Летняя математическая школа "Алгебра и геометрия"

Группа Брауэра и препятствие Брауэра-Манина (Groupe de Brauer et obstruction de Brauer-Manin)

Жан-Луи Кольё-Телен (Jean-Louis Colliot Thélène) (Université Paris-Sud, Франция)

Видеозаписи лекций

• Лекция 1
• Лекция 2
• Лекция 3
• Лекция 4

Резюме

1. Принцип Хассе и слабая аппрокцимация. Метод элементарных расслоений. Контрпримеры к принципу Хассе и слабой аппрокцимации.
2. Группа Пикара и группа Брауэра. Как их находить. Различные примеры. В том числе, геометрически рациональные поверхности, поверхности, расслоенные на коники, кубические поверхности, главные однородные пространства линейных алгебраических групп.
3. Препятствие Брауэра-Манина для рациональных и для целых точек. Использование открытых многообразий. Формальная лемма. Препятствие Браура-Манина для семейств многообразий.
4. Детальное изучение недавно полученного случая: целые решения уравнения q(x,y,z)=p(t) , где q - квадратичная форма от трёх переменных и p(t) - многочлен от одной переменной. Более общий случай: целые точки в семействе аффинных квадрик размерности 2, зависящих от одного параметра.

От слушателей предполагаются следующие знания: теория Галуа, начальные знания когомологий Галуа и алгебраической геометрии (см. лекции Б. Кунявского и К. Конрада на летней школе в Ярославле в 2011-м году http://bogomolov-lab.ru/SHKOLA/)

Записки лекции по теме курса можно найти здесь и здесь. Слайды к лекциям имеются тут.

Résumé

1. Principe de Hasse et approximation faible. Méthode des fibrations élémentaires. Contre-exemples au principe de Hasse et à l'approximation faible.
2. Le groupe de Picard et le groupe de Brauer. Comment les calculer. Divers exemples. En particulier: surfaces géométriquement rationnelles, surfaces fibrées en coniques, surfaces cubiques, espaces homogènes de groupes algébriques linéaires.
3. L'obstruction de Brauer-Manin, pour les points rationnels et pour les points entiers. Utilisation de variétés ouvertes. Le lemme formel. L'obstruction de Brauer-Manin en famille.
4. Discussion détaillée d'un cas tout récemment étudié: solutions entières de l'équation q(x,y,z)=p(t) avec q forme quadratique et trois variables et p(t) un polynôme en une variable. Plus généralement, points entiers d'une famille à un paramètre de quadriques affines de dimension 2.

Prérequis: théorie de Galois, un peu de cohomologie galoisienne, un peu de géométrie algébrique. Cours de Boris Kunyavskii et de Keith Conrad à l'école d'été de Yaroslav 2011, disponibles à l'adresse http://bogomolov-lab.ru/SHKOLA/

Les notes des cours liés sont disponibles ici et là. Il y a aussi des transparentes.