Laboratory of algebraic geometry:
weekly seminar
Archive
Будет рассказана конструкция точной категории
мотивных пучков Артина-Тейта с конечными коэффициентами.
Предполагается начать с обсуждения мотивов и мотивных
пучков, этальной топологии и топологии Нисневича, и т.д.,
и закончить построением гомоморфизма сравнения из
групп Ext в точной категории мотивных пучков в группы
гиперкогомологий, предсказываемые гипотезой
Бейлинсона-Лихтенбаума об этальном спуске.
Поверхности Инуэ суть компактные неалгебраические
комплексные поверхности, построенные Инуэ в 1972 по
кубическим и квадратичным числовым полям. Как доказал
Богомолов в середине 1970-х, любая комплексная
поверхность, у которой b_2=0, является поверхностью
Хопфа, либо поверхностью Инуэ. Несколько лет назад
Олжеклаус и Тома обобщили конструкцию Инуэ, построив
комплексное многообразие по произвольному
числовому полю. С помощью сильной теоремы
об аппроксимации (обобщения китайской теоремы
об остатках на произвольное адельное кольцо),
нам с Ливиу Орнеа удалось доказать, что
многообразия Олжеклауса-Тома не имеют
комплексных подмногообразий.
Я буду, насколько хватит времени,
рассказывать как можно проще, но слушателям
полезно знать, что такое комплексное многообразие,
и что такое расширение Галуа.
Слайды доклада (PDF)
4 февраля 2011, Дима Каледин (МИ РАН)
Циклическая К-теория и вектора Витта
Циклическая К-теория это некоторый инвариант аддитивных
категорий, который находится между обычной алгебраической К-теорией
(интересной, но трудновычислимой), и разнообразными гомологическими
инвариантами, легко вычислимыми, но менее интересными. Впервые она
была введена Гудвилли в письме Вальдхаузену в конце 80х годов,
неопубликованном, и особого внимания не привлекла. А зря. Я попробую
рассказать, как циклическая К-теория связана с векторами Витта и
т.н. комплексом де Рама-Витта. Никакого знания алгебраической
К-теории и прочей высшей математики я предполагать не буду; базовые
конструкции в обсуждаемой науке на удивление просты и элементарны.
Work in progress.
February 11,
Andrey Levin (HSE)
О когомологиях конфигурационного пространства точек на
эллиптической кривой.
Когомологии конфигурационного пространства точек на
проективной прямой были описаны Арнольдом:
они порождены одномерными формами индуцированными с одномерных
конфигурационных пространств 4ех точек а квадратичные соотношения
реализуются на двумерных конфигурационных пространств 5и точек. Мы
обобщаем этот результат для эллиптической кривой=двумерный тор с
комплексной структурой= фактор комплексной плоскости по двумерной
решетке.
Мы строим dga квазиизоморфную комплексу деРама конфигурационного
пространства точек на эллиптической кривой, обобщающую конструкцию в
теореме Арнольда.
В заключении мы рассмотрим относительную версию (для семейства кривых)
Исключительные особенности были введены
Шокуровым в работе о трехмерных лог-перестройках
как естественное многомерное обобщение двумерных
дювалевских особенностей типа E6, E7 и E8.
Трехмерные исключительные фактор-особенности
были классиФицированы Маркушевичем и Прохоровым,
трехмерные исключительные гиперповерхностные
особенности были класифицированы Прохоровым, Ишии и Кудрявцевым.
Позднее оказалось что исключительные особенности
связаны с метриками Кэлера-Эйнштейна на многообразиях Фано
и стабильностью многообразий Фано.
Мы раскажем как доказать существование исключительных
особенностей в любой размерности, как классифицировать
исключительные фактор-особенности в малых размерностях,
и разберем несколько близких задач в двумерии.
Аннотация: В торической геометрии важную роль играют многогранники Ньютона.
Недавно К.Каве и А.Г. Хованский построили далеко идущее обобщение многогранников
Ньютона для произвольных алгебраических многообразий (выпуклые тела
Ньютона-Окунькова) arXiv:0904.3350v2 [math.AG]. Конструкция основана на очень
общем и при этом достаточно элементарном результате об асимптотике полугрупп в
целочисленной решётке Z^n. В докладе будет описана конструкция и её приложения
как к алгебраической так и к выпуклой геометрии. Никаких специальных знаний для
понимания доклада не требуется.
March 4,
Misha Verbitsky (HSE)
Симплектическая редукция и теорема
Дональдсона-Уленбек-Яу
Симплектическая редукция есть наглядный
способ строить геометрическую теорию инвариантов
(GIT). Я вкратце расскажу ее определение, и
объясню, как она соотносится с GIT.
Теорема Дональсона-Уленбек-Яу устанавливает
каноническое взаимно-однозначное соответствие
между стабильными голоморфными расслоениями
и инстантонами ("метриками Эрмита-Эйнштейна").
Эта теорема, сама по себе довольно трудная,
лежит в основе теории голоморфных расслоений
и пространств модулей. Я расскажу в общих чертах,
как получить Дональдсона-Уленбек-Яу, исходя из
бесконечномерной симплектической редукции.
Доклад будет введением в миникурс из 2-3
вводных лекций, приуроченных к конференции
по инстантонам 14-18 марта.
Особенных знаний у желающих слушать
не предполагается, но полезно знать,
что есть комплексное многообразие,
симплектическое многообразие, кэлерово
многообразие, голоморфное расслоение
и эрмитова метрика.
Полезная литература:
Martin Lubke, Andrei Teleman,
"The Kobayashi-Hitchin correspondence"
(есть в gen.lib.rus.ec)
Слайды доклада (PDF)
March 11,
Yuri Zarhin (Penn State University)
Гомоморфизмы абелевых многообразий над круговыми расширениями
Мы обсудим варианты гипотезы Тэйта о гомоморфизмах абелевых многообразий над
бесконечыми круговыми расширениями конечно порожденных полей. [1, 2]
March 25, Alexander
Kuznetsov (Steklov Institute)
Исключительные наборы на однородных пространствах
Исключительный набор в производной категории
когерентных пучков на многообразии позволяет эффективно
описывать произвольные объекты, его можно рассматривать
как аналог базиса для векторного пространства. Я расскажу
о новом подходе к старой гипотезе, утверждающей, что
на любом компактном однородном пространстве полупростой
алгебраической группы существует полный исключительный набор.
April 1, Vladimir
Baranovsky (UC Irvine)
Многообразие Чжоу и функтор эффективных циклов
Задача о функториальном определении многообразия Чжоу эффективных
циклов на проективном алгебраическом многообразии X была поставлена
Гротендиком в 60х годах. Будет предложено решение это задачи,
использующее формализм "расслоений пересечения", развитый Делинем
в 80х годах для арифметической версии теоремы Римана-Роха. Подход
работает над полем любой характеристики.
Доклад на следующем семинаре (8.04, В. Барановский "Компактификация
Уленбек как алгебраический стэк")
будет логически зависеть от настоящего.
April 8, Vladimir
Baranovsky (UC Irvine)
Компактификация Уленбек как алгебраический стэк
Известно, что пространство модулей расслоений на алгебраическом
многообразии X некомпактно (начиная с размерности 2). Мы обсудим одну из
компактификаций этого пространства, компактификацию Уленбек, с точки
зрения "функтора модулей", то есть определим обобщения расслоений на
S x X, отвечающие отображению произвольной схемы S в пространство Уленбек.
Для понимания этого доклада лучше примерно помнить о чем была речь на предыдущем
("Многообразие Чжоу и функтор эффективных циклов").
Мы напомним понятие когомологической алгебры Холла, введенной Концевичем и Сойбельманом, и опишем ее структуру в случае симметрического колчана (доказывая гипотезу Концевича и Сойбельмана). Также будет объяснено, как это описание влечет гипотезу Каца (о количестве абсолютно неразложимых представлений колчанов над конечными полями) для колчанов, имеющих хотя бы одну петлю в каждой вершине.
April 22,
Petr Pushkar (HSE)
Теория Морса на многообразиях с краем
April 29,
Petr Pushkar (HSE)
Теория Морса на многообразиях с краем (вторая лекция)
Задачи о поиске и/или доказательстве существования экстремумов функций
лежат в основе нашей науки. Теория Морса (в частности) есть развитие
деятельности в этом направлении.
Морс получил замечательные неравенства на числа критических точек
функции на компактном многообразии с краем. Позже В.И.Арнольд поставил
задачу об оценке числа критических точек продолжения ростка функции
вдоль края многообразия на все многообразие. Оригинальные неравенства
Морса зачастую не дают хороших оценок в задаче Арнольда. Я собираюсь
рассказать как получать хорошие оценки в задаче Арнольда и как
обобщать неравенства Морса для многообразий с краем.
Из анонса первой лекции:
Планируются 2 лекции.
В первой лекции я расскажу о результатах Морса, примере и задаче
Арнольда и начну изучение гомологической алгебры, связанной с строгими
функциями Морса.
May 06,
International Day of Labour: no seminar
May 13,
Andrey Todorov (University of California Santa Cruz)
Global Torelli Theorem for marked and polarized CY
manifolds
and Flat Holomorphic Structures
We will review briefly basic facts about Kodaira-Spencer-Kuranishi Theory.
A description of the construction of
a the moduli space of marked and polarized CY manifold will be given. Then
we will define The Weil-Petersson
holomorphic flat metric, give a description of the flat complex geodesics in
Hodge Theoretical terms. We will
show the analogue of Cartan-Hadamard Theorem, i.e. the complex holomorphic
exponential map is a covering
map. We will construct a canonical family of holomorphic forms and will
outline the proof that the Holomorphic
analogue of Cartan Hadamard Theorem implies that the periods of the family
of holomorphic forms defined an
embedding of the Teichmuller space into the moduli space of Variations of
Polarized Hodge Structures on the
fixed CY manifold. We will translate all these ideas to the language of
Frobenius manifolds.
The constructions are based on the existence and uniqueness of Calabi-Yau
metric. We will briefly discuss
the basic properties of Ricci flat metrics.
We will define the analogue of Torelli group of CY manifold and will explain
the failure of Global Torelli for the
coarse moduli space of CY manifolds.
All the ideas will be briefly described in the case of marked and polarized
Abelian Varieties.
20 мая, А. Л. Городенцев (ВШЭ)
Абелева лагранжева алгебраическая геометрия
По мотивам последних работ А.Н.Тюрина будет рассказано о
полувзвешенных бор-зоммерфельдовых
лагранжевых циклах на симплектическом многообразии M, снабжённом
линейным эрмитовым расслоением L,
кривизна которого рационально пропорциональна симплектической структуре.
Если M допускает интегрируемые келеровы структуры (составляющие
комплексное пространство модулей) и симплектические торические
структуры (т.е. структуры расслоения на вещественные лагранжевы торы
над многогоранником, образующие дискретное множество - вершины некоего
графа Г),
то каждая симплектическая торическая структура выделяет конечный набор
торов полувзвешенных торов
Бора-Зоммерфелда, а каждая клерова структура позволяет связать с
каждым полувзвешенным бор-зоммерфелдовым циклом глобальное голоморфное
сечение расслоения L. Таким образом, вариация келеровой структуры при
фиксированной симплектически-торической задаёт плоскую связность в
расслоении конформных блоков над многообразием модулей комплексных
структур (слоем этого расслоения является пространство H^0(M,L) ), а
изменение симплектоторической структуры при фиксированной кэлеровой
задаёт некую дискретную "теорию поля" на графе Г (вешает на рёбра
линейные операторы, дающие предствление фундаментальной группы графа
Г). На взаймодействие этих двух явлений можно смотреть как на
обобщение уравнения Книжника-Замолодчикова.
27 мая,
Степан Оревков
(МИ РАН им. В.А.Стеклова)
"О распознавании квазиположительных кос"
Коса называется квазиположительной, если она представляется в виде
произведения кос, сопряженных стандартным образующим группы кос.
Задача о распознавании квазиположительных кос естественным образом
возникает в теории плоских алгебраических кривых.
Я постараюсь рассказать обо всех известных мне подходах к решению этой задачи.
June 3,
Fedor Bogomolov
(Courant Institute)
Strong form of Grothendieck section conjecture
for functional fields over $\bar F_p$
More then twenty years ago Grothendieck suggested
Galois theoretic criteria for the existence of
a rational point over a field $k$ on algebraic variety
$X$ defined over $k$. Namely any point
$x_o\subset X$ over $k$ defines a group section
for a natural map surjective map
of the Galois groups $\pi:Gal (bar k(X)/k(X))\to Gal (\bar k/k)$
Grothendieck conjectire asserts that
the existence of a section $s: Gal (\bar k/k) \to Gal (bar k(X)/k(X))$
implies the existence of point $x_0$ for many fields $k$.
Under the assumption that $k= \bar F_p(Y)$ and $\bar F_p(X)$
where $dim Y \geq 2$ a much stronger version of the result
holds.
Theorem: Let $G^c(Y)$ be a pro-$l$-quotient of
$Gal (bar k/k/([Gal\bar k/k),Gal\bar k/k)],Gal\bar k/k])$
and similarly $G^c(X)$, where $l\neq p$.
Assume that $\pi :G^c(X)\to G^c(Y)$ defined by surjective
map $p :X\to Y$ has topological section $s : G^c(Y)\to G^c(X)$.
Then there is a purely inseparable extension
$ k':k$ such that there is a point $x_s$ over $k'$ in $K=\bar F_p(X)$
corresponding to $s$.
10 июня,
Дмитрий Орлов (МИ РАН),
Триангулированные категории в алгебре, геометрии и физике
Будет рассказано про то, как и каким образом
триангулированные категории
появляются в различных разделах математики. Мы постараемся понять, чем
язык триангулированных категорий полезен, и что он дает нам такой подход.
Мы также определим понятие оснащения триангулированных категорий и обсудим
существование и единственность оснащений для большого класса категорий.
Речь пойдет об обобщениях классической теоремы Мебиуса
(1827): непрерывное преобразование проективного
пространства, переводящее прямые в прямые, является
проективным преобразованием. Например, описание локальных
преобразований, переводящих отрезки прямых в дуги
окружностей, очень нетривиально зависит от размерности (в
описании возникают классические геометрии, кватернионные
расслоения Хопфа, представления алгебр Клиффорда) и в
большинстве размерностей неизвестно. Мы обсудим также
отображения, переводящие отрезки прямых в части коник, или
в части плоских кривых.
Вниманию студентов будут предложены исследовательские
задачи с понятными формулировками.
June 24,
Boris Dubrovin,
Фробениусовы многообразия и интегрируемые иерархии
Задача о восстановлении интегрируемых иерархий уравнений в частных
производных навеяна теорией инвариантов Громова-Виттена, где, в
предположении полупростоты квантовых когомологий, инварианты высших
родов восстанавливаются через инварианты рода 0. В докладе будет
изложен подход к задаче восстановления, основанный на простой системе
аксиом так называемых интегрируемых иерархий топологического типа.
Будет объяснена связь такого подхода с формулой Гивенталя для
вычисления полного потенциала Громова-Виттена.
We construct deformations of Fano toric varieties which induce
deformations of Calabi-Yau hypersurfaces realized by complete intersections
in a higher dimensional Fano toric variety. Equivalently, we get a
degeneration of a (minimal) Calabi-Yau complete intersection to a singular
Calabi-Yau hypersurface, which can be blown up to a nonsingular Calabi-Yau.
A geometric transition from a
minimal Calabi-Yau variety to another minimal Calabi-Yau is a contraction
followed by deformation (correspondingly, a degeneration followed by blow
up). Applying Batyrev-Borisov mirror symmetry construction, we found a
geometric transition between the mirror partners of the minimal Calabi-Yau
complete intersection and the minimal Calabi-Yau hypersurface consistently
with the Morrison's conjecture on the existence of the mirror geometric
transitions. Physicists expect that all nonsingular Calabi-Yau 3-folds can
be connected into a single web by geometric
transitions and there is possibly a finite number of distinct nonsingular
Calabi-Yau 3-folds up to deformation. Our construction gives a strong
evidence that all Calabi-Yau complete intersections in toric varieties can
be connected by explicit geometric transitions.
Ross and Thomas introduced the concept of slope stability to study
K-stability, which has conjectural relation with the existence of
constant scalar curvature Kaehler metric. My talk presents a
study of slope stability of Fano manifolds of dimension $n\geq 3$
with respect to smooth curves. The question turns out to be easy
for curves of genus $\geq 1$ and the interest lies in the case of
smooth rational curves. I will show when a polarized Fano manifold
$(X,-K_X)$ is not slope
stable with respect to a smooth curve.
In addition, I will show that a Fano threefold $X$ with Picard number 1 is
slope stable with
respect to every smooth curve unless $X$ is the projective space.
July 15, 2011,
Валерий Алексеев
"Пространства модулей взвешенных конфигураций гиперплоскостей, с приложениями"
Общая тема доклада: обобщение на высшие расмерности пространств
модулей стабильных кривых. В частности, я объясню обобщение
пространства модулей $\bar M_{0, \beta}$ кривых с $n$ точками и весами
$\beta=(b_1,\dotsc,b_n)$. В более высоких размерностях, $\mathbb P^1$
заменяется на проективное пространство $\mathbb P^{r-1}$, а точки
$P_1,\dotsc,P_n$ - на $n$ гиперплоскостей.
Это продолжение старой работы Капранова о Чжоу факторах грассманиана
$Gr(r,n)$. Приложения включают компактификации некоторых компонент
пространств модулей поверхностей общего типа.
"Moduli of weighted hyperplane arrangements, with applications"
The general theme of the talk is a generalization to higher dimensions
of the moduli spaces of stable curves. In particular, I will explain a
generalization of the moduli space $\bar M_{0, \beta}$ of $n$-pointed
stable curves with weights $\beta=(b_1,\dotsc,b_n)$. In the
higher-dimensional version, $\mathbb P^1$ is replaced by a
higher-dimensional projective space $\mathbb P^{r-1}$, and the points
$P_1,\dotsc,P_n$ by $n$ hyperplanes.
This is an extension of an old work of Kapranov on Chow quotients of
the grassmannian $Gr(r,n)$. Applications include compactifications of
some components of moduli spaces of surfaces of general type.
For a complex irreducible projective variety, the asymptotic
cohomological functions were introduced by Kuronya and Demailly to measure
the growth rate of the cohomology of high tensor powers of an invertible
sheaf. These functions have proven to be useful in understanding the
positivity of divisors as well as other geometric properties of the
variety. In this talk I will define a strong vanishing property, called
asymptotic purity, and prove that very general hypersurfaces of P^n x P^n
of bidegree (k,k) have this property. These examples provide evidence for
the truth of a conjecture of Bogomolov concerning asymptotic purity.
August 19,
Jordan Thomas (Courant Institute)
Algebraic hyperbolicity of surfaces of general type
There is a conjecture that complex surfaces of general type have only
finitely many rational and elliptic curves, a property called algebraic
hyperbolicity. (This is one sub-case of more general hyperbolicity
conjectures of Green-Griffiths and Lang). Certain cases of this conjecture
have been proven, usually utilizing the presence of differential 1-forms
(the Bloch theorem) or higher-degree symmetric differentials, as in
Bogomolov's result for surfaces satisfying the Chern number inequality c1^2
> c2. We will discuss Bogomolov's technique and give a brief survey of its
generalizations by McQuillan and Miyaoka.
Unfortunately, the simplest of the surfaces of general type, projective
surfaces in P3 of degree greater than or equal to 5, do not have any
symmetric differentials of any degree. Thus, modified techniques need to be
used. We will briefly discuss what is known for these surfaces using the
existence of higher-order jet differentials and an approach using reduction
to positive characteristic to singular surfaces, which is the subject of
ongoing research.
August 26, Andrey Losev,
От Ходжевого бикомплекса к решениям уравнений ассоциативности (ВДВВ).
Хорошо известно, что стягивание ацикличного подкомплекса в дифференциально
градуированной алгебре индуцирует на оставшемся подкомплексе структуру
бесконечность-алгебры, то есть набор операций, удовлетворяющих
квадратичным соотношениям.
Оказывается, это утверждение имеет интересный аналог для бикомплексов -
стягивание Ходжевого ацикличного бикомплекса в некотором аналоге
дифференциально
градуированной алнебры индуцирует на когомологиях
систему операций, удовлетворяющих уравнениям ассоциативности (ВДВВ).
При этом деревья, описывающие индуцированые операции в случае дифференциально
градуированных алгебр заменяются на сферы с отмеченными точками,
второй дифференциал связан с действием окружности,
а продолжение на компактификацию Делиня-Мамфорда связано с ходжевым
свойством бикомплекса.
Будет обсуждаться также модулярное замыкание, в котором деревья
заменяются на графы,
а сферы с отмеченными точками - на кривые старших родов.
September 16, Marat Rovinsky (HSE and IPPI)
Естественные расслоения и бирациональные инварианты
Под естественным расслоением обычно понимается функтор, сопоставляющий
каждому многообразию X расслоение на X, а каждому морфизму --
согласованное отображение расслоений.
Зафиксируем некоторое поле k и рассмотрим ситуацию, в которой каждому
алгебраическому многообразию X над k (или даже его бирациональному
классу) контравариантным образом сопоставляется конечномерное
векторное пространство V(X) над полем функций многообразия X. Такая
ситуация возникает, например, если V(X) -- пространство рациональных
сечений над
X некоторого естественного векторного расслоения.
Меня интересует обратное: верно ли, что при "достаточно естественных"
предположениях найдётся такое естественное векторное расслоение V, что
V(X) является пространством рациональных сечений V над X?
Я собираюсь объяснить, что это верно, если k -- поле алгебраических чисел.
September 23, Vladimir Zhgoon
(Science Reseach Institute of System Studies)
СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ С ИНВАРИАНТНЫМИ
ЛАГРАНЖЕВЫМИ ПОДМНОГООБРАЗИЯМИ
(совместная работа с Д. Тимашёвым)
Доклад будет посвящен действию редуктивных групп на
симплектических алгебраических многообразиях снабженных отображением моментов
и содержащих инвариантные лагранжевы подмногообразия. Типичный пример
такого действия --
действие редуктивной группы G на кокасательном раслоении
к G-многообразию. В дифференциально-геометрической категории для
действий компактных групп Ли
всякое симплектическое многообразие в окрестности инвариантного лагранжева
подмногообразия устроено как кокасательное расслоение к нему , однако
в алгебро-геометрической
категории это уже не так. Тем не менее, оказывается, что многие
свойства симплектического
G-многообразия M с инвариантным лагранжевым подмногообразием S совпадают
с таковыми у кокасательного расслоения T^*S. В частности, у M и T^*S
совпадает замыкание образа отображения моментов, в терминах которого
выражаются важные симплектические инварианты -- коранг и дефект. Из этого
и результатов Кнопа вытекает, что коранг и дефект многообразия M равны
удвоенной сложности и рангу подмногообразия S, соответственно. В
качестве следствия получается теорема Панюшева о сложности и ранге
конормального расслоения к инвариантному подмногообразию в
G-многообразии. Доказательство основного результата об образе
отображения моментов, основано на известном в алгебраической геометрии
приеме -- деформации к нормальному расслоению.
Теорема Кодаиры утверждает, что каждое кэлерово
многообразие с рациональным кэлеровым классом
проективно, т.е. допускает голоморфное вложение
в CP^n. Аналог этой теоремы существует для
интересного класса комплексных многообразий,
не допускающих кэлеровой структуры. Многообразие
называется локально конформно кэлеровым (ЛКК), если
на его накрытии существует кэлерова форма, причем
отображение монодромии действует как гомотетия.
Такая структура существует на многообразии Хопфа,
которое получено как фактор $\C^n \backslash 0$
по действию линейного автоморфизма с собственными
значениями $>1$ (такое многообразие называется
линейным многообразием Хопфа). Вместе с Ливиу Орнеа,
мы обнаружили, что линейное многообразие Хопфа является
универсальным пространством для ЛКК-многообразий, у которых
зануляется класс когомологий Ботта-Черна (зануление
этого класса равносильно существованию у кэлерова
накрытия автоморфного кэлерова потенциала).
Эта лекция -- вводная к мини-курсу по дифференциальной
геометрии комплексных многообразий, который будет
подготовительным для конференции "Геометрические структуры
на комплексных многообразиях" 3-7 октября.
Следующие две лекции: "Голономии и калибрации"
(суббота) и "Кватернионные структуры" (воскресенье).
О месте и времени проведения этих лекций
будет объявлено на семинаре.
October 14,
Florin Ambro (IMAR)
Division Flow
I will discuss an algorithm to decide the finite generation
of a (multi)graded ring. For N-gradings, it is the analog of Erathostenes'
sieve method. For N^2-gradings, it is the algebraic analog of the
Kahler-Ricci flow.
The division flow breaks up a finitely generated graded ring into its simplest
blocks, a so called linearity fan. I will discuss the properties of
the linearity fan.
One application is to characterize the chambers and walls in the Log Geography
introduced by Shokurov.
October 21,
Сергей Рыбаков (ИППИ)
Группы точек на абелевых поверхностях над конечными полями
Пусть дано гладкое проективное многообразие над конечным полем. У
таких многообразий есть важный инвариант --- точки многообразия,
определенные над конечным полем. Их число всегда конечно. В случае,
когда многообразие абелево, множество точек является конечной
коммутативной группой. Можно попытаться описать группы, которые
реализуются как группы точек абелевых многообразий. Для случая
эллиптических кривых такая классификация получена Цфасманом, а также
независимо Волохом и Рюкком, которые использовали результаты Схофа.
Важно отметить, что в этой классификации многообразия сперва были
разбиты на классы (классы изогении), а потом внутри класса описаны все
возможные группы точек. В случае абелевых многообразий любой
размерности, классы изогении можно классифицировать так. По теореме
Тейта абелевы многообразия изогенны тогда и только тогда, когда у них
совпадают характеристические многочлены автоморфизма Фробениуса на
первых этальных когомологиях. Известно, что это за многочлены в малых
размерностях. Я расскажу про классификацию групп точек на абелевых
многообразиях над конечными полями в терминах этих многочленов при
условии, что у них нет кратных корней. Неформально говоря, это общий
случай. Кроме того, я скажу пару слов про аналогичную классификацию
групп точек на абелевых поверхностях. Все необходимые сведения по
алгебраической геометрии я напомню, а также постараюсь рассказать
побольше примеров.
October 28,
Каринэ Куюмжиян (Лаборатория алгебраической геометрии)
Многообразия с бесконечно транзитивным действием группы
специальных автоморфизмов
Пусть дано аффинное многообразие X и группа его
алгебраических автоморфизмов Aut(X). Действие Aut(X) на X
будем называть бесконечно транзитивным, если для любого m
оно транзитивно на наборах из m попарно различных гладких
точек многообразия. Таких многообразий X относительно
мало. Одним из простейших примеров многообразий, для
которых это действие бесконечно транзитивно, является
аффинное пространство A^n при n>1. Так как с группой
Aut(X) довольно трудно работать, то в доказательствах
ограничимся только т.н. специальными автоморфизмами,
т.е. теми, которые можно выразить в терминах локально
нильпотентных дифференцирований алгебры функций k[X].
В докладе будет рассказано про недавний результат
Аржанцева, Фленнера, Калимана, Кутчебауха и Зайденберга --
связь свойства гибкости со свойством бесконечной
транзитивности действия группы специальных
автоморфизмов. Также будет рассказано про другие примеры
многообразий с этим свойством, построенные в работе
Аржанцева, Зайденберга и докладчика --- невырожденные
аффинные торические многообразия размерности > 1,
нормальные аффинные конусы над многообразиями флагов G/P и
так называемые надстройки над многообразием, уже
обладающим этим свойством. Последняя серия примеров
работает также и над полем R.
Доклад основан на совместной работе с H.Gillet и
А.Овчинниковым, arXiv:1110.3526.
Теория Галуа изучает
группы симметрий решений алгебраических
уравнений. Дифференциальная теория Галуа изучает группы
симметрий решений линейных дифференциальных уравнений. Мы
обсудим параметризованную дифференциальную теорию Галуа,
изучающую группы симметрий решений линейных
дифференциальных уравнений с параметрами. Возникающие
группы Галуа являются дифференциальными алгебраическими
группами, заданными дифференциальными (возможно, не
линейными) уравнениями на функции от параметров. В связи с
этим будут также обсуждены дифференцирования на абелевых
категориях и дифференциальные категории Таннаки.
Цель моего доклада - рассказать, как задача о максимальном числе точек
на кривых над конечными полями естественным образом приводит к вопросу
о выделении якобианов среди абелевых многообразий над незамкнутыми
полями. Над алгебраически замкнутым полем неразложимое
главнополяризованное абелево многообразие размерности, не
превосходящей три, изоморфно якобиану гладкой проективной кривой.
Однако над незамкнутым полем в размерности три задача выделения
якобианов становится нетривиальной. Я покажу, как, используя
модулярные формы на пространствах модулей абелевых многообразий и
кривых, можно доказать критерий, позволяющий ответит на этот вопрос. В
конце я постараюсь рассказать о возможных обобщениях этого подхода на
случай большей размерности. Доклад основан на совместной работе с G.
Lachaud и C. Ritzenthaler.
November 25, George Shabat (РГГУ, МГУ и Независимый
Университет)
Введение в теорию пар Белого
Пара Белого состоит из гладкой полной неприводимой кривой над
алгебраически замкнутым полем и непостоянной рациональной функции на
ней, имеющей не более трёх критических значений. Если отождествить
рациональные функции на кривой с накрытиями проективной прямой, то
пара Белого представляет собой такое накрытие, неразветвлённое вне
трёх точек (у всех точек, кроме трёх, одинаковое количество
прообразов).
Над полем комплексных чисел пара Белого изображается так называемым
"детским рисунком" -- графом на римановой поверхности, составленном из
прообразов дуг, соединяющих критические точки на римановой сфере.
Нетрудно понять, что пара Белого восстанавливается по своему детскому
рисунку; поэтому существует не более счётного множества комплексных
пар Белого. Это не удивительно: "лёгкая теорема Белого" утверждает,
что любая комплексная пара Белого определяема над полем алгебраических
чисел. Для тех, кто продумал основы алгебраической геометрии, эта
теорема почти очевидна.
"Трудная теорема Белого" утверждает, что на каждой кривой над полем
алгебраических чисел существует функция Белого. Её доказательство
будет намечено.
Будут приведены примеры, поставлены вычислительные задачи и
сформулированы открытые вопросы, включая возможные обобщения описанных
конструкций.
December 2,
Vyacheslav Shokurov (JHU и МИРАН)
Строгая рациональная связность торических многообразий
Будет обьяснено, что такое
строгая рациональная связность,
чем она отличается от обычной
рациональнои связности, когда
ожидается, и почему выполнена для
торических многообразии.
December 9,
Anton Zorich (IRMAR, Universitè de Rennes)
"Показатели Ляпунова расслоения Ходжа вдоль
тейхмюллерова геодезического потока."
(Антон Зорич, Максим Концевичем и Саша Эскин)
Играя в бильярд в рациональным многоугольнике, работая со
слоениями на поверхности, допускающими трансверсальную меру,
или перекладывая отрезки, бывает очень удобно свести задачу к изучению
геометрии соответствующей поверхности, наделенной плоской метрикой
с коническими особенностями. Особенно плоские метрики
(те, у которых голономия тривиальна) - это то же самое, что Абелевы
дифференциалы
на римановой поверхности. Оказывается, что геометрия индивидуальной очень
плоской поверхности во многом определяется тем, как ведет себя
комплексная тейхмюллерова геодезическая проходящая через соответствую
точку пространства модулей Абелевых дифференциалов. Только что
Мариам Мирзахани и Саша Эскин доказали, что любое такое замыкание -
исключительно симпатичный орбифолд.
В первой части доклада я попробую дать представление об этой науке.
Во второй части я расскажу о нашей новой совместной работе с Концевичем
и Эскиным
про показатели Ляпунова расслоения Ходжа, то есть про собственные числа
матрицы средней монодромии расслоения Ходжа. Для самымых больших и
самых маленьких орбифолдов их иногда удается посчитать.
December
16, Степан
Оревков (МИ РАН им. В.А.Стеклова)
"Классификация систем ортогональных полиномов от двух
переменных"
Системой ортогональных полиномов в области принято называть множество
собственных функций некоторого самосопряженного дифференциального оператора
второго порядка на области $D$, такого, что пространство многочленов
степени не выше данной инвариантно относительно этого оператора.
На прямой такие операторы есть в любой области. Таким образом строятся
многочлены Якоби (если область -- отрезок), Лагерра (если область --
полупрямая) и Эрмита (если область -- вся прямая).
На плоскости годится не каждая область. В докладе я расскажу, как описать
все области, которые допускают построение системы ортогональных многочленов.
Основной инструмент, используемый при решении этой задачи, -- проективная
двойственность и формулы Плюккера, определяющие некоторые соотношения между
характеристиками кривой и ее двойственной.
December
23,
Юрий Прохоров (МИ РАН им. В.А.Стеклова)
Подгруппы групп Кремоны
Группа Кремоны $Cr_n(k)$ -- это группа автоморфизмов поля рациональных
функций $k(t_1,\dots,t_n)$.
Цель моего доклада -- рассказать о геометрическом подходе к классификации
(в основном конечных) подгрупп в $Cr_n(k)$.
Будут приведены многочисленные примеры и сформулированы открытые вопросы.