Летняя математическая школа "Алгебра и геометрия"25 - 31 июля, 2016Ярославль, Россия |
Научный комитет: Федор Богомолов (Courant Institute, НИУ ВШЭ), Михаил Вербицкий (НИУ ВШЭ, ULB), Валерий Гриценко (Université de Lille, НИУ ВШЭ), Алексей Зыкин (UPF, НИУ ВШЭ, ИППИ РАН), Александр Кузнецов (МИАН, НИУ ВШЭ).
Квантовые группы впервые появились в работах Л.Д. Фаддеева и Ленинградской школы посвящённых квантовому методу обратной задачи рассеяния. По определению квантовая группа является ассоциативной алгеброй заданной образующими и соотношениями которые выражены в терминах определённой матрицы, так называемой квантовой R матрицы, которая является решением так называемого уравнения Янга Бакстера.
Поиск геометрической интерпретации квантовых групп начался сразу после того как они были определены, однако до недавнего времени геометрическая интерпретация R матрицы была неизвестна. В последние несколько лет в работах Некрасова, Шаташвили, Бравермана, Маулика и Окунькова была предложена геометрическая конструкция R матрицы связанной с многообразиями Накаджимы.
В настоящих лекциях мы опишем некоторые новые результаты в этом направлении иллюстрируя их на самом простом нетривиальном примере. Основное отличие от работ указанных выше состоит в том, что мы работаем не с многообразиями Накаджимы, а а другим типом многообразий связанных с колчаном. Основным примером для нас будут служить многообразия Грассмана.
Мы начнём с описания конструкции Фаддеева для квантовых групп.
В следующей части лекций мы объясним как R матрицы возникают геометрически в нашей ситуации. Основное наблюдение состоит в том, что эквивариантные когомологии по отношению к тору многообразий частичных флагов, в частности многообразий Грассмана, обладают семейством естественных базисов, так называемых базисов Шуберта. Это семейство параметризованно элементами симметрической группы. Оно является важным объектом изучения в алгебраической геометрии, теории представлений и комбинаторике.
Как и в работах указанных выше авторов, матрица перехода между элементами этого семейства удовлетворяет уравнению Янга Бакстера и, следовательно, определят квантовую группу, которая действует в эквивариантных когомологиях многообразий Грассмана. Мы покажем, что эта квантовая группа является интересной подалгеброй геометрической алгебры конволюций. В последней части лекций мы покажем как наша квантовая группа связана с другими известными и важными алгебрами и обсудим некоторые следствия нашей конструкции.
Cтандартные курсы алгебры и топологии