Летняя математическая школа "Алгебра и геометрия"25 - 31 июля, 2012Ярославль, Россия |
Научный комитет: Федор Богомолов (Courant Institute, НИУ ВШЭ), Алексей Зыкин (НИУ ВШЭ, ИППИ РАН, Лаборатория Понселе).
В этом мини курсе мы дадим конструктивное введение в теорию квадратичных решеток. Начнем с решеток корней A, D, E, которые появляются во многих областях математики и физики: в топологии и алгебраической геометрии, в теории групп и алгебр Ли, в теории особенностей и теории струн.
Четная унимодулярная решетка Е8, задаваемая бинарным кодом Хамминга, определяет плотнейшую сферическую упаковку восмимерного эвклидова пространства. Используя технику дискриминатных форм, мы построим четные унимодулярные решетки ранга 24: решетки Нимайера и знаменитую решетку Лича. Одна из решеток Нимайера задается кодом Голея. Группа Матье М24 является группой автоморфизмов этого кода. Кроме чисто алгебраических вопросов мы, надеюсь, рассмотрим применения теории модулярных форм, тета рядов и гармонических полиномов для классификации четных и нечетных унимодулярных решеток небольших рангов. Курс будет иллюстрирован упражнениями, решенными и нерешенными вопросами и проблемами.
В качестве материала к лекциям имеется файл с матрицей кода Голея.