианты
или инварианты Блока-Гётше) не имеют алгебраических аналогов. В докладе
обсуждаются связи между алгебраическими и тропическими инвариантами и
формулируются открытые проблемы.
April 4, 2014:
Владимир Зорич (мехмат МГУ)
Термодинамика, геометрия и функции очень многих переменных
Будет сказано как классическая термодинамика связана с
контактной геометрией, а статистическая механика с
многомерной геометрией.
В частности, мы поясним, почему любая более или менее
регулярная функция на многомерной сфере почти постоянна в
том смысле, что если взять случайно и независимо пару
точек сферы и подсчитать значения функции в этих точках,
то они с большой вероятностью окажутся почти совпадающими.
С точки зрения математика, привыкшего к функциям одной,
двух и нескольких (не очень многих) переменных, это может
показаться неправдоподобным. Но именно это обеспечивает
стабильность основных параметров среды нашего обитания
(температуры, давления, ...), лежит в основе статистической
физики, изучается в теории вероятностей под названием
законов больших чисел и имеет много применений (например,
при передаче информации по каналу связи при наличии помех,
а также заменяет эргодическую гипотезу там, где реально
нужна лишь концентрация меры и плотности распределения
вероятностей).
April 9, 2014, 18:30, room 1001:
Victor Vuletescu (University of Bucharest)
Vector bundles on some non-kahler manifolds
We will study holomorphic (mainly rank-two) vector bundles
on a special class of complex 3-folds, namely elliptic
principal bundles. We will address the problem of their
classification and the existence of irreducible vector
bundles. The talk is based on a work in progress joint
with V. Brinzanescu.
April 11, 2014:
Стефан Немировский (МИРАН/Ruhr-Universität Bochum)
Строгая космическая цензура и частичный порядок на небесах
Будет дан обзор результатов о связях между лоренцевой геометрией
и разными глобальными результатами дифференциальной и контактной
топологии.
April 18, 2014:
Екатерина Америк (HSE, Orsay)
Характеристическое слоение на гладких дивизорах в голоморфно
симплектических многообразиях
По совместной работе с Ф. Кампана.
Пусть (X, \sigma) голоморфно симплектическое многообразие, а D
гладкий дивизор на нем. Тогда на D возникает естественное голоморфное
слоение ранга 1 без особенностей: это просто ядро ограничения
симплектической формы \sigma на D. В случае проективного Х, Хванг
и Фивег доказали, что если D общего типа, то это слоение не может быть
алгебраическим. Мы докажем, что если Х неприводимо, то алгебраичность
слоения равносильна унилинейчатости D (т.е. тому, что D покрывается
рациональными кривыми) , и классифицируем неунилинейчатые исключения
в общем случае.
April 25, 2014:
Victor Vassiliev (HSE, MIRAN)
Алгебраически интегрируемые овалы
Ограниченная область в $R^n$ называется алгебраически интегрируемой, если
объемы, отсекаемые от нее всевозможными гиперплоскостями, образуют
алгебраическую функцию на пространстве гиперплоскостей. В четномерных
пространствах таких областей с гладкой границей не бывает (это
прошлогодний результат, не считая двумерного выпуклого случая,
принадлежащего Ньютону; про это я тоже расскажу, но немного), а в
нечетномерных примером являются произвольные эллипсоиды.
Основная гипотеза: других примеров неприводимых интегрируемых областей с
гладкой границей нет. В пользу этой гипотезы есть множество подтверждений,
из которых грамотный алгебраический геометр, возможно, уже мог бы вывести
доказательство. Например, если такая область есть, то у продолжения ее
границы в комплексную область не может быть ни параболических точек (за
исключением очень вырожденных), ни стандартных ребер возврата. Эти
препятствия (а также другие, которые могут потребоваться впредь, если этих
окажется недостаточно для доказательства гипотезы) вытекают из теории
Пикара-Лефшеца (то есть из науки про ветвление интегралов по контурам,
зависящим от параметров), о которой я тоже поговорю.
May 14, 2014 (Wednesday, 16:50, room 1001)
Gueo Grantcharov (Florida International University)
QK/HK corrrespondence from HKT viewpoint.
To a hyperkaehler manifold with isometric circle
action preserving one complex structure and rotating the
others can be associated a quaternionic kaehler manifold
with circle action preserving the quaternionic kaehler
structure. This correspondence can be viewed from
different perspectives - Swann budles, twistor spaces or
T-duality. I'll report on its relation to HKT geometry.
May 14, 2014 (Wednesday, 18:30, room 1001)
Ivan Losev (Northeastern University)
Representation theory of quantizations of the Gieseker moduli
space.
Gieseker moduli spaces are especially nice and important
examples of Nakajima quiver varieties.
One can quantize them using quantum Hamiltonian reduction and get
associative algebras that generalize
type A Rational Cherednik algebras. The latter algebras were
extensively
studied in the last decade, but the
general case has been untouched until very recently. I will explain
what
I know about the representation
theory in the general case. This is based on my work in preparation/in
progress.
May 16, 2014 (15:30, room 1001)
Francesco Russo
(Università degli Studi di Catania)
Explicit n-connectedness by irreducible curves and the
XJC-correspondence
When an irreducible projective variety $X$ is embedded in some
projective space $\mathbb P^N $
(or more generally when an arbitrary Cartier divisor $D$ is fixed on $X$),
one can consider the property
of being generically $n$--connected by irreducible curves of a fixed
degree $\delta$ (with respect to $D$ in the abstract case),
that is through $n\geq 2$ general points of $X\subset\mathbb P^N$ there
passes an irreducible curve of degree $\delta$ contained in $X$.
Natural constraints for the existence of such varieties immediately
appear. We shall present results of joint work with Luc Pirio showing
that there is a natural bound on $N$ (or on $\dim(|D|)$) depending on
$\dim(X)$, $n$ and $\delta\geq n-1$ such that the boundary examples
are rational varieties which are $n$--connected by smooth rational curves
of degree $\delta$ in such a way that there exists a unique curve
of the family passing though $n$ general points.
Natural constraints for the existence of such varieties immediately
appear. We shall present results of joint work with Luc Pirio showing
that there is a natural bound on $N$ (or on $\dim(|D|)$) depending on
$\dim(X)$, $n$ and $\delta\geq n-1$ such that the boundary examples
are rational varieties which are $n$--connected by smooth rational curves
of degree $\delta$ in such a way that there exists a unique curve
of the family passing though $n$ general points.
We shall also present an application of the previous bound to the top
intersection of nef divisors on a variety X as above, generalizing a result
of Fano.
Moreover we shall illustrate the proof for the classification of the
boundary cases for $n=2$ to show a projective incarnation
Mori's famous characterization of projective spaces as the unique
projective manifolds with ample tangent bundle.
The classification of varieties attaining the bound of the embedding
dimension is related to that of
Castelnuovo varieties except for $\delta= 2n-3$, $n\geq 3$. The first
exceptional case being that of
extremal varieties with $n=3$ and $\delta=3$, that is m-dimensional
varieties $X\subset P^{2m+1}$ such that
through 3 general points there passes a twisted cubic contained in it. We
shall explain and outline
the proof of the so called $XJC$ correspondence asserting that for every
$m\geq 3$ there are equivalences
between: the previous class of algebraic varieties different from rational
normal scrolls;
quadro-quadric Cremona transformations of $P^{m-1}$, modulo projective
equivalence;
$m$ dimensional complex Jordan algebras of rank 3,
modulo isotopy.
May 16, 2014 (17:00, room 1001):
Eyal Markman (University of Massachusetts)
A global Torelli theorem for rigid hyperholomorphic sheaves
(Joint work with S. Mehrotra). We construct moduli spaces
M of marked triples (X,f,A), where X is an irreducible
holomorphic symplectic manifold, f is a marking of X, and
A is a stable and infinitesimally rigid reflexive sheaf of
Azumaya algebras over the cartesian product Xd, such that
the second Chern class of A is invariant under the
diagonal action a finite index subgroup of the monodromy
group of X. We prove a global Torelli theorem: The period
map from the moduli space M to the period domain is a
local homeomorphism, surjective, and generically
injective.
The main example is the rank 2n-2 sheaf of Azumaya
algebras constructed in arXiv:1105.3223 over the Cartesian
square XхX of an irreducible holomorphic symplectic
manifold of K3[n] deformation type. The characteristic
classes of A were used to prove the standard conjectures
when X is algebraic (joint with F. Charles). The sheaf A
is also used to associate to X a generalized
(non-commutative) deformation of the derived category of a
K3 surface (joint work in progress with S. Mehrotra).
May 23, 2014:
François Charles (IRMAR and MIT)
Zarhin's trick for K3 surfaces and the Tate conjecture
If A is an abelian variety over an arbitrary field, Zarhin's trick shows
that (AxA)^4 can be endowed with a principal polarization. Using moduli
spaces of stable sheaves, we prove a general version of Zarhin's trick for
K3 surfaces over arbitrary fields. As an application, we will give a simple
proof of the Tate conjecture for K3 surfaces over arbitrary finite fields.
May 30, 2014:
Иван Дынников (мехмат МГУ)
Плоские сечения 3-периодических поверхностей и 2-комплексы с измеримым слоением
Я расскажу о старой задаче Новикова о плоских сечениях поверхностей уровня
3-периодической функции. Эта задача возникла в теории проводимости в
нормальных металлах. В таких сечениях могут быть незамкнутые компоненты,
асимптотическое поведение которых и является предметом изучения. К
настоящему моменту хорошо понят случай, называемый интегрируемым, в
котором эти незамкнутые компоненты представляют собой конечным образом
деформированные прямые линии. Эта ситуация устойчива относително малых
возмущений, но имеет место не всегда. В хаотическом, то есть
неинтегрируемом, случае для качественного описания устройства сечений
нужно изучать 2-комплексы специального вида с измеримым слоением на них.
Такие комплексы попадали в поле зрения математиков по разным поводам,
среди которых геометрическая теория групп и динамические системы. При
весьма элементарной постановке некоторые связанные с ними задачи
оказываются очень нетривиальны.
June 6, 2014:
А.А.Гайфуллин (МИАН, МГУ, ИППИ РАН)
Обобщение теоремы Сабитова на случай многогранников произвольной размерности
Классическая формула Герона выражает площадь треугольника через длины
его сторон. Если же мы возьмём многоугольник с хотя бы 4 сторонами, то
его площадь не может быть выражена через длины его сторон, так как он
может изгибаться с сохранением длин сторон и с изменением площади.
Ситуация кардинально меняется в размерности 3. В 1996 году И.Х. Сабитов
доказал, что объём любого симплициального многогранника в трёхмерном
евклидовом пространстве является корнем многочлена со старшим
коэффициентом 1, остальные коэффициенты которого суть многочлены от
квадратов длин рёбер многогранника. Следовательно, объём симплициального
многогранника с данными комбинаторным строением и длинами рёбер может
принимать лишь конечное число значений. Эта теорема несомненно имеет
самостоятельный интерес, однако изначально она возникла из замечательной
области комбинаторной геометрии - теории изгибаемых многогранников.
Изгибаемый многогранник - многогранник с жёсткими гранями и шарнирами в
рёбрах, который может изгибаться с изменением двугранных углов.
Удивительный факт заключается в том, что хотя примеры самопересекающихся
изгибаемых многогранников - октаэдры Брикара - были известны ещё с конца
19-го века, очень долго никому не удавалось построить примера
несамопересекающегося изгибаемого многогранника. Впервые такой пример
был построен Р. Коннелли в 1977 году. Вскоре им же была сформулирована
гипотеза, утверждающая что объём любого изгибаемого многогранника
постоянен в процессе изгибания. Эта гипотеза стала известной под
названием гипотезы о кузнечных мехах. Из теоремы Сабитова следует, что
гипотеза о кузнечных мехах верна в размерности 3.
В течение долгого времени оставался открытым вопрос о том, верен ли
аналог теоремы Сабитова в старших размерностях. В 2011 году докладчиком
был доказан аналог теоремы Сабитова в размерности 4, однако попытка
обобщить это доказательство на случай произвольной размерности упиралась
в серьёзные алгеброгеометрические трудности.
В 2012 году докладчику удалось получить доказательство прямого аналога
теоремы Сабитова для многогранников произвольной размерности n>2 на
основе новых идей. Доказательство стало возможным благодаря
взаимодействию двух основных инструментов: теории нормирований полей,
использование которой в такого рода задачах уже стало традиционным, и
теории сдавливания симплициальных комплексов, использование которой
является принципиально новым.
June 20, 2014,
Михаил Цфасман (НМУ, ИППИ)
Асимптотическая теория чисел и алгебраическая геометрия
Цель рассказа - введение в (несуществующую) теорию бесконечных расширений
числовых полей и про-алгебраических многообразий.
Мы начнем с элементарной задачи о плотных упаковках равных шаров в
евклидовых пространствах. Потом я объясню, как к этой задаче применяется
алгебраическая геометрия и теория чисел.
Когда станет ясно, что ключевую роль играют дзета-функции, мы зададимся
вопросом, как эти функции ведут себя в башнях числовых полей и
алгебраических кривых.
Если успею, расскажу про обобщение классической теоремы Брауэра-Зигеля и о
её геометрическом аналоге.
В заключение, махая руками, опишу, как наша (несуществующая) теория могла бы
выглядеть.
По замыслу докладчика, всё это покажет, как геометрия, алгебра и анализ (а
также затрагиваемые вскользь топология и теория меры) могут успешно между
собой взаимодействовать.
June 24, 2014 (Tuesday, 17:00, room 1001):
Валерий Оселедец (Мехмат МГУ)
Задача Эрдеша, энтропия и софические меры
Для любого числа между 1 и 2 Эрдеш (1939 год) определил диффузную меру на
прямой (бесконечную свертку Бернулли). Для каких чисел эта мера сингулярна,
а для каких абсолютно непрерывна неизвестно до сих пор. Эрдеш доказал, что
для чисел Пизо мера сингулярна. Александер и Цагир вычислили хаусдорфову
размерность меры Эрдеша для золотого сечения. Грабнер, Киршенхофер и Тихий
вычислили эту размерность для псевдозолотого сечения любого порядка.
Нами была обнаружена связь с задачей вычисления энтропии софических
мер. Для обобщенных мер Эрдеша и псевдозолотого сечения любого порядка
мы вычислили энтропию софической меры Эрдеша. Это, в частности, дает новое
"эргодическое " доказательство формул Грабнера, Киршенхофера и Тихого. Их
доказательство чисто комбинаторное.
Нами также была вычислена энтропия меры Блекуэлла для софической
динамической систем типа Блекуэлла.
June 27, 2014:
Fedor Bogomolov (Courant Institute, HSE)
Closed symmetric differentials on surfaces
I will discuss new results on the local
structure of singularities of the decomposition
of local closed two-diffrentials into
a product of two closed differentials.
Main result is the singualarieties of the latter
are not worse than exponentials of meromorphic
functions.
July 4, 2014:
Maxim Smirnov (ICTP)
Quantum cohomology: small vs. big
I will speak about a recent joint work with S. Galkin and A. Mellit
arXiv:1405.3857, and related questions.
July 11, 2014:
Yuri Sachkov (University of Pereslavl and Program Systems Institute)
Subriemannian geometry on rank 2 Carnot groups
We study nilpotent left-invariant sub-Riemannian structures
with the growth vectors (2,3,4), (2,3,5), and (2,3,5,8).
For the growth vector (2,3,4), i.e., for the left-invariant
SR structure on the Engel group, we prove the cut time is equal to
the first Maxwell time corresponding to discrete symmetries
(reflections) of the exponential mapping.
For the growth vector (2,3,5), i.e., for the left-invariant
SR structure on the Cartan group, the same fact is
a conjecture supported by mathematical and numerical evidence.
For the growth vector (2,3,5,8), we study integrability
of the normal Hamiltonian vector field $\vec{H}$.
We compute 10 independent integrals of $\vec{H}$,
of which only 7 are in involution.
After reduction by 4 Casimir functions,
the vertical subsystem of $\vec{H}$ (on the dual to the Lie algebra
of the 8-dimensional nilpotent Lie algebra)
shows numerically a chaotic dynamics,
which leads to a conjecture on non-integrability
of $\vec{H}$ in the Liouville sense.
July 18 2014, room 1001, 16:00 (please note the time)
Евгений Горский (Stony Brook),
Гомологии Хегора-Флоера алгебраических зацеплений
В серии работ С.М. Гусейн-Заде, Ф. Дельгадо и А. Кампильо построили
последовательность наборов гиперплоскостей, связанных с особенностью
плоской алгебраической кривой. Они доказали, что эйлеровы
характеристики дополнений к этим наборам совпадают с коэффициентами
многочлена Александера соответствующего зацепления. Я расскажу о связи
гомологий этих дополнений с гомологиями Хегора-Флоера,
"категорифицирующими" многочлен Александера. Доклад основан на
совместных работах 1301.7636 и 1403.3143
с Андрашем Немети (Институт Реньи, Будапешт).
August 15, 2014:
Federico Buonerba (Courant Institute)
Resolution of singularities in finite characteristics.
There is still no analogue of Hironaka's type
resolution for algebraic varieties over fields
of positive charcteristics.
However a theorem of DeJong says that, up to a purely
inseparable cover and a birational modification, the
singularities are at worst quotient.
In this talk I will discuss the resolution of tame quotient
singularities.
August 22, 2014:
Federico Buonerba (Courant Institute)
On weak Lefshetz Conjecture in K-theory
There is no algebraic proof of the celebrated theorems
of Lefschetz concerning the relation between cohomology
groups of a smooth algebraic variety and an hyperplane section.
In this talk I will discuss the analogue of such theorems for
Chow groups of algebraic cycles - or vector bundles - and
explain its relation to the K-theory of formal schemes.
Joint with Michael McQuillan
August 29, 2014:
Andrey Soldatenkov (HSE)
k-symplectic structures and subvarieties of hyperkahler manifolds
We will discuss the notion of k-symplectic structure which
generalizes trisymplectic structures studied by Jardim and Verbitsky.
Consider a complex vector space V. A k-symplectic structure on V is
a subspace of the second exterior power of V^*, such that all degenerate
2-forms in this subspace lie on a quadric. We will discuss examples
of such structures and some applications to hyperkahler geometry.
It is known that a generic hyperkahler manifold does not contain
too many subvarieties. More precisely, all subvarieties
of a generic hyperkahler manifold are trianalytic. Verbitsky has shown
that in a generic deformation of a Hilbert scheme of points on a K3 surface there are
no proper subvarieties at all (however, this is not true for generalized
Kummer varieties). Our discussion of k-symplectic structures will
lead us to the conclusion that in a generic deformation of hyperkahler
manifolds constructed by O'Grady there are no complex subtori
(and no subvarieties of known type). This is a joint work
with Misha Verbitsky.
September 5, 2014:
Julien Marche (Jussieu)
Singular intersection and character varieties
We will say that a 3-manifold is globally locally rigid if all
of its irreducible representations of its fundamental group in SL_2(C)
(which are generally many) are locally rigid in the sense that their
Zariski tangent space is 0.
In a work with G. Maurin, we show that under some mild conditions, all
but a finite number of the Dehn fillings of a manifold with toric
boundary are globally-locally rigid. We will motivate the question and
explain the proof which is based on diophantine geometry and raises new
questions of Zilber-Pink type.
September 12, 2014:
Chris Brav (HSE)
Hamiltonian local models for symplectic derived stacks
We show that a derived stack with symplectic form of negative degree
can be locally described in terms of generalised Darboux coordinates
and a Hamiltonian cohomological vector field. As a consequence we see
that the classical moduli stack of vector bundles on a Calabi-Yau
threefold admits an atlas consisting of critical loci of regular
functions on smooth varieties. This is joint work with Ben-Bassat,
Bussi, and Joyce.
September 19, 2014:
Thomas Bitoun (HSE)
On a theory of the b-function in positive characteristic
To a complex polynomial P in several variables, Bernstein and Sato
have associated a subtle invariant, which has proved foundational in
D-module theory, the b-function or Bernstein-Sato polynomial. It is related
to the singularities of P, nearby/vanishing cycles, multiplier ideals, ...
We introduce a theory of the b-function in positive characteristic. Its
roots are rational numbers and it is closely related to the test ideals.
We will briefly recall the characteristic zero theory as well as give some
basics on unit F-modules.
Key words: D-modules, singularity theory, test ideals, multiplier ideals,
unit F-modules, divided powers
September 26, 2014:
Дмитрий Каледин (МИРАН)
О p-типических кривых в алгебраической K-теории
Название доклада -- это название статьи Блоха примерно
сорокалетней давности где, в (безуспешных) попытках вычислить K-теорию
алгебраического многообразия над конечным полем, он в сущности придумал
комплекс де Рама-Витта, вычисляющий кристальные когомологии. С современной
точки зрения, идеи статьи совершенно не устарели, а вот методы теперь
гораздо лучше. Поэтому конструкции становятся довольно прозрачными и
понятными, и не требуют никаких особых предварительных знаний ни по
K-теории, ни по кристальным когомологиям. Более того, кристальные
когомологии сами собой, из ничего появляются прямо на глазах. Я попробую
про это рассказать.
October 3, 2014:
Vladimir
Lazić (University of Bonn)
A note on the abundance conjecture
Abstract: The abundance conjecture and the existence of good models are the
main remaining conjectures in the Minimal Model Program. I will present a
recent progress on these problems obtained in joint work with Tobias Dorsch.
October 10, 2014:
Николай Тюрин (ВШЭ)
"Специальные лагранжевы подмногогобразия Бора - Зоммерфельда"
Для развития программы ALAG (алгебраическая лагранжева геометрия -
абелев случай) мы хотим построить конечномерные подмножества многообразий
модулей бор - зоммерфельдовых циклов на симплектическом многообразии с
целочисленной симплектической формой.
Для бор - зоммерфельдовых лагранжевых подмногообразий
вводится новое понятие специальности относительно сечения. В общем случае
непустота множества специальных бор - зоммерфельдовых циклов эквивалентна
некоторым топологическим данным, зависящим от взаимного расположения нулей
сечения и бор - зоммерфельдова подмногообразия (обобщенная
s-монотонность). Особенно интересно введение понятие специальности для случая
алгебраического многообразия. Здесь мы получаем некоторый конечномерный
цикл в многообразии модулей бор-зоммерфельдовых циклов. То есть основная задача
- немного продолжить программу ALAG.
Доклад рассчитан на студентов старших курсов, все определения будут
представлены в начале доклада.
We prove that curves indicated in the title
exist. This results answers to a question posed by
A.G.Vitushkin about 30 years ago. We also discuss the
minimal number of boundary components of a curve in
the unit ball passing through the center, under the
condition that all these components are shorter than a
given number. More precisely, we discuss the order of
growth of the number of the components as their
maximal length tends to zero.
October 24: Валерий Белошапка
(мехмат МГУ)
О сложности функций
В своем сообщении я планирую рассказать о проблеме измерения сложности
различных классов функций в связи такими известными постановками как 13-я
проблема Гильберта и P-NP-проблематика. Особое внимание будет уделено
сложности аналитических функций.
October 31: Pierre Dehornoy (Grenoble)
Almost commensurability of 3-dimensional Anosov flows.
Two flows are almost commensurable if, up to removing
finitely many periodic orbits and taking finite coverings,
they are topologically equivalent. We prove that all
suspensions of automorphisms of the 2-dimensional torus
and all geodesic flows on unit tangent bundles to
hyperbolic 2-orbifolds are pairwise almost
commensurable. The proof relies in particular on the
existence of some specific genus one Birhoff sections for
geodesic flows.
November 7:
Миша Вербицкий (ВШЭ)
Голоморфные кривые с границей на лагранжевых
многообразиях в гиперкэлеровых многообразиях
Пусть L -- лагранжево подмногообразие в симплектическом
многообразии, снабженном согласованной почти комплексной
структурой, а M -- пространство голоморфных кривых
с границей на L. Громов доказал, что каждая компонента
связности пространства M компактна, что позволяет
интерпретировать топологические характеристики M как
симплектические инварианты лагранжевых подмногообразий.
Я расскажу, как вычислить эти инварианты для специального
случая, когда M -- голоморфное симплектическое кэлерово
многообразие, а L -- голоморфное лагранжево. В этом
случае, при подходящем выборе комплексной структуры,
пространство M окажется пусто, то есть никаких
голоморфных кривых с границей на L нет. Этот результат
хорошо сочетается с предсказаниями гомологической
зеркальной симметрии Концевича, согласно которой
голоморфные симплектические многообразия
самодвойственны, и все нетривиальные инварианты
категории Фукаи зануляются.
November 17 (Monday), 2014, 17:00, room 1001:
Tuyen Trung Truong
(Syracuse University)
Comments on Sampson's approach toward Hodge conjecture on Abelian
varieties
Sampson proposed an approach using higher Jacobians to solve
Hodge conjecture for Abelian varieties. He suggests that we can do so by
showing a certain map is injective. We clarify some points in his
approach, and show that the map he proposed is not injective, except the
cases where the Hodge conjecture has been known to be true. We propose one
modification of the approach.
November 21:
Сергей Ландо
(ВШЭ)
Доказательство Мирзахани гипотезы Виттена
Гипотеза Виттена (1991) утверждает эквивалентность двух
моделей двумерной квантовой гравитации. С математической
точки зрения, она означает, что производящая функция для
индексов пересечений характеристических классов некоторых
специальных линейных расслоений над пространствами модулей
комплексных кривых с отмеченными точками является решением
уравнения Кортевега-де Фриза (или, эквивалентно, всей
иерархии уравнений КдФ). Уравнение КдФ можно понимать как
рекуррентное соотношение на индексы пересечения. Известные
к настоящему времени доказательства этой гипотезы
используют либо гиперболическую геометрию двумерных
поверхностей и их пространств модулей, либо являются чисто
алгебро-геометрическими (как и предусматривает
формулировка гипотезы). Доказательство М. Мирзахани
содержится в двух работах 2007 года, составляющих ее
диссертацию, и опирается на гиперболическую геометрию. Оно
состоит из двух основных частей. Первая часть представляет
собой формулу для объема Вейля-Петерссона пространства
модулей $\overline{\mathcal M}_g(L_1,\dots,L_n)$; это
пространство гиперболических метрик постоянной
отрицательной кривизны $-1$ на двумерных поверхностях рода
$g$ с $n$ геодезическими границами длин $L_1,\dots,L_n$
[strut.gif] соответственно. Формула Мирзахани дает
выражение для объема через индексы пересечений на
пространствах модулей стабильных комплексных
алгебраических кривых рода $g$ с $n$ отмеченными точками
$\overline{\mathcal M}_{g;n}$ [strut.gif] . Получающаяся
формула имеет вид многочлена от переменных
$L^2_1,\dots,L^2_n$, причем коэффициент при старшем члене
этого многочлена - индекс пересечения, входящий в гипотезу
Виттена. Вторая часть доказательства это рекуррентное
соотношение на объемы. По своей природе оно является
соотношением топологической рекурсии, получаемой как
результат вырезания пар штанов из поверхности. Это
соотношение - далекое обобщение формулы Г. Макшейна для
суммы по простым замкнутым геодезическим на данной
поверхности некоторых явных выражений от их длин. Для
старшего коэффициента многочлена объема соотношение
топологической рекурсии оказывается эквивалентным
рекуррентному соотношению КдФ.
November 28, 2014:
Всеволод Чернышев
(ВШЭ)
Гауссовы пакеты на сетях и декорированных графах.
На пространственной сети или декорированном графе (т.е. пространстве,
полученном из метрического графа вклейкой вместо вершин римановых
многообразий размерности не выше 3) рассматривается нестационарное
уравнение Шрёдингера. В докладе будут обсуждаться вопросы, связанные с
описанием решения задачи Коши для такого уравнения, для начальных данных,
сконцентрированных в окрестности одной точки на ребре. В частности, речь
пойдет о том, в каких случаях число гауссовых пакетов растет полиномиально,
в каких субэкспоненциально, а в каких экспоненциально. Будет обсуждаться
связь этих вопросов с теоремой о распределении абстрактных простых чисел.
Monday, December 1, 2014, 17:00, room 317
Dmitry Sustretov (Hebrew University of Jerusalem)
Теорема Грушовского о групповой конфигурации
Пусть m: X \times X \to X рациональное отображения, пусть отображения
(x,y) \mapsto (x,m(x,y)) и (x,y) \mapsto (m(x,y), y) являются
бирациональными, и m(x,m(y,z)=m(m(x,y),z) для тех x,y,z, для которых
обе стороны равенства определены. Теорема Вейля утверждает, что в
таком случае существует алгебраическая группа G и открытое вложение U
\to G, где U плотное открытое подмножество X, такое, что групповой
закон G совпадает с m на U. В форме лозунга это можно сформулировать
как "групповая операция восстанавливается по своему ограничению на
октрытое плотное подмножество". Теореме Грушовского о групповой
конфигурации (которая является развитием идей Зильбера) соответствует
лозунг "групповая операция восстанавливается по прообразу своего
графика в конечном накрытии". В ходе доклада будет дана точная
формулировка и рассказано доказательство этой теоремы.
Tuesday, December 2, 2014, 15:30, room 207
Dmitry Sustretov (Hebrew University of Jerusalem)
Ограниченная гипотеза о трихотомии Зильбера
Доклад будет посвящен изложению доказательства следующего
утверждения. Пусть M алгебраическая кривая над алгебраически замкнутым
полем K и пусть X двумерное семейство кривых в M^2. Рассмотрим M как
структру логики первого порядка в языке, состоящем из единственного
предиката X, тогда поле K восстанавливается по структуре
M. Доказательство опирается на теорему Грушовского о групповой
конфигурации, о которой мой предыдущий доклад. Эта работа совместная с
Ассафом Хассоном.
December 5, 2014:
Даниил Руденко (HSE)
О Третьей Проблеме Гильберта
В 1900 году Давид Гильберт поставил задачу о
поиске пары тетраэдров равного объема, которые нельзя
было бы разрезать на конечное число равных между собой
многогранников. Эта проблема была полностью решена уже в
1901 году учеником Гильберта Максом Деном с помощью
введения хитроумного инварианта равносоставленности. С
тех пор было получено множество результатов в этом
направлении, главным из которых являлась теорема
Сидлера, утверждающая, что два многогранника в
трехмерном пространстве равносоставленны тогда и только
тогда, когда их объемы и инварианты Дена
совпадают. Другим крупным достижением было выявление
тесной связи между задачами о равносоставленности в
гиперболической и сферической геометриях, алгебраической
К-теорией и мотивными когомологиями. Несмотря на
обилие общих результатов о том, как проверять
равносоставленность многогранников, известно очень
немного интересных геометрических конструкций
равносоставленных многогранников. В докладе я
расскажу про известный способ "комплексифицировать"
задачу о равносоставленности многогранников в трехмерном
пространстве. Используя некоторое обобщение закона
взаимности Вейля, можно по каждой тройке мероморфных
функций на римановой поверхности построить
"комплексифицированный" многогранник. Это соответствие
обладает рядом замечательных свойств и в ряде случаев
позволяет получать соотношения между "настоящими"
трехмерными евклидовыми многогранниками. Я сформулирую
две гипотезы про это соответствие и покажу, что они
являются инфинитизимальным аналогом гипотез Александра
Гончарова.
December 9
(Tuesday), 2014, 17:00, room 1001:
Anna Fino (University of Turin)
Solvmanifolds and Hermitian Geometry
I will present general results on compact
solvmanifolds admitting an invariant complex structure. We
will consider in particular the case of compact
solvmanifolds with holomorphically trivial canonical
bundle, studying the existence of special Hermitian
metrics.
December 9
(Tuesday), 2014, 18:30, room 1001:
Geo Grantcharov (Florida International University)
Poisson structures on twistor spaces of hypercomplex manifolds
In additional to being a helpful tool in the study of
self-duality, the twistor spaces has been a source of
non-Kaehler structures with specific properties. In the
talk will be mentioned some of the previously known
results and explained the construction of complex Poisson
structures on twistor spaces of hypercomplex manifolds,
which are holomorphic in the hyperkaehler case.
December 10
(Wednesday), 2014, 17:00, room 1001:
Chris Brav (HSE)
Fundamental domains for discrete groups via convex optimisation
We describe an algorithm, going back to a 1960 paper of
Selberg but (it seems) not pursued then, for building
fundamental domains for SL(n,Z) and other discrete groups
acting on the space of n by n positive definite
matrices. Ultimately, we hope this will give insight into
the dichotomy between big and thin monodromy groups, which
we also discuss.
December 12,
Ludmil Katzarkov (Wien)
On the Shafarevich conjecture
We will introduce a conjecture of Shafarevich
stating that universal covering of a smooth projective variety X if
holomorphically convex. We will outline the proof in the case when the
fundamental group of X
is virtually linear. Other exotic examples will be considered and if the
time permits new techniques will be introduced.
December 17 (Wednesday), 2014, 17:00, room 1001:
Hiraku Nakajima (RIMS)
Coulomb branches of 3d N=4 gauge theories and the affine
Grassmannian
We propose a mathematically rigorous definition of Coulomb
branch of a 3d N=4 SUSY gauge theory, as an affine algebraic variety, based
on the homology group of a variant of the affine Grassmannian. In
particular, coordinate rings of various hyper-Kaehler manifolds, such as
instanton moduli spaces on ALE spaces, nilpotent orbits, etc, are
conjecturally given by such a construction.
Продолжение этого доклада будет в
понедельник 22 декабря в 15.30 в 1001 на семинаре
Маркаряна-Фейгина-Хорошкина.
December 19, 2014:
Алексей Пирковский (HSE)
Функциональное исчисление Тэйлора и производные категории
Я расскажу об одном применении производных категорий к функциональному
анализу, точнее --- к многомерной спектральной теории линейных операторов в
банаховом пространстве. Пусть E --- банахово пространство, и пусть
T=(T_1,...,T_n) --- набор коммутирующих ограниченных линейных операторов в
E. Голоморфным исчислением от набора T на открытом множестве U в C^n
называется непрерывный гомоморфизм из алгебры голоморфных функций на U в
алгебру ограниченных линейных операторов в E, переводящий координаты
z_1,...,z_n в операторы T_1,...,T_n соответственно. В случае n=1
классическая теорема Гельфанда (1941) утверждает, что такой гомоморфизм
существует тогда и только тогда, когда U содержит спектр T. После этого в
течение ряда лет предпринимались попытки обобщить теорему Гельфанда на
n-мерный случай. Наконец, в 1970 г. Дж. Тэйлор придумал "правильное"
определение спектра для набора коммутирующих операторов и доказал n-мерный
аналог теоремы Гельфанда. Первоначальная конструкция Тэйлора была весьма
сложна. Два года спустя Тэйлор придумал принципиально новое доказательство,
существенно более прозрачное и опирающееся на методы "классической"
гомологической алгебры (в духе Картана-Эйленберга) в категориях модулей
Фреше. Цель моего рассказа --- показать, что теорема Тэйлора наиболее
естественно формулируется и доказывается в контексте производных категорий.
December 24, 2014 (Wednesday), 17:00, room 1001,
Dmitri Panov (King's College, London)
Symplectic generic complex structures on 4-manifolds with b+=1
This talk will be
around a note
with Paolo Cascini. In
this note we study symplectic structures on Kahler
surfaces with p_g = 0. We give there an example of a
projective surface which admits a symplectic structure
which is not compatible with any Kahler metric.
December 26, 2014, room 1001, 15:30:
Sione Ma'u (University of Auckland)
Transfinite diameter on varities
Transfinite diameter is a geometric notion that plays a central role
in classical potential theory and complex analysis. It can also be
defined in terms of univariate polynomials. In several complex
variables and pluripotential theory, the Fekete-Leja transfinite
diameter is a natural generalization. An important study of it was
Zaharjuta's 1975 paper. His methods for studying transfinite diameter
combined algebra and analysis, i.e. manipulating polynomials, and
taking limits. The algebraic part in this case was relatively
trivial. I am interested in studying transfinite diameter on an
algebraic variety. Recently with David Cox (Amherst, MA), we were
able to adapt Zaharjuta's techniques to study transfinite diameter on
varieties that behave ``nicely'' at infinity. Almost all of the
additional work is in the algebra. I will describe our work and
illustrate it with concrete examples.
December 26, 2014:
Ilia Zharkov (Kansas State University)
Как тропически опровергать гипотезу Ходжа
Абелевы многообразия типа Вейля представляют наиболее известный
потенциальный контрпример к гипотезе Ходжа. Я расскажу идею Концевича как
можно было бы реализовать такой контрпример с помощью тропической
геометрии.
December 29 (Monday), 2014, 17:00, room 1001:
Andrei Jaikin-Zapirain (Universidad Aut\'onoma de Madrid)
On the fundamental groups of Galois conjugated varieties
I will show that for any automorphism $\alpha$ of $\overline{\mathbb Q}$,
different from the identity and the complex conjugation, there exists a
projective smooth surface X defined over a number field such that the
fundamental groups of $X(\mathbb C)$ and $X^\alpha(\mathbb C)$ are not
isomorphic. The talk is based on a joint work with Gabino Gonz\'alez-Diez
December 30 (Tuesday), 2014, 17:00, room 1001:
Grigory Mikhalkin (Geneve)
Тропические кривые как траектории частиц
Тропические кривые на плоскости и в пространстве
могут быть проинтерпретированы как траектории
взаимодействующих частиц в двумерном и трехмерном
пространстве-времени. В двумерном случае эта
интерпретация особенно проста так как частицы,
находящиеся в общем начальном положении,
сталкиваются, а их общая мировая линия образует
тропическую кривую.
Трехмерный случай более интересен: частицы там, вообще
говоря не сталкиваются, но взаимодействие может быть
перенесено частью тропической кривой. В обоих случаях
и геометрия, и подсчет количества тропических кривых
согласуются с предложеной интерпретацией.