Laboratory of algebraic geometry: weekly seminar

Archive (2016)

( 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 )

January 15, 2016: Александр Буфетов (ВШЭ, МИРАН, Aix-Marseille)
"Предельные теоремы для потоков переноса"

We obtain an asymptotic expansion for ergodic integrals of translation flows on flat surfaces of higher genus and give a limit theorem for these flows http://arxiv.org/abs/0804.3970v4

January 22, 2016: Dmitry Doryn (IBS, Pohang)
Feynman periods: numbers and geometry.

I will speak on the Feynman periods, the values of Feynman integrals in (massless, scalar) phi^4 theory, from the number-theoretical perspective. Then I define a closely related geometrical object, the graph hypersurface. One can try to study the geometry of these hypersurfaces (cohomology, Grothendieck ring, number of rational points over finite fields) and to relate it to the periods. The most interesting results come out from the study of the c_2 invariant (on the arithmetical side).

January 29, 2016: Александр Элашвили (Тбилиси)
О комбинаторике лиандрических чисел типа А_n

В докладе будет рассказано о происхождении лиандрических чисел, связанном с алгебрами Ли, дано их определение. Также будет рассказано об успехах и неуспехах в их вычислении и сформулированы гипотезы об их асимптотическом поведении.

February 5, 2016, 15:30: Дмитрий Зубов (ВШЭ)
"Эргодические свойства преобразований Вершика"

Рассмотрим конечный ориентированный граф с фиксированным числом вершин m, такой что у всякой его вершины есть как входящее, так и выходящее ребро (разрешаются также кратные рёбра). Последовательность Г_n таких графов можно представить в виде градуированного графа G. Марковским компактом X называется множество путей в G.

Линейный порядок на множестве рёбер, выходящих из данной вершины, задаёт поток на листе асимптотического слоения, образованного множествами путей с фиксированным бесконечным концом. Эта конструкция даёт, в частности, символическое кодирование потоков переноса на плоских поверхностях.

А.И. Буфетовым была получена асимптотика интегралов вдоль листов асимптотических слоений в терминах гёльдеровых конечно-аддитивных мер.

Докладчик, следуя работам Дж.Форни и Марми-Муссы-Йоккоза, исследовал вопрос о равномерной ограниченности эргодического интеграла и дал достаточные условия существования ограниченного решения когомологического уравнения.

February 5, 2016, 17:00: Дмитрий Каледин (МИАН, ВШЭ)
Hodge-to-de Rham degeneration.

Я расскажу о коммутативной и некоммутативной спектральной последовательности Ходжа-де Рама и о том, как доказывать ее вырождение методом Делиня и Иллюзи. В принципе, я уже рассказывал на семинаре если не всю эту историю, то уж точно ее большую часть; но наверное невредно все подытожить и свести воедино -- тем более, что оно теперь все доступно в качестве препринта. Разумеется, никакого знакомства ни с предыдущими своими рассказами, ни с методом Делиня-Иллюзи я предполагать не буду, а все необходимое напомню по ходу дела.

February 12, 2016, 17:00: Алексей Глуцюк (HSE and ENS Lyon)
О языках Арнольда в модели эффекта Джозефсона, голоморфных решениях уравнения Гойна и детерминантах из модифицированных функций Бесселя.

Рассматривается семейство дифференциальных уравнений на торе, моделирующее эффект Джозефсона из сверхпроводимости. Исследуются зоны фазового захвата: множества уровня числа вращения (имеющего смысл среднего напряжения за длинный интервал времени), имеющие непустую внутренность. Оказывается, что в отличие от классической картины языков Арнольда, в рассматриваемом семействе зоны захвата существуют только для целых значений чисел вращения (замечено и доказано В.М.Бухштабером, О.В.Карповым и С.И.Тертычным и чуть позднее доказано Ю.С.Ильяшенко). Известно, что каждая зона захвата является бесконечной цепочкой областей на плоскости, разделенных перемычками и уходящими на бесконечность, границы областей имеют Бесселеву асимптотику (замечено физиками С.Шапиро, А.Янусом и С.Холли (1964 г.) и недавно доказано А.В.Клименко и О.Л.Ромаскевич). Рассматриваемое семейство уравнений на торе эквивалентно семейству голоморфных линейных дифференциальных уравнений второго порядка на сфере Римана: биконфлюэнтных уравнений Гойна.

В докладе будет сделан обзор открытых вопросов и результатов о геометрии зон захвата, с рассказом о геометрических результатах, полученных комплексными методами. В частности, об описании координат перемычек, по работам В.М.Бухштабера, С.И.Тертычного, В.А.Клепцына, Д.А.Филимонова, И.В.Щурова и докладчика. С акцентом на недавнюю работу В.М.Бухштабера и докладчика, в которой получен новый результат о детерминантах из модифицированных функций Бесселя, доказывающий гипотезу Бухштабера--Тертычного о частичном описании ординат перемычек.

February 19, 2016, Игорь Крылов (Edinburgh)
Рационально связные многообразия, которые не бирациональны многообразиям типа Фано.

Многообразия типа Фано - многообразия, на которых существует граница, для которых они - лог Фано. Кольца кокса этих многообразий конечно порождены, поэтому многообразия типа Фано ведут себя очень хорошо относительно прогаммы минимальных моделей. Также известно, что многообразия типа Фано рационально связны. Используя техники программы минимальных моделей и бирациональной жёсткости я покажу, что бирациональные классы многообразий типа Фано и рационально связных многообразий не эквиваленты в размерности 3 и выше.

February 26, 2016, Дмитрий Алексеевский (ИППИ и University of Hradec Kralove)
"Проблема стабильности в нейрогеометрии зрения"

Как обнаружил Ярбус, даже при фиксации глаза на объекте, он участвует как минимум в трех видах движений - треморе, дрейфе и микросаккадах. Это означает, что проекция изображения на сетчатку все время преобразуется. Будет объяснено, что эти преобразования можно рассматривать как конформные преобразования из группы Мебиуса. Проблема инвариантности восприятия образов относительно таких преобразований называется проблемой стабильности. В докладе будет обсуждаться модели примарной зрительной коры, основанные на контактной, симплектической и конформной геометрии и их применение к проблеме стабильности.

March 04, 2016, Николай Мощевитин (МГУ)
О некоторых решенных и нерешенных задачах теории диофантовых приближений

Хорошо известно, что многие задачи теории одномерных диофантовых приближений (то есть, задачи, связанные с исследованием закономерностей приближения вещественного числа рациональными числами) могут быть решены благодаря наличию аппарата непрерывных дробей. Когда же речь заходит о аналогичных задачах, связанных с многомерными диофантовыми приближениями, оказывается, что естественного многомерного обобщения аппарата непрерывных дробей придумать не удается. В какой-то мере это связано с новыми геометрическими феноменами, возникающими в многомерной теории. Одним из этих феноменов является явление вырождения размерности наилучших диофантовых приближений, открытое автором в 1996-1997 годах и восходящее к работам А.Я.Хинчина, В. Ярника, Г. Давенпорта и В. Шмидта.

В докладе будет рассказано о некоторых классических и новых задачах и теоремах, связанных с одномерными и многомерными задачами. В частности, будут обсуждаться

March 9 (Wednesday), 2016, 18:30, room 1001, Gueo Grantcharov (FIU, Miami):
On some examples of special non-Kaehler metrics

We consider two types of non-Kaehler metrics -- balanced and astheno-Kaehler. There is an opinion that a compact complex manifold can not admit both, even if they are different. We provide examples on twistor spaces and homogeneous manifolds, which partly support such an opinion.

March 11, 2016, Иван Дынников (МГУ)
Дискретизация комплексного анализа

Я сделаю небольшой обзор существующих подходов к построению дискретных аналогов голоморфных функций на комплексной плоскости и расскажу о нашем совместном подходе с С.П.Новиковым. Речь в основном пойдет о функциях на двумерных решетках. При дискретизации условий Коши-Римана может возникать эффект удвоения размерности - дискретных голоморфных функций оказывается "вдвое больше", чем хотелось бы. При нашем подходе этого эффекта нет за счет того, что мы рассматриваем вещественные функции на решетке, но возникает другая проблема - нет естественного оператора умножения на мнимую единицу. Недавно я заметил, что для большого класса дискретных голоморфных функций эта проблема устраняется, умножение на i определяется канонически требованием инвариантности относительно сдвигов на векторы решетки.

March 18, 2016, Евгений Смирнов (ВШЭ, НМУ)
Хордовые диаграммы

Хордовые диаграммы -- один из центральных объектов теории инвариантов Васильева узлов. Они порождают алгебру Хопфа, называемую биалгеброй хордовых диаграмм и играющую важную роль при описании инвариантов Васильева. У хордовых диаграмм имеется обобщение: ленточные графы. Для них тоже есть понятие четырехчленного соотношения, однако структуру алгебры Хопфа на них ввести уже не удается. Для хордовых диаграмм есть понятие матрицы пересечений. Мы обобщаем это понятие на ленточные графы: аналогом матрицы пересечений при этом оказывается лагранжево подпространство в 2n-мерном симплектическом пространстве, где n -- число рёбер ленточного графа. Оказывается, что такие объекты также образуют алгебру Хопфа (это наш совместный результат с В.А.Клепцыным). Неожиданным образом, та же самая алгебра Хопфа возникает в недавней работе В.Жукова и С.К.Ландо, посвященной весовым системам дельта-матроидов.

March 25, 2016, Alexei Pirkovskii (HSE)
Квантовый полидиск, квантовый шар и q-аналог теоремы Пуанкаре

Классическая теорема Пуанкаре (1907) утверждает, что полидиск и шар в $C^n$ не являются биголоморфно эквивалентными при n>1. На двойственном языке это означает, что алгебры голоморфных функций на полидиске и шаре не изоморфны друг другу. Я расскажу про некоммутативный аналог этого результата. Попутно мы обсудим, что такое свободный полидиск и свободный шар, поговорим о голоморфных деформациях топологических алгебр и об их связи с формальными деформациями, а также (при наличии времени) затронем вопрос о том, на какие объекты можно пробовать смотреть как на некоммутативные аналоги пространств Штейна.

March 30, 2016, 18:30 (Wednesday), Hamid Ahmadinezhad (Bristol)
Birational classification of 3-fold Fano-Mori spaces; a new outlook.

Abstract: I will give an overview of the geometry of Fano 3-folds after Mori theory. After discussing past approaches to the classification, I will highlight why such attempts seem hopeless. Building on recent advances in the geometry of Fanos, I introduce a new viewpoint on the classification problem. A main emphasis will be given to the unpredicted behaviour of the first examples of non-complete intersection biratinally rigid Fanos, discovered in a joint work with Takuzo Okada. I will also talk about the other end of the spectrum, the rational Fanos.

April 1, 2016, 17:00, Михаил Фейгин (Glasgow University)
V - системы

V-системы - это специальные конфигурации векторов определяемые в линейно-алгебраических терминах. Они были введены Веселовым в конце 90х в связи с теорией фробениусовых многообразий. V-системы обобщают кокстеровские системы корней. Класс V-систем замкнут относительно естественных операций взятия подсистем и проекций. Помимо этих свойств известен ряд примеров V-систем, но классификация отсутствует. Объяснив эти результаты, я также планирую обсудить более недавнее изучение специального подкласса гармонических V-систем. Доклад основан на совместных работах с А.П. Веселовым.

April 8, 2016, 17:40, room 1001, Christian Liedtke (Technische Universität München),
Good Reduction of K3 surfaces

By a classical theorem of Serre and Tate, extending previous results of Neron, Ogg, and Shafarevich, an Abelian variety over the field of fractions K of a local Henselian DVR has good reduction if and only if the Galois action on its first l-adic cohomology is unramified ("no monodromy"). We show that if the Galois action on second l-adic cohomology of a K3 surface over K is unramified, then the surface admits an ``RDP model'', and good reduction (that is, a smooth model) after a finite and unramified extension. (Standing assumption: potential semi-stable reduction.) Moreover, we give examples where such an unramified extension is really needed. This is joint work with Yuya Matsumoto.

April 15, 2016, "Topology day in HSE"

14.00-14.50 И.А.Дынников Прямоугольные диаграммы и выпуклые поверхности в смысле Жиру

15.00-15.50 А.А.Гайфуллин Топологические свойства симплициальных комплексов, соответствующих симметрическим матрицам ограниченного ранга, и гипотеза кузнечных мехов.

15.50-16.30 Кофе-брейк (буфет на 10 этаже)

16.30-17.20 Р.Н.Карасев Кратности отображений и конфигурационные пространств

17.30-18.20 М.Э.Казарян Комплекс Васильева и характеристическая спектральная последовательность

April 22, 2016, 17:00, room 1001, Marco Mazzucchelli (CNRS, ENS de Lyon)
On the multiplicity of isometry-invariant geodesics.

Abstract: The problem of isometry-invariant geodesics, introduced by K. Grove in the 70s, is a generalization of the closed geodesics one: given an isometry of a closed Riemannian manifold, one looks for geodesics on which the isometry acts as a non-trivian translation. In this talk, after recalling the framework of the problem, we present a few new multiplicity results on certain classes of Riemannian manifolds. We will also discuss a contact-geometric generalization: the existence problem for Reeb orbits that are invariant under a strict contactomorphism. Part of the talk is based on a joint work with Leonardo Macarini.

April 26, 2016 (Tuesday), 18:30, room 1001, Daniil Rudenko (HSE),
Goncharov conjectures and functional equations for polylogarithms

Classical polylogarithms and functional equations which these functions satisfy have been studied since the beginning of the 19th century. Nevertheless, the structure of these equations is still understood very poorly. I will explain an approach to this subject, based on the link between polylogarithms and mixed Tate motives.

A substantial part of the talk will be devoted to the explanation of this link, provided by Goncharov Conjectures. After that, I will present some results about functional equations which can be proved unconditionally. If time permits, I will finish with another application of this circle of ideas to scissor congruence theory.

April 27, 2016 (Wednesday), 18:30, room 1001, Alexander Tikhomirov(HSE),
On the geography of the moduli space of semistable rank two sheaves on projective space

We study the Gieseker-Maruyama moduli space M(n)=M_{P^3}(2;0,n,0) of semistable rank two coherent sheaves with Chern classes c_1=c_3=0 and c_2=n>0 on the projective space P^3. It contains as an open subset the moduli space M*(n) of rank two stable vector bundles with c_1=0 and c_2=n on P^3. In 1988 L.Ein showed that the number of irreducible components of M*(n) is unbounded as n grows.However, M(n) contains also irreducible components having non-locally free sheaves as their generic points. The first example of this phenomenon for n=2 was found by G. Trautmann and J. Le Potier in 1993. The aim of this talk is to provide an explicit construction of a big number of new irreducible components of M(n) having as their generic points the sheaves with 0-dimensional and 1-dimensional singularities, respectively. We show that in both cases the number of such components is unbounded as n grows. T his is a joint work with M. Jardim and D. Markushevich.

О географии пространства модулей полустабильных пучков ранга 2 на проективном пространстве

Исследуется пространство модулей Гизекера-Маруямы M(n)=M_{P^3}(2;0,n,0) полустабильных когерентных пучков ранга 2 с классами Черна с_1=с_3=0 и c_2=n>0 на проективном пространстве P^3. Оно содержит в качестве открытого подмножества пространство модулей M*(n) стабильных векторных расслоений ранга 2 на P^3. В 1988 г.Л. Эйн показал, что число неприводимых компонент в M*(n) не ограничено с ростом n. Однако, пространство M(n) содержит также неприводимые компоненты, общие точки которых соответствуют не локально свободным пучкам. Первый пример этого феномена для n=2 был найден Г. Траутманном и Ж. Ле Потье в 1993 г. Цель настоящего доклада --- дать явную конструкцию большого числа новых компонент в M(n), имеющих в качестве общих точек пучки с соответственно 0-мерными и 1-мерными особенностями. Мы показываем, что в обоих случаях число построенных нами компонент не ограничено с ростом n. Это совместная работа с М. Жардимом и Д. Маркушевичем.

April 29, 2016 (Friday), 17:00, room 1001, Pierre Cartier (IHES, France),
Jet spaces and Witt vectors, an analogy

We shall describe a new inductive construction of jet spaces of curves in a manifold . Using the analogy from Witt vectors with jet spaces in a p-adic world , developed by A. Buium , we propose an new inductive construction of the rings of Witt vectors of finite length.

May 6, 2016 (Friday), 17:00, room 1001, Misha Verbitsky (HSE),
Факторы Кобаяши и эргодические комплексные структуры.

Псевдометрика Кобаяши на комплексном многообразии M есть супремум всех метрик таких, что любое голоморфное отображение из диска с метрикой Пуанкаре в M сжимающее. Две точки эквивалентны по Кобаяши, если расстояние между ними 0. Фактор Кобаяши - метрическое пространство классов эквивалентности по Кобаяши. Псевдометрика Кобаяши финслерова и комплексно-инвариантная, но фактор Кобаяши -- не обязательно комплексное многообразие: он может быть довольно причудлив. Тем не менее, фактор Кобаяши -- бирациональный инвариант комплексного многообразия, с которым удобно работать, потому что на нем есть естественная метрика, инвариантная относительно автоморфизмов. Эргодическая комплексная структура есть комплексная I структура на M, такая, что в пространстве деформаций М найдется плотное семейство комплексных структур, изоморфных I. В совместной работе с товарищами Fedor Bogomolov, Ljudmila Kamenova, Steven Lu, мы доказали, что фактор Кобаяши любых эргодических комплексных структур изометричен. Доказательство использует полезные соображения метрической геометрии, и должно быть понятно студентам, знающим метрическую геометрию (даже первокурсникам), а все остальное потребует небольшого знакомства с комплексными многообразиями.

May 13, 17:00, Anton Ayzenberg (HSE)
Алгебры Стенли-Райснера симплициальных многообразий.

Конечному симплициальному комплексу можно сопоставить коммутативную алгебру - алгебру граней (алгебру Стенли-Райснера). Это сопоставление позволяет переводить комбинаторные задачи о триангуляциях на алгебраический язык и решать их алгебраическими методами. Известно, что алгебра граней триангулированной сферы является алгеброй Коэна-Маколея, что в свое время позволило доказать гипотезы о неотрицательности и о верхней границе для h-чисел сфер. Теория алгебр граней для триангуляций произвольных многообразий оказалась более сложной. Она приобрела относительно завершенный вид лишь в недавних работах Новик-Шварца, которые построили определенную фактор-алгебру алгебры граней, являющуюся алгеброй Пуанкаре. Я планирую рассказать о топологической и геометрической интерпретациях этой алгебры, связанных с мульти-веерами и многообразиями с действием тора.

May 20, 17:00, Anatoly Vershik (PDMI)
How to classify the filtrations, --- e.g. the decreasing sequences of sigma- algebras or algebras

The Classification of the filtrations appears in the theory of dynamical systems, statistical physics, theory of stochastic processes and in classical analysis. This is the art of general problem: how to make the link between classification of finite faminlies of the pbjects and classification of infinite families. The main question: what one must add to the set of finite invariants and when we do not need the new invarinats. Classical example of the case of absense of new infinite invariants is Kolmogorov's (1933) zero-one law for Bernoulli scheme. But very often we need in the "highest" invariants. I will tell about this problem in the framework of asymptotic studies of combinatorics and probability theory. No special knowledge is needed for understanding of this talk.

May 27, 2016, Alexander Kolesnikov (HSE)
Hessian metrics related to mass transportation problem. Applications to geometry and analysis

The Monge-Kantorovich optimal mass transporation problem has numerous applications in analysis, probability, and PDE's. We will talk about its interplay with the differential geometry, focusing the metric properties of the related Hessian space with convex potential solving the corresponding real Monge-Ampere equation. We discuss recent extensions of some classical results on the Kaehler-Einstein equation and explain the motivation coming from convex geometry and probability.

June 3, 2016, Alexander Shapiro (UC Berkeley)
Clusters, quantum groups, and half-Dehn twists

*Abstract: *A quantum cluster (or quantum torus) is an algebra over C(q) with q-commuting generators. Various embeddings of quantum groups into quantum tori have been studied over the past twenty years in relation with modular doubles, quantum Gelfand-Kirillov conjecture, and construction of braided monoidal categories. In a recent paper by K. Hikami and R. Inoue, such an embedding of the quantum group U_q(sl_2) was used to relate the corresponding R-matrix with quantum cluster mutations and half-Dehn twists.

I plan to explain how to generalize the results of Hikami and Inoue to U_q(sl_n). The quantum group is embedded into the tensor square of the quantized categorification space of 3 flags and 3 lines in C^n. This embedding uses the combinatorics of m-triangulations and the notion of amalgamation introduced by V. Fock and A. Goncharov. I also plan to show how the conjugation by the R-matrix can be expressed via a sequence of cluster mutations. If time permits, I will speculate on potential applications and generalization to quantum groups of other types.

This is based on a joint work in progress with Gus Schrader.

June 10, 2016, Friday, 17:00: Vladimir Rubtsov (HSE)
"Polynomial Poisson sructures, Elliptic Algebras, Heisenberg group and Cremona transformations"

We shall discuss some aspects of polynomial Poisson structures on $C^n$ with $n = 3,4,5$. The quasi-classical limit of the famous elliptic Sklyanin algebra is a particular important example of such structures. We shall discuss the Heisenberg group invariancy and unimodularity of elliptic Poisson algebras. The case of $n=5$ is of a special interest because of presence of two non-isomorphic families of elliptic algebras (Odesskii-Feigin). Their relation with Cremona transformations in $\mathbb P^4$ is described.

June 15, 2016, Wednesday, 17:00 Semyon Alesker (Tel-Aviv)
Кватернионный оператор Монжа-Ампера, его свойства и приложения

Валюации на выпуклых множествах -это конечно аддитивные меры на них. Такие валюации много изучались в выпуклой геометрии. Особый интерес представляют непрерывные в метрике Хаусдорфа валюации. В первой части доклада я напомню некоторые свойства классических вещественного и комплексного операторов Монжа-Ампера, а затем расскажу, как они используются для построения непрерывных валюаций. Затем я введу новый объект: кватернионный оператор Монжа-Ампера. Его конструкция использует некоммутативные детерминанты. Он обладает рядом хороших аналитических свойств, аналогичных вещественному и комплексному случаю. Этот оператор тоже может быть использован для построения новых примеров непрерывных валюаций на выпуклых множествах. Если останется время, я расскажу о кватернионных уравнениях Монжа-Ампера (кватернионнные аналоги гипотезы Калаби, задачи Дирихле)

June 17, 2016, Осип Шварцман (ВШЭ)
Гладкость факторпространства трубы будущего по арифметической группе ее аффинных преобразований
(по совместной работе с Э.Б Винбергом)

Пусть Г - арифметическая группа аффинных автоморфиз- мов n-мерной трубы будущего T . В работе доказывается, что факторпро- странство T / Г гладко в бесконечности тогда и только тогда, когда груп- па d Г порождается отражениями и фундаментальный многогранный конус ("камера Вейля") группы d.Г. в конусе будущего является симплициальным конусом (что возможно только при n < 10). Следствиями этого результа являются: а) критерий гладкости компактификации Сатаке-Бейли-Бореля арифметического фактора симметрической области Картан IV, б) отсутствие свободных алгебр автоморфных форм для неравномерных решеток ,действующих в области Картан IV размерности n>10.

June 24, 2016, Friday, 17:00: Алексей Пенской (ВШЭ, НМУ, МГУ, Laboratoire J.-V.Poncelet)
Задача геометрической оптимизации собственных значений оператора Лапласа

Задача геометрической оптимизации собственных значений оператора Лапласа - одна из классических задач спектральной геометрии, восходящая к вопросу Лорда Рэлея "барабан какой формы производит самый низкий звук среди барабанов данной площади?" из его классической книги "Теория звука" (1877-1878). Оказывается, что эта задача (и ее современные обобщения) связана естественным образом как с другими классическими задачами спектральной геометрии, так и с такими областями математики, как дифференциальная геометрия, алгебраическая геометрия, алгебраическая топология, функциональный анализ.

July 1, 2016, Friday, 17:00: Fedor Bogomolov (Courant Institute and HSE)
"Elliptic curves and unramified correspondences"

We define two different ( but related) notions of dominance. We will mostly consider them for curves defined over number fields of $\bar F_p$ though they can be defined for curves over any field Definition 1 For a curve $C$ of genus $g \geq 2$ we will say that $C$ is dominant over $C'$ if there is an unramified covering $\tilde C$ of $C$ with a surjection onto $C'$.

In the case of elliptic curves we have a different notion ( assuming $p\neq 2$ ) There is a involution $x\to -x$ on elliptic curve $E$ if we fix $0$ anthe quotient of this involution is $P^1$. Thus we have projection map $p: E\to P^1$ of degree $2$ with $4$ branch points $(a,b,c,d)$ corresponding to points of order $2$ on $E$. Such a map is unique modulo projective autmorphism of $P^1$. Vice versa we can associate to any quadruple of points in $P^1$ modulo projective autmorphism of $P^1$ unique elliptic curve $E$ modulo isomorphism. Moreover since the curve $E$ is an abelian group we can also define the subset $P_E(tors)\subset P^1$ which is the image of torsion points in $E$ in $P^1$.

Defintion 2 We will say that $E$ dominates $E'$ if $E'$ corresponds to a quadruple of points contained in $P_E(tors)$.

In my talk I will the relation between these two notions and nontrivial results relating them.

The talk is based on my works with Yuri Tschinkel and our more recent results with Hang Fu and Jin Qian.

August 12, 2016, Hiroshi Iritani (Kyoto)
Mirror symmetry for toric varieties

Abstract: Abstract: Seidel representation associates to a Hamiltonian circle action on a symplectic manifold an invertible element in the quantum cohomology. This can be lifted to the action on quantum D-module and is called "shift operators". In this talk, I will explain how mirrors of toric varieties can be constructed via Seidel representation and shift operators tautologically in Gromov-Witten theory.

August 19, 2016, Kyusik Hong (KIAS)
On factorial nodal hypersurfaces in P^4.

I will talk about the factoriality of a nodal hypersurface in P^4. For instance, the factoriality of a nodal quartic hypersurface in P^4 is strongly related to the rationality problem. In particular, I formulate a conjecture which would answer the factoriality problem of nodal hypersurfaces in P^4; the conjecture holds for some cases.

August 26, 2016, Andrey Soldatenkov (University of Bonn)
IHS manifolds and sheaves on cubic 4-folds.

It is well known that the variety of lines on a cubic 4-fold X is an irreducible holomorphic symplectic (IHS) manifold. More recently Lehn et. al. have constructed another IHS manifold Z which is related to the variety of twisted cubics on X. We will discuss how to describe an open subset of this manifold in terms of moduli spaces of sheaves on X. We will see that the existence of symplectic form on Z is related to the structure of the derived category of X. The talk will be based on a joint work with E. Shinder.

September 2, 2016, Alexander Beilinson (Chicago)
Сингулярный носитель и характеристический цикл конструктивных пучков

Понятия сингулярного носителя и характеристического цикла естественно появляются в теории D-модулей; их важность обусловлена тем, что они несут в себе локальную информацию об Эйлеровой характеристике. Эти понятия можно перенести на конструктивные пучки на комплексных многообразиях используя соответствие Римана-Гильберта. Чисто топологическиеская теория изложена в книге Кашивары и Шапира "Пучки на многообразиях" использующей трансцендентные методы. Для этальных пучков на многообразиях над полем любой характеристики теория была построена в недавних работах Такеши Сайто и докладчика. О них и будет рассказано.

Wednesday, September 7, 2016, Богда Завьялов (Stanford)
p-делимые группы и введение в теорию Ходжа.
extra session: 18:30, room 306

Классическая теория Ходжа утверждает, что на когомологиях гладкого проективного комплексного многообразия имеется разложение Ходжа. Я расскажу аналог этого утверждения дл я многообразий над p-адическими числами. А именно, следуя классической статье Тейта, я пос трою разложение Ходжа--Тейта на абелевых многообразиях с хорошей редукцией. Доказательство использует теорию p--делимых групп, которой я и собираюсь посвятить большую часть доклада.

September 9, 2016, Boris Kruglikov (Tromsø)
Субмаксимально симметричные кватернионные пространства.

Во многих геометриях размерности алгебр симметрий допускают лакуны, т.е. имеются запрещенные размерности. Для комплексных и вещественных нормальных (максимально некомпактных) параболических геометрий размеры лакун (дырок) были определены в совместной работе автора и Денниса Тэ. Но кватернионная геометрия не попадает под эту теорию, и в ней нужны некоторые новые идеи. В частности, замена теореме Бореля о неподвижной точке. Я расскажу как строить кватернионные геометрии с субмаксимальной симметрией в зависимости от значения гармонической кривизны (кручение или, собственно, кривизна), а также о связях с проективной и с-проективной геометрией. Работа выполнена совместно с Хенриком Винтером и Ленкой Залабовой. Предполагаются только базовые знания из (неметрической) дифференциальной геометрии и теории представлений алгебр Ли.

September 16, 2016, Andrzej Szczepanski (Gdansk)
Hantzsche-Wendt manifolds

There are a flat Riemannian manifolds of odd dimension n with holonomy group (\Z_2)^{n-1}. From Bieberbach theorems its fundamental group G is torsion free and defines a short exact sequence 0--->\Z^n----->G----->(\Z_2)^{n-1}---->, where \Z^n is a maximal abelian in G. This class of manifolds (groups) has many very interesting properties: I would like to present some introduction to this class of flat manifolds.

September 23, 2016, Юрий Элияшев
Геометрия обобщённых амёб

Амебой гиперповерхности F(z)=0 в комплексном алгебраическом торе называется её образ при логарифмическом отображении Log (z_1,...,z_n) = (log|z_1|,...,log|z_n|). Оказывается, геометрия амёбы может быть описана в терминах многогранника Ньютона многочлена F(z), кроме того она тесно связана с геометрией тропических многообразий. Недавно И.М. Кричевер предложил обобщение понятия амёбы на случай комплексных многообразий размерности 1 снабженных дополнительной структурой. В моём докладе я расскажу про многомерные обобщенные амёбы, их геометрические свойства и объекты возникающие в процессе их изучения.

September 30, 2016, Dima Kaledin (MIRAS)
Witt vectors, commutative and non-commutative

Witt vectors W(A) of a commutative ring A were discovered 80 years ago, but they still pop up in unexpected places and are the subject of continuous research. One question that has been solved only recently is how to generalize Witt vectors to the case when A is not commutative. I am going to review the classical theory, and then show how a very natural modification leads to the non-commutative case.

October 5, 2016, (Wednesday), 18:30, room 306: Fedor Bogomolov
Fedor Bogomolov, Affine structures and VII_0 surfaces

Fedor Bogomolov, Affine structures and VII_0 surfaces In my talk I will describe the main steps of the proof of the following result: If $X$ is a VII_0 surface with $b_2=0$ then it's tangent bundle contains a subbundle of rank $1$ and hence it is either Hopf or Inoue surface. The proof is based on the study of surfaces with affine structures. The latter means the existense of a covering by compact balls with coordinates such that holomorphic transofrms of the coordinates between intersecting balls are affine.

October 7, 2016, Jihun Park (Pohang University of Science and Technology)
Product theorem for K-stability

After the Yau-Tian-Donaldson conjecture concerning the existence of Kahler-Einstein metrics on Fano manifolds and stability is settled, testing K-stability of concrete Fano manifolds arises as a hot issue in algebraic and complex geometry. However direct testing of K-stability through all possible degenerations seems almost infeasible to carry out. Recent K-stability research has focused on detour methods to test K-stability of Fano varieties. In this talk, I will introduce an algebro-geometric method to show that a product of K-stable Fano manifolds is again K-stable. Under a certain conjectural condition, this method works perfectly. The conjectural condition has also been verified to hold good for 2-dimensional Fano manifolds.

October 14, 2016, Takanori Ayano (HSE)
Jacobi Inversion Formulae for Telescopic Curves

For a hyperelliptic curve of genus g, it is well known that the symmetric products of g points on the curve are expressed in terms of their Abel-Jacobi image by the hyperelliptic sigma function (Jacobi inversion formulae). Matsutani and Previato gave a natural generalization of the formulae to the more general algebraic curves defined by y^r=f(x), which are special cases of (n,s)-curves. In this talk we extend the formulae to the telescopic curves proposed by Miura and derive new vanishing properties of the sigma function of telescopic curves. The telescopic curves contain the (n,s)-curves as special cases.

October 21, 2016, Валерий Гриценко (Laboratoire Painleve, Lille, IUF и ВШЭ)
Модули поляризованных поверхностей Куммера и произведения Борчердса рода 2.

Пространство модулей поляризованных абелевых поверхностей является конечным накрытием пространства модулей поляризованных поверхностей Куммера. В первом случае имеется только 20 исключительных (1,t)-поляризаций (максимальное значение t равно 36), для которых пространство модулей может быть рациональным или унирациональным. Список был найден мною в 1993 году. Этот результат можно переформулировать так: группа третьих когомологий целочисленной парамодулярной группы уровня t может быть тривиальной только для 20 исключительных поляризаций.

До настоящего времени не было получено каких-то конкретных результатов про геометрический тип пространств модулей поляризованных куммеровых поверхностей. Используя технику автоморфных произведений Борчердса, я построю в докладе канонические дифференциальные формы на таких модулях для нескольких поляризаций, самая маленькая из которых равна простому числу 167. Гипотетически, для всех меньших простых поляризаций соответствующие пространства будут близки к рациональному многообразию. Интересно, что параметры автоморфных произведений, задающих канонические дифференциальные формы, лежат в некотором алгебраическом подмножестве, а условие голоморфности произведения описывается в терминах выпуклого анализа.

Доклад будет носить вводный характер. Автоморфные детали будут изложены позже на семинаре по модулярным формам. Полные доказательства содержатся в препринте "Antisymmetric Paramodular Forms of Weights 2 and 3" (совместно C. Poor и D. Yuen), законченном в сентябре 2016.

October 28, 2016, Антон Зорич (Institut de Mathematiques de Jussieu)
(совместная работа с Максимом Концевичем, Мартином Мёллером, и Сашей Эскиным)
Показатели Ляпунова расслоений с плоской связностью над комплексными кривыми.

Показатели Ляпунова расслоения с плоской связностью заданного на римановой поверхности описывают среднюю монодромию связности вдоль типичной (незамнкнутой) гиперболической геодезической на базе. Они играют роль динамических аналогов характеристических чисел расслоения. Показатели Ляпунова корректно определены, когда все собственные числа оператора монодромии вокруг любого каспа равны по модулю единице. В докладе я докажу гипотезу Фея Ю, показав, что сумма k старших показателей мажорирует (параболическую) степень любого голоморфного подрасслоения ранга k.

Исходная гипотеза была сформулирована для Тейхмюллеровых кривых, то есть для очень специальных одномерных семейств комплексных кривых, для которых слой расслоения - первые когомологии кривой, а плоская связность - связность Гаусса -- Манина. Мы доказали более общую теорему, которая применима в частности к одномерным семействам многообразий Калаби-Яу. Группы монодромии для рассмотренных семейств хорошо изучены. Удивительным образом, сумма двух старших показателей Ляпунова для этих семейств оказывается в точности равной (по крайней мере численно) степени голоморфного подрасслоения, пришедшего из фильтрации Ходжа, ровно в тех случаях, когда группа монодромии - ``тонкая'' подгруппа в своем замыкании по Зарисскому. Детали - в arXiv:1609.01170.

Extra session: November 2, 2016, 18:30
Frederic Mangolte (Angers)
Fake real planes: exotic affine algebraic models of R^2

We study topologically minimal complexifications of the Euclidean affine plane R² up to isomorphism and up to birational diffeomorphism. A fake real plane is a smooth geometrically integral surface S defined over R such that: The analogous study in the compact case, that is the classification of complexifications of the real projective plane P²(R) with the rational homology of the complex projective plane is well known: P²_C is the only one. We prove that fake real planes exist by giving many examples and we tackle the question: does there exist fake planes S such that S(R) is not birationally diffeomorphic to A^2_R(R)? (Joint work with Adrien Dubouloz.)

November 4, 2016, 17:00, Misha Verbitsky (HSE)
Mixed Hodge-Riemann relations for hyperkahler manifolds and Kuga-Satake construction for total cohomology.

Mixed Hodge-Riemann relations were discovered by Vladlen Timorin in 1998 for cohomology of the torus; the proof was purely algebraic. Geometric version was proven for an arbitrary Kahler manifold in 2005 by Dingh and Nguyen. I would explain how a stronger version of their result can be proven for a hyperkahler manifold. The argument is purely algebraic, and involves a generalized version of Kuga-Satake construction. The original Kuga-Satake is used to embed the Hodge structure of a K3 surface to the second cohomology of an appropriate torus. I would show that the whole cohomology space of a hyperkahler manifold M can be embedded to the cohomology of a torus, and this embedding is compatible with the Hodge decomposition, the Poincare pairing, and with the action of the algebra generated by all Lefschetz triples on M. Then the mixed Hodge-Riemann relations follow directly from Timorin's theorem. Using mixed Hodge-Riemann relations, we are able to generalize the Bogomolov-Beauville-Fujiki form to all dimensions. This is a joint work with Nikon Kurnosov.

November 11, 2016: Evgeny Shinder (Sheffield)
K3 L-zero divisors in the Grothendieck ring of varieties

We discuss classes of non-isomorphic algebraic varieties X, Y such that [X] - [Y] is annihilated by a power of the affine line in the Grothendieck ring of varieties. Interesting examples include some derived equivalent Calabi-Yau threefolds (Borisov, Ito-Miura-Okawa-Ueda), and derived equivalent K3 surface pairs of degrees 8 and 2, 12 and 12, 16 and 4 (work in progress joint with A.Kuznetsov).

November 24, 2016: Lev Soukhanov (HSE)
Models of diffusion-orthogonal polynomials of maximal degree.

A model of diffusion-orthogonal polynomials is a triple $(\Omega, L, \mu)$, where $\Omega$ is a (compact) domain in $\mathbb{R}^d$, $\mu$ is a measure on $\Omega$, $L$ is a second order differential operator, self-adjoint on $L^2(\Omega, \mu)$ preserving the subspace of polynomials of degree $\leq n$ for any $n$. In the dimension $2$ these models were classified by Bakry, Orevkov and Zani and it was observed that if the degree of the boundary of $\Omega$ is maximal possible, the model can always be obtained from the group generated by reflections. I will explain the generalization of this fact in the arbitrary dimension.

December 2, 2016: Andrew Staal (HSE)
Irreducibility of Random Hilbert Schemes

What are the geometric properties of a typical Hilbert scheme? In this talk, we consider Hilbert schemes parametrizing closed subschemes in some projective space with a fixed Hilbert polynomial. We first explain how to make the collection of all such Hilbert schemes into a discrete probability space. Exploiting the underlying combinatorial structure, we show why a random Hilbert scheme is smooth and irreducible with probability greater than 0.5. I will explain the generalization of this fact in the arbitrary dimension.

December 9, 2016: Константин Шрамов (МИРАН, ВШЭ)
Бирациональные автоморфизмы трехмерных многообразий

Многие важные бесконечные группы обладают замечательным свойством ограниченности, так называемым свойством Жордана: они могут допускать неограниченно большие конечные подгруппы, но любая их конечная подгруппа содержит абелеву подгруппу ограниченного некоторой константой (не зависящей от подгруппы) индекса. Например, таким свойством обладает группа GL_n(k), где k --- поле нулевой характеристики. Оказывается, что этим же свойством обладают многие группы бирациональных автоморфизмов. Я расскажу о недавней совместной работе с Ю. Г. Прохоровым, в которой мы классифицировали трехмерные многообразия с жордановыми группами бирациональных автоморфизмов.

December 16, 2016: Sergey Fomin (University of Michigan)
Noncommutative Schur functions

The problem of expanding various families of symmetric functions in the basis of Schur functions arises in many mathematical contexts such as combinatorial representation theory and Schubert calculus. I will discuss an approach to this problem that employs noncommutative analogues of Schur functions. The talk is based on joint work with Jonah Blasiak and Curtis Greene.

December 23, 2016: Евгений Горский (UC Davis)
Флаговые схемы Гильберта и гомологии узлов

Хованов и Розанский построили теорию гомологий узлов, обобщающую многочлен ХОМФЛИ. Я расскажу о связи гомологий Хованова-Розанского с гомологиями пучков на флаговой схеме Гильберта, предложенной в совместной работе докладчика с А. Негуцем и Дж. Расмуссеном. Основным техническим средством является теория категорной диагонализации, разработанная в работах Элаяса и Хоганкампа, и представляющая самостоятельный интерес.

December 26 and 28, 2016, room 306, 15:30: a special session by Ivan Cheltsov

Stable and unstable del Pezzo surfaces.

Yau-Tian-Donaldson conjecture, recently proved by Chen, Donaldson and Sun, says that a Fano manifold is Kahler-Einstein if and only if it is K-stable. Its stronger form, still open, says that a polarized manifold (M,L) is K-stable if and only if M admits a constant scalar curvature with Kahler class in L. In these 4 lectures, I will describe K-stability of ample line bundles on smooth del Pezzo surfaces (two-dimensional Fano manifolds). I will show how to apply recent result of Dervan to prove K-stability and how to use flop-version of Ross and Thomas's obstruction to prove instability.

December 28, 2016 (Wednesday), 17:00: Dmitry Zakharov (NYU)
The theta-relations and the tautological ring

The tautological ring of the moduli space of curves M_g is a natural subring of either the cohomology or the Chow ring that is generated by a collection of natural classes. A number of vanishing results have been established about the tautological ring of M_g and its various compactifications. I will show that these results can be derived in a uniform and constructive way from Pixton's double ramification cycle relations, which were recently established by Clader and Janda. Moreover, these relations can be used to derive boundary formulas for any tautological class vanishing on the open locus. This is joint work with Clader, Grushevsky, Janda and Wang.

December 30, 2016 (Friday), 17:00: Dmitry Tonkonog (Cambridge)
Wall-crossing for mutations of Lagrangian tori, and symplectic cohomology

Given a Lagrangian torus with an attached Lagrangian disk, a procedure called mutation produces a new Lagrangian torus out of it. Iterating this procedure allows to construct infinitely many monotone Lagrangian tori in del Pezzo surfaces, which was performed recently by Vianna. We prove the wall-crossing formula which solves the problem of enumerating holomorphic Maslov index 2 disks on these tori; the answer matches the prediction of Galkin and Usnich. Time permitting, I will mention the related Laurent phenomenon, and what it has to do with the symplectic cohomology of certain domains. This is joint work with James Pascaleff.

Laboratory of Algebraic Geometry and its Applications