Летняя математическая школа "Алгебра и геометрия"

25 - 31 июля, 2012

Ярославль, Россия

Научный комитет: Федор Богомолов (Courant Institute, НИУ ВШЭ), Алексей Зыкин (НИУ ВШЭ, ИППИ РАН, Лаборатория Понселе).


p-адические числа, модулярные формы и их приложения

Алексей Панчишкин (Université Joseph Fourier Grenoble I, Франция)

Видеозаписи лекций

Резюме

Предлагаемый курс рассчитан на студентов и аспирантов, желающих познакомиться с теорией p-адических L-функций, связанных с модулярными формами, а также с их приложениями в диофантовой геометрии. Рассматриваются локальные и глобальные методы в арифметике. Дается обзор теории p-адических семейств модулярных форм, а также открытых проблем и задач теории p-адических L-функций.

Программа:

  1. Сравнения и p-адические числа, лемма Гензеля. Поле Тэйта.
  2. Непрерывные и аналитичические функции. Критерий Малера. Многоугольники Ньютона.
  3. Меры, распределения и алгебра Ивасавы. Сравнения Куммера и p-адическая L-функция Куботы-Леопольдта.
  4. Модулярные формы и L-функции.
  5. Представления Галуа и сравнения между модулярными формами.
  6. Примеры построения p-адических L-функций.
  7. Обзор приложений к проблемам диофантовой геометрии.
  8. Открытые проблемы и задачи в теории p-адических L-функций.

Лекции, связанные с курсом можно найти здесь. Кроме того, будет полезна статья про p-адические L-функции.

Список литературы:

  1. Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. Изд. 3е, доп. М.: Наука, 1985.
  2. Коблиц Н. p-адические числа, p-адический анализ и дзета функции. М.: Мир, 1982.
  3. Серр Ж.-П. Курс арифметики. М.: Мир, 1972.
  4. Manin Yu.I. and Panchishkin A.A., Introduction to Modern Number Theory, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, vol. 49 (2nd ed.), Springer-Verlag, 2005, 514 p. (Русск. пер. М.: МЦНМО, 2008.)
  5. Панчишкин А. А.. Локальные и глобальные методы в арифметике. Математическое просвещение, сер. 3, вып. 12, 2008 (55?79)
  6. Панчишкин А. А.. Модулярные формы и p-адические числа. arXiv:0709.1611 (2007)
  7. Panchishkin A.A.. A new method of constructing p-adic L-functions associated with modular forms, Московский Математический Журнал, 2 (2002), N 2, 1-16
  8. Bocherer S., Panchishkin A.A. Admissible p-adic measures attached to triple products of elliptic cusp forms, Documenta Math. Extra volume : John H.Coates' Sixtieth Birthday (2006), 77-132.