ГОДОВОЙ ОТЧЕТ (2010)

Лаборатория алгебраической геометрии и ее приложений

Реферат

ключевые слова: группа галуа, функциональное поле, рациональная точка многообразия, к3 поверхность, рациональные кривые, конечное поле, кэлерово многообразие, гиперкэлерово многообразие, теорема торелли, отображение периодов, специальное лагранжево подмногообразие, гипотеза стромингера-яу-заслова, лагранжево слоение, калибрация, локально конформно кэлерово многообразие, вайсманово многообразие, кэлеров потенциал, плюрисубгармоническая функция, комплексное многообразие, некэлерово многообразие, накрытие, монодромия, биголоморфизм

Краткая аннотация: Приводятся результаты исследований в области алгебраической геометрии, комплексной геометрии и дифференциальной геометрии. Основные темы исследования - геометрия и арифметика гиперкэлеровых многообразий (в частности, К3-поверхности), геометрия комплексных многообразий (кэлеровых и локально конформно кэлеровых).

Результаты носят теоретический характер и являются существенно новыми. Возможны приложения к теоретической физике, дифференциальной геометрии, теории чисел и задачам классификации комплексных многообразий.

Contents

• Построение рациональных кривых и рациональных точек
  • Геометрия и география многообразий над функциональным полем
  • Построение рациональных точек с помощью автоморфизмов
  • Построение рациональных кривых на К3
  
  
• Исследования специальных лагранжевых расслоений на гиперкэлеровых многообразиях
  • Калибрации на многообразиях
  • Геометрия специальных лагранжевых многообразий
  • Гипотеза Каваматы для гиперкэлеровых многообразий и теория минимальных моделей
  • Гипотеза Стромингера-Яу-Заслова и связь с теорией струн
  • Стабильность расслоений и соответствие Кобаяши-Хитчина
  
  
• Топология локально конформно кэлеровых многообразий с потенциалом
  • Вайсмановы многообразия и многообразия Хопфа
  • Когомологии Морса-Новикова и когомологии Ботта-Черна
  • Локально конформно симплектические и локально конформно кэлеровы структуры на многообразиях
  • Сасакиева геометрия и ее приложения
  
  
• Подготовка к публикации
  • Работы, доказывающие существования рациональных кривых и рациональных точек на поверхностях типа К3
  • Работы, посвященные возможности построения специальных лагранжевых расслоений на гиперкэлеровых многообразиях
  • Работы по топологии локально конформно кэлеровых многообразий
  
  
• Подготовка записок лекционного курса М. Вербицкого ``Основы кэлеровой геометрии''
  • Краткое описание курса
  • Описание материалов лекции и приложений
  
  
• Bibliography

Введение

Результаты гранта по постановлению правительства 220 были объявлены лишь в ноябре 2010-го года, но лаборатория алгебраической геометрии уже приступила к работе. За отчетный период (2010-й год) сотрудниками лаборатории были проведены изыскания в теории производных категорий когерентных пучков (А. Кузнецов, А. Ефимов), алгебраической К-теории (Д. Каледин) и теории триангулированных категорий (Д. Орлов, А. Ефимов). Также были получены значительные результаты по основным темам, заявленным на 2010-й год:

1. Построение рациональных кривых и рациональных точек на поверхностях, в частности, на поверхностях типа K3.

2. Исследования специальных лагранжевых расслоений на гиперкэлеровых многообразиях и многообразиях Калаби-Яу.

3. Изучение топологии локально конформно кэлеровых многообразий с потенциалом.

Результаты по этим трем темам и составляют содержание настоящего отчета.

Построение рациональных кривых и рациональных точек

Одно из важных направлений алгебраической геометрии, особенно полезное в применении к теории чисел - проблема построения рациональных точек многообразия над числовым полем. История этого вопроса восходит к 19-му веку и исследований проблемы классификации квадратичных форм, занимавших еще Гаусса. Эта проблема была окончательно решена Хассе, который доказал ``принцип Хассе'' - квадратичная гиперповерхность допускает рациональную точку, если она допускает рациональную точку над ${\Bbb R}$ и во всех $p$ -адических пополнениях.

Для рациональных поверхностей (таких, как квадрики) проблема нахождения рациональных точек в большой степени исчерпывается нахождением одной такой точки. Например, на квадратичной гиперповерхности, все рациональные точки получаются как точки пересечения рациональных прямых, проходящей через заданную рациональную точку гиперповерхности.

Похожим образом должны вести себя и многообразия Фано, то есть многообразия с обильным антиканоническим классом: после перехода к конечному расширению базового поля, множество рациональных точек должно становиться плотно по Зарискому. Это называется ``потенциальная плотность рациональных точек''

Совершенно другая картина имеет место в случае многообразий с обильным каноническим классом (также известных как ``многообразия общего типа''). Для многообразий общего типа, гипотеза Ленга утверждает, что все рациональные точки лежат на объединении подмногообразий положительной коразмерности.

Основанием для гипотезы Ленга были две теоремы Богомолова об ограниченности, доказанные им в 1970-e. Первая гласит, что на поверхности общего типа с $c_1^2 > c_2$ кривые фиксированного рода образуют алгебраическое семейство (т.е. соответствующая схема Гильберта имеет конечное число компонент). Во второй условие на классы Черна поверхности снимается, но рассматриваются только кривые с отрицательным самопересечением (поскольку такие кривые не деформируются, теорема просто утверждает, что их конечное число). Один частный случай этого утверждения - рациональные кривые; в этом случае из теоремы Богомолова выводится, что поверхность общего типа не имеет рациональных кривых вне замкнутого алгебраического подмножества.

Промежуточный случай - случай многообразий нулевой размерности Кодаиры, таких, как гиперкэлеровы многообразия, многообразия Калаби-Яу и абелевы многообразия - особенно важный и трудный. Для абелевых многообразий, эта задача решается теоремой Морделла-Вейля, доказанной Морделлом для эллиптических кривых, и Андре Вейлем в общем случае; но даже для К3 поверхности, многие вопросы до сих пор открыты, хотя Богомолов и Чинкель достигли большого прогресса в этом вопросе ([BT2]).

В последние годы, вопросы построения рациональных кривых и рациональных точек приобрели особенное значение, в немалой степени - благодаря работам Богомолова. В отчетный период, была опубликована книга [BT4] (под редакцией Ф. Богомолова, ведущего ученого Лаборатории, и Ю. Чинкеля), составленная и обзоров и исследовательских статей по вопросам рациональности, многие из которых были первоначально поставлены Богомоловым.

Геометрия и география многообразий над функциональным полем

Важный бирациональный инвариант многообразия, открытый Богомоловым в конце 1980-х - так называемая неразветвленная группа Брауера. Вычисление неразветвленной группы Брауэра было основанием для построения контрпримеров к классической гипотезе Э. Нетер о рациональности факторов векторного пространства по конечной группе.

В конце 1980-х, Богомолов показал, что для того, чтобы вычислить неразветвленную группу Брауера фактора $V/G$ , достаточно иметь информацию о действии абелевых подгрупп $G$ на $V$ ; это дает возможность провести вычисление во многих конкретных случаях. В результате было доказано, что неразветвленная группа Брауера алгебраического многообразия $X$ над $\mathbb{C}$ зависит только от группы Галуа общей точки $X$ , и даже, более того, только от фактора этой группы Галуа по ее второму коммутанту.

Развивая этот подход, Богомолов в начале 1990-х доказал ``теорему о реконструкции'', утверждающую, что поле рациональных функций на алгебраическом многообразии $X$ размерности больше 1 над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 может быть восстановлено по своей группе Галуа.

В работе Богомолова и Чинкеля [BT3], эта теорема была обобщена на случай функциональных полей любой характеристики.

Обзор [BT5], написанный ведущим ученым лаборатории в отчетный период, обсуждает круг вопросов, связанных с теоремой о реконструкции, и ее связь с ``анабелевой геометрией'', видение которой содержится в поздних работах Гротендика. Богомолов и Чинкель продемонстрировали техники, позволяющие находить бирациональные инварианты многообразия, обладая информацией о структуре его группы Галуа.

Другая теорема о реконструкции, доказанная Богомоловым, Коротяевым и Чинкелем в [BKT], и опубликованная в отчетный период, позволяет восстановить, с точностью до изогении, якобиан кривой рода $g \geqslant 2$ над конечным полем $k$ по группе $\bar k$ -точек ее якобиана, на котором отмечен образ точек кривой. Это утверждение называется ``теорема Торелли для кривых над конечным полем'', и показывает, что в множестве рациональных точек многообразия может содержаться достаточно информации, чтобы по нему можно было восстановить многообразие. Этот результат обобщает аналогичную теорему Тэйта, которая позволяет восстановить абелево многообразие по характеристическому полиному морфизма Фробениуса.

Классические результаты Богомолова о неразветвленных когомологиях конечных групп, дающие начало новым бирациональным инвариантам, положили начало нескольким направлениям математики, связывающим теорию представлений конечных групп и бирациональную геометрию. Новый и весьма сильный результат в этом направлении был опубликован ведущим ученым лаборатории в отчетный период, в совместной работе [BPT] с Т. Петровым и Ю. Чинкелем. Было доказано, что конечные группы типа Ли $SL_n({\Bbb F}_p), Sp_{2n}({\Bbb F}_p)$ и их скрученные формы стабильно рациональны, то есть имеют точное представление $G {\:\longrightarrow\:}\operatorname{End}(\bar {\Bbb F}_p^n)$ , такие, что факторпространство по $\bar {\Bbb F}/G$ рационально.

Построение рациональных точек с помощью автоморфизмов

В написанной ведущим ученым лаборатории Ф. Богомоловым за отчетный период работе [ABM], совместной с Е. Америк и М. Ровинским, разработан новый способ строить рациональные точки на многообразиях, таких, как многообразие прямых на кубической поверхности (деформационно эквивалентное схеме Гильберта К3 поверхности). Эта работа является развитием совместной работы Е. Америк и К. Вуазен [AmV], которая, в свою очередь, основывается на идеях Богомолова и Чинкеля, доказавших аналогичный разультат для К3 поверхности в [BT1].

Построение рациональных кривых на К3

В 1981-м году, Ф. А. Богомолов постулировал следующую гипотезу ([BT2]).

Conjecture 1.3.1: Пусть $k$ - конечное поле, или числовое поле, а $X$ - К3-поверхность, определенная над $k$ . Тогда каждая $\bar k$ -рациональная точка на $X$ лежит на какой-то рациональной кривой, определенной над $\bar k$ .

Эта гипотеза до сих пор не доказана и не опровергнута, хотя за прошедшие 30 лет появились косвенные указания на то, что над числовым полем она в такой общности не верна ([BaM]). Над конечным полем, Богомолов и Чинкель доказали важные частные случаи этой гипотезы. В работе [BT2], было доказано, что через каждую $\bar k$ -точку куммеровой поверхности проходит рациональная кривая, определенная над $\bar k$ .

В работе Богомолова (ведущего ученого Лаборатории), Хассетта и Чинкеля [BHT], принятой к печати в Duke Mathematical Journal в отчетный период, был открыт способ построения рациональных кривых на комплексных К3-поверхностях, исходя из К3-поверхностей над конечным полем, в развитие техники Мори и Мукаи. В качестве приложения, авторы доказывают, что на К3 поверхности с одномерной группой Пикара, порожденной дивизором степени 2, есть счетное число рациональных кривых.

Исследования специальных лагранжевых расслоений на гиперкэлеровых многообразиях

Последние 20 лет в алгебраической геометрии прошли под знаком все усиливающегося взаимодействия с теоретической физикой. Методы, пришедшие из физики (такие, как инварианты Сайберга-Уиттена и Зеркальная Симметрия) революционизировали наш способ думать о дифференциальной и алгебраической геометрии, и необратимо изменили подход математиков к их науке. Когда-то люди пользовались математикой для развития физики; сейчас, физика стала источником наиболее радикальных достижений.

Новая парадигма геометрии, возникшая в сотрудничестве с физиками на протяжении 1980-х и 1990-х, имеет дело двумя геометрическими объектами - расслоением спиноров и группой голономий.

Структура группы голономий и ее влияние на геометрию многообразия есть один из главных предметов римановой геометрии последних 50 лет. Ограниченная группа голономий, будучи подгруппой Ли ортогональной группы, очевидно компактна, а значит редуктивна, и действует, естественным образом, на касательмом пространстве многообразия. Де Рам доказал, либо эта группа неприводима, либо многообразие является симметрическим, либо универсальное накрытие многообразия является произведением римановых многообразий меньшей размерности. Неприводимые голономии были классифицированы Марселем Берже, который выписал список всех групп, которые могут быть быть группой голономий симметрического многообразия с неприводимой голономией. Этот список довольно короткий.

Holonomy	Geometry
$SO(n)$ acting on ${\Bbb R}^n$	Riemannian manifolds
$U(n)$ acting on ${\Bbb R}^{2n}$	Kähler manifolds
$SU(n)$ acting on ${\Bbb R}^{2n}$ , $n>2$	Calabi-Yau manifolds
$Sp(n)$ acting on ${\Bbb R}^{4n}$	hyperkähler manifolds
$Sp(n)\times Sp(1)/\{\pm 1\}$	quaternionic-Kähler
acting on ${\Bbb R}^{4n}$ , $n>1$	manifolds
$G_2$ acting on ${\Bbb R}^7$	$G_2$ -manifolds
$Spin(7)$ acting on ${\Bbb R}^8$	$Spin(7)$ -manifolds

В этом списке, два пункта (многообразия Калаби-Яу и гиперкэлеровы многообразия) возникают из алгебраической геометрии применением теоремы Калаби-Яу. В физике, ограничения голономии переводятся в дополнительные суперсимметрии струнных теорий; это один из источников появления гиперкэлеровых многообразий (и вообще алгебро-геометрических конструкций) в теории струн.

Калибрации на многообразиях

Теория калибраций была развита Харви и Лоусоном в работе [HL] в 1982-м году, и ныне занимает центральное место в дифференциальной геометрии и ее взаимодействии с теорией струн. Калибрация есть замкнутая форма на римановом многообразии, которая, если ее вычислить на поливекторе, будет меньше или равна, чем риманов объем этого поливектора. Подмногообразие является калиброванным, если калибрация, вычисленная на этом подмногообразии, всюду равна форме объема. Легко видеть, что калиброванное многообразие всегда минимально. Впоследствии у теории калибраций нашлось еще одно приложение: с каждой калибрацией коразмерности 4 связана теория инстантонов, то есть расслоений, минимизирующих $L^2$ -норму кривизны. Такие инстантоны играли важную роль в работах Дональдсона, Томаса, Тиана и Тао [DT], [T], [TT].

Теория калибраций играет важную роль в дифференциальной геометрии и ее приложениях к физике. За отчетный период, сотрудниками лаборатории была проведена работа по классификации калибраций на гиперкэлеровых многообразиях ([GV]), найдены существенно новые примеры калибраций и исследована геометрия калиброванных многообразий, которые оказались трианалитическими для одной серии калибраций, изотропными и коизотропными для другой. Эта конструкция также работает в применении к многообразиям с гиперкомплексной структурой, HKT-метрикой и тривиальным каноническим классом; это дает нетривиальные примеры калибраций на некэлеровых комплексных многообразиях. В этой ситуации новые классы калибраций особенно интересны, потому что они не параллельны относительно любой связности без кручения, а большинство известных калибраций параллельны относительно связности Леви-Чивита.

Новые калибрации, построенные Гранчаровым и Вербицким в работе [GV], интерпретируются там же в терминах кватернионной версии гипотезы Калаби-Яу. Эта гипотеза была предметом работы Семена Алескера и сотрудника лаборатории Миши Вербицкого [AV2], опубликованной за отчетный период, где изучалась кватернионная версия уравнения Монжа-Ампера и были доказаны $C^0$ -оценки Яу и единственность решений.

Теория кватернионных уравнений Монжа-Ампера основывается на понятии кватернионной плюрисобгармонической функции, введенной в работе Алескера и Вербицкого [AV1] 2006-го года. Это понятие оказалось весьма полезным для решения задач комплексной алгебраической геометрии; так, в статье [V4], опубликованной за отчетный период, теория потенциала на гиперкэлеровых многообразиях применялась для изучения структуры прямого образа когерентных пучков. Результаты этой работы базировались на достижениях в области теории потенциала на комплексных многообразиях, полученных в статье [V5], также опубликованной в 2010-м году.

Важным примером калибрации является специальная лагранжева калибрация, исследованная в работе Харви и Лоусона. Эта калибрация, которая получается как вещественная часть единичной голоморфной формы объема на многообразии Калаби-Яу. Подмногообразия, которые калиброваны такой формой, всегда лагранжевы по отношению к симплектической форме, минимизируют объем и имеют нулевой вектор средней кривизны.

Геометрия специальных лагранжевых многообразий

В работе Томаса и Яу [TY] доказано, что специальные лагранжевы многообразия составляют нулевой слой отображения моментов для группы гамильтоновых диффеоморфизмов, действующих на бесконечном многообразии всех лагранжевых подмногообразий. Исходя из общей парадигмы симплектической редукции (в бесконечномерном случае эта парадигма не основана на теоремах, но может служить эвристическим обоснованием гипотез) это значит, что в общей (стабильной) орбите действия гамильтоновой группы всегда есть специальное лагбранжево подмногообразие. По контрасту, явных способов построения (и даже неявных доказательств существования) специальных лагранжевых подмногообразий практически не существует.

Единственный способ строить примеры специальных лагранжевых многообразий в замкнутых многообразиях происходит из гиперкэлеровой геометрии. Гиперкэлерово многообразие есть риманово многообразие с действием кватернионов, которое параллельно относительно связности Леви-Чивита. Из этого следует, что на гиперкэлеровом многообразии заданы комплексные структуры $I,J,K$ , соответствующие образующим алгебры кватернинов. Как доказано еще Харви и Лоусоном, голоморфное лагранжево подмногообразие относительно $I$ является специальным лагранжевым относительно $J$ .

Результатом такой конструкции является построение довольно узкого класса специально лагранжевых многообразий: общее специально лагранжево подмногообразие на гиперкэлеровом многообразии комплексной размерности больше 2, а приори, может оказаться не голоморфным относительно другой комплексной структуры.

В работе [GV], написанной сотрудниками лаборатории за отчетный период, была построена новая калибрация на гиперкэлеровом многообразии, калиброванные многообразия которой - в точности голоморфные лагранжевы многообразия. Эта конструкция позволяет эффективно отличать голоморфные лагранжевы и специальные лагранжевы многообразия, интегрируя подходящие классы когомологий. Другими словами, задача различения широкого класса специальных лагранжевых многообразий и (вероятно) более узкого голоморфных лагранжевых сведена к топологической.

Гипотеза Каваматы для гиперкэлеровых многообразий и теория минимальных моделей

Гипотеза Каваматы (abundance conjecture) есть утверждение о равенстве численной размерности численно эффективного линейного расслоения и его размерности Кодаиры. Эта гипотеза играет важную роль в бирациональной геометрии и теории минимальных моделей. В гиперкэлеровой ситуации, численно эффективные расслоения имеют численную размерность 0, $n$ и $2n$ , что следует из результатов работы [V2]. В случае размерности 0, гипотеза Каваматы тривиальна, для размерности $2n$ следует из голоморфных неравенств Морса, доказанных Демайи в середине 1980-х ([D1]). Соответственно, единственным нетривиальным случаем является случай численной размерности $n$ .

Основным вопросом бирациональной геометрии гиперкэлеровых многообразий является следующая гипотеза, которая называется abundance conjecture или же SYZ-conjecture.

Conjecture 2.3.1: Пусть $M$ - гиперкэлерово многообразие комплексной размерности $2n$ ,, а $L$ - численно эффективное расслоение численной размерности $n$ (такое расслоение называется параболическим). Тогда $L$ полуобильно.

Как видно из изложенного ниже, эта гипотеза имеет много приложений к физике и математике.

Гипотеза Стромингера-Яу-Заслова и связь с теорией струн

В работе [SYZ], Стромингер, Яу и Заслов предложили механизм возникновения зеркальной симметрии, связанный с теорией калибраций. Согласно их гипотезе, зеркально-симметричные многообразия Калаби-Яу снабжены двойственными лагранжевыми слоениями с одной и той же базой и слоями, состоящими (в гладких точках) из специальных лагранжевых торов. Эта гипотеза была развита Концевичем и Сойбельманом, которые описали широкий спектр применений гипотезы Стромингера-Яу-Заслова в физике и математике в работе [KZ]. Для гиперкэлеровых многообразий, постулируется гипотеза о существовании специальных лагранжевых расслоений, с базой в комплексном проективном пространстве половинной размерности. Такое расслоение позволяет реконструировать гиперкэлерово многообразие по набору комбинаторных и теоретико-представленческих данных, существенно облегчая решение трудной задачи классификации гиперкэлеровых многообразий.

Гипотеза Стромингера-Яу-Заслова в настоящий момент является одним из основных вопросов гиперкэлеровой геометрии. В работе [V6], опубликованной за отчетный период, в решении этой задачи сделан определенный прогресс: была доказана эффективность параболического линейного расслоения, в том случае, когда это расслоение допускает гладкую метрику с неотрицательной кривизной.

В более свежем препринте [V7], разбирается общий случай. В общей ситуации, параболическое расслоение всегда допускает метрику с неотрицательной кривизной, но такая метрика может быть особой. С применением полученных Демайи результатов об особенностях потоков на комплексных многообразиях (оценок на числа Лелонга и полученных из них результатов теории пересечения, см. [D2]) доказано, что гиперкэлерово многообразие, допускающее параболическое расслоение, обязательно содержит коизотропное подмногообразие.

Стабильность расслоений и соответствие Кобаяши-Хитчина

Ключевым моментом доказательства эффективности параболических расслоений из [V6] является понятие стабильного расслоения. Соответствие Кобаяши-Хитчина позволяет интерпретировать стабильные расслоения в терминах расслоений Янг-Миллса, имеющих гармоническую кривизну. Для гиперкэлерова многообразия, это позволяет связать стабильность с теорией деформаций, получая гиперкэлеровы структуры на пространствах деформаций стабильных расслоений ([V1]). В работе [MV] сотрудников лаборатории, опубликованной за отчетный период, эта конструкция обобщалась на случай поверхности Хопфа. С использованием конструкций, пришедших из струнной физики (HKT-метрики и обобщенные кэлеровы многообразия) была построена кватернионная (гиперкомплексная) структура на пространстве модулей стабильных расслоений. Этот результат был применен к построению обобщенной гиперкэлеровой структуры на пространстве модулей, предсказанной в важной работе [GHR] 1984-го года, и переоткрытой в диссертации Гуалтиери [Gu]. Таким образом был получен первый в математике пример обобщенного гиперкэлерова многообразия, которое не однородно.

Топология локально конформно кэлеровых многообразий с потенциалом

Локально конформно кэлеровы (LCK) многообразия были известны начиная с 1950-х годов, но систематическое изучение LCK-структур было начато Изу Вайсманом в конце 1970-х. В первой из его работ на эту тему ([Va]), Вайсман отмечает, что хорошо известные многообразия Хопфа являются локально конформно кэлеровыми. Впоследствии (как следует из результатов Ф. Бельгуна, см. [OV6], [Be]) было доказано, что любая некэлерова поверхность, кроме одной из трех поверхностей Инуэ и (возможно) некоторых поверхностей класса VII, является локально конформно кэлеровой.

Наконец, в работе М. Брунелла [Br] LCK-метрики были построены на поверхностях класса VII, допускающих глобальную сферическую оболочку. Согласно знаменитой гипотезе Като (доказанной в большом числе случаев), все поверхности класса VII допускают глобальную сферическую оболочку, кроме поверхностей Инуэ. Если гипотеза Като верна, то все некэлеровы поверхности, кроме одной из трех поверхностей Инуэ, являются локально конформно кэлеровыми.

В размерности больше 2, классификация LCK-многообразий отсутствует, но эта область бурно развивается, ибо имеет много приложений к физике, дифференциальной геометрии, теории инстантонов, обобщенной кэлеровой геометрии и классификации комплексных многообразий.

Вайсмановы многообразия и многообразия Хопфа

Изу Вайсман в работах по комплексной дифференциальной геометрии многообразий Хопфа определил новый класс локально конформно кэлеровых мнгообразий, как ему казалось, более широкий, назвав их обобщенными многообразиями Хопфа. Впоследствии оказалось, что не все многообразия Хопфа принадлежат к этому классу, и сейчас ``обобщенные многообразия Хопфа'' называются вайсмановыми.

Вайсмановы многообразия проще всего охарактеризовать, используя теорему Орнеа и Камишимы из статьи [KO]: это локально конформно кэлерово многообразие, снабженные голоморфным конформным потоком диффеоморфизмов, который действует нетривиальными гомотетиями на кэлеровом накрытии многообразия.

В работе [OV1], было доказано, что все вайсмановы многообразия допускают голоморфную иммерсию в вайсманово многообразие Хопфа. Обратное утверждение тоже верно: как следует из теоремы, доказанной в [V3], каждое подмногообразие вайсманово многообразия снова вайсманово.

Этот результат был существенно усилен в работе [OV2], опубликованной сотрудником лаборатории в отчетный период. Был построен более широкий класс локально конформно кэлеровых многообразий (``LCK-многообразия с автоморфным потенциалом''), включающий в себя все многообразия Хопфа и все многообразия Вайсмана. Для каждого LCK-многообразия $M$ с автоморфным потенциалом, было построено комплексное вложение в многообразие Хопфа, которое будет вайсмановым тогда и только тогда, когда $M$ вайсманово. Также было доказано, что комплексное подмногообразие LCK-многообразия с автоморфным потенциалом это LCK-многообразие с автоморфным потенциалом, и этот класс многообразий замкнут относительно небольших деформаций.

Когомологии Морса-Новикова и когомологии Ботта-Черна

В работе [OV4], теорема о вложении локально конформно кэлеровых многообразий с потенциалом была интерпретирована в терминах естественных групп когомологий многообразия. Одна из этих групп когомологий называется когомологии Морса-Новикова, и ее проще всего определить как когомологии многообразия с коэффициентами в локальной системе, заданной локально конформно кэлеровой метрикой. Другая группа называется когомологии Ботта-Черна, в отличие от когомологий Морса-Новикова, эта группа является голоморфным инвариантом. У каждого локально конформно кэлерова многообразия определен его класс Ботта-Черна и класс Морса-Новикова; зануление первого автоматически влечет зануление второго, обратное утверждение является нетривиальной гипотезой.

Было доказано, что локально конформно кэлерово многообразие имеет автоморфный потенциал тогда и только тогда, когда его класс Ботта-Черна равен нулю.

В этих терминах, результат статьи [OV2] становится локально конформно кэлеровым аналогом теоремы Кодаиры. Кодаира доказал, что кэлерово многообразие допускает голоморфное вложение в ${\Bbb C}P^n$ тогда и только тогда, когда выполнено когомологическое условие, а именно, его кэлеров класс рационален. Орнеа и Вербицкий доказали, что локально конформно кэлерово многообразие допускает голоморфное вложение в многообразие Хопфа тогда и только тогда, когда выполнено когомологическое условие: зануление класса Ботта-Черна.

Локально конформно кэлеровы многообразия с ненулевым классом Ботта-Черна существуют, но весьма редки; в настоящий момент эта область бурно развивается, трудами Фуджики, Понтекорво, Гото, Брунелла, Коттшика, Кокарева и других математиков.

Локально конформно симплектические и локально конформно кэлеровы структуры на многообразиях

Дальнейшее исследование локально конформно кэлеровых многообразий с потенциалом привело к появлению работы [OV5], опубликованной сотрудником лаборатории в отчетный период.

С самых первых публикаций на эту тему хорошо известно, что деформация вайсманова многообразия всегда является локально конформно кэлеровым многообразием с потенциалом. В работе [OV5] был доказан обратный результат: каждое локально конформно кэлерово многообразие с потенциалом является деформацией вайсманова. Топология вайсмановых многообразий хорошо изучена, благодаря структурной теореме, доказанной в [OV0]. Из результатов [OV0] и [OV1] следует, что любое вайсманово многообразие диффеоморфно изотривиальному эллиптическому расслоению над алгебраическим многообразием, причем один из двух классов Черна этого эллиптического расслоения равен нулю, а второй - кэлеров.

Эти две теоремы дают довольно сильные ограничения на топологию LCK-многообразий с потенциалом.

Незадолго до появления этой статьи, Кокарев и Коттшик опубликовали работу [KK], где они применяли методы теории гармонических отображений, получая информацию о топологии локально конформно кэлеровых многообразий. Для того, чтобы уравнения, которым удовлетворяют гармонические отображения, были совместимы с комплексной структурой, им понадобилось дополнительное дифференциальное условие на локально кэлерову метрику. В [OV5] было доказано, что это дополнительное условие равносильно обнулению класса Ботта-Черна; таким образом, результаты Кокарева-Коттшика относятся к локально конформно кэлеровым многообразиям с потенциалом.

Используя известные результаты о топологии кэлеровых многообразий, некоторые из открытий Кокарева и Коттшика удалось передоказать новым способом, существенно упростить и усилить.

Сасакиева геометрия и ее приложения

Структурная теорема, использованная в [OV5] для изучения топологии вайсмановых многообразий, доказывает, что каждое вайсманово многообразие допускает риманову субмерсию на диск, причем слой этой субмерсии - сасакиево многообразие. Сасакиевы многообразия являются контактными многообразиями с метрикой, и соотносятся с кэлеровыми так же, как контактные соотносятся с симплектическими. Другими словами, контактные многообразия суть нечетномерный аналог кэлеровых.

В последние несколько лет, сасакиева геометрия стала весьма популярна в связи с достижениями струнной физики и алгебраической геометрии. Структурная теорема о вайсмановых многообразиях ([OV0]) по сути доказывает эквивалентность вайсмановой геометрии и сасакиевой. Таким образом, любой результат вайсмановой геометрии немедленно дает аналогичную теорему сасакиевой геометрии.

К примеру, из теоремы о голоморфном вложении вайсмановых многообразий в многообразия Хопфа немедленно следует аналогичный результат о CR-голоморфном вложении сасакиева многообразия в нечетномерную сферу с сасакиевой структурой. Эта теорема была доказана в [OV3], а ее контактное обобщение получено в [M].

Подготовка к публикации

Работы, доказывающие существования рациональных кривых и рациональных точек на поверхностях типа К3

В работе Богомолова (ведущего ученого Лаборатории), Хассетта и Чинкеля [BHT], был открыт способ построения рациональных кривых на комплексных К3-поверхностях, исходя из К3-поверхностей над конечным полем, в развитие техники Мори и Мукаи. В качестве приложения, авторы доказывают, что на К3 поверхности с одномерной группой Пикара, порожденной дивизором степени 2, есть счетное число рациональных кривых.

В работе [ABM] (Ф. Богомолов, Е. Америк и М. Ровинский) разработан новый способ строить рациональные точки на многообразиях, таких, как многообразие прямых на кубической поверхности (деформационно эквивалентное схеме Гильберта К3 поверхности). Эта работа является развитием совместной работы Е. Америк и К. Вуазен [AmV], которая, в свою очередь, основывается на идеях Богомолова и Чинкеля, доказавших аналогичный разультат для К3 поверхности в [BT1].

Работы, посвященные возможности построения специальных лагранжевых расслоений на гиперкэлеровых многообразиях

В работе [GV] была построена новая калибрация на гиперкэлеровом многообразии, калиброванные многообразия которой - в точности голоморфные лагранжевы многообразия. Эта конструкция позволяет эффективно отличать голоморфные лагранжевы и специальные лагранжевы многообразия, интегрируя подходящие классы когомологий. Другими словами, задача различения широкого класса специальных лагранжевых многообразий и (вероятно) более узкого голоморфных лагранжевых сведена к топологической.

В работе [V7] доказано, что гиперкэлерово многообразие, допускающее параболическое расслоение, обязательно содержит коизотропное подмногообразие.

Работы по топологии локально конформно кэлеровых многообразий

В работе [OV5] доказано, что каждое локально конформно кэлерово многообразие с потенциалом является деформацией вайсманова. Топология вайсмановых многообразий хорошо изучена, благодаря структурной теореме, доказанной в [OV0]. Из результатов [OV0] и [OV1] следует, что любое вайсманово многообразие диффеоморфно изотривиальному эллиптическому расслоению над алгебраическим многообразием, причем один из двух классов Черна этого эллиптического расслоения равен нулю, а второй является целочисленным кэлеровым классом многообразия.

Подготовка записок лекционного курса М. Вербицкого ``Основы кэлеровой геометрии''

Краткое описание курса

В осеннем семестре 2010-го года, сотрудник лаборатории М. Вербицкий прочел полугодичный курс ``Основы кэлеровой геометрии'' в Институте Математики имени Стеклова, в рамках НОЦ Института Математики.

Курс состоял из 10 занятий по 4 часа: две лекции плюс семинарское занятие с разбором задач, решенных студентами, у доски. Последнее (11-е) занятие было занято устным экзаменом: из 40 экзаменационных задач, каждый студент получил 4-8 задач (на 8 баллов), из суммы баллов, начисленных за сданные задачи, определялась оценка за курс. В приеме задач участвовали М. Вербицкий и Д. Каледин.

Студентам были привиты основы математической культуры, необходимой для занятия кэлеровой геометрией: анализа на многообразиях, дифференциальной геометрии, структур на многообразиях и приложений комплексного анализа. Лекции заканчивались живым обсуждением материала курса и задач.

Разработанный курс лекций содержал богатый медийный компонент: в дополнение к листочкам с задачами, которые раздавались на каждом занятии, студенты получали файлы с кратким конспектом лекций. Во время лекции эти файлы проектировались на экран по соседству с доской, что существенно облегчало презентацию и запоминание. Каждая лекция была записана на видео, с целью последующей (в 2011-м году) публикации на серверах лаборатории.

Описание материалов лекции и приложений

В приложении к настоящему отчету, воспроизводится факсимиле презентационных слайдов курса (133 страницы), лекционных задач (9 страниц) и задач с экзамена (4 страницы). Эти файлы, опубликованные в Интернете, существенно облегчают студентам понимание курса; в будущем, они послужат основой для создания учебного курса, излагающего современные результаты дифференциальной и алгебраической геометрии, и учебника по геометрии кэлеровых многообразий.

Bibliography

AmV

E. Amerik, C. Voisin, Potential density of rational points on the variety of lines of a cubic fourfold, Duke Math. J. 145 (2008), no. 2, 379-408

AV1

Semyon Alesker, Misha Verbitsky, Plurisubharmonic functions on hypercomplex manifolds and HKT-geometry, arXiv:math/0510140, J. Geom. Anal. 16 (2006), no. 3, 375-399.

AV2

S. Alesker, M. Verbitsky, Quaternionic Monge-Ampere equation and Calabi problem for HKT-manifolds, Israel J. Math. 176 (2010), 109-138.

ABM

Ekaterina Amerik, Fedor Bogomolov, Marat Rovinsky, Remarks on endomorphisms and rational points, arXiv:1001.1150, 22 pages.

BaM

Baragar, Arthur; McKinnon, David, K3 surfaces, rational curves, and rational points, Journal of Number Theory 130 (2010) pp. 1470-1479

Be

F.A. Belgun, On the metric structure of non-Kähler complex surfaces, Math. Ann. 317 (2000), 1-40.

BHT

Fedor Bogomolov, Brendan Hassett, Yuri Tschinkel, Constructing rational curves on K3 surfaces, arXiv:0907.3527, 19 pages, to appear in the Duke Mathematical Journal.

BKT

Bogomolov, Fedor; Korotiaev, Mikhail; Tschinkel, Yuri, A Torelli theorem for curves over finite fields, Pure Appl. Math. Q. 6, No. 1, 245-294 (2010).

BPT

Bogomolov, Fedor; Petrov, Tihomir; Tschinkel, Yuri Unramified cohomology of finite groups of Lie type, Cohomological and geometric approaches to rationality problems, 55-73, Progr. Math., 282, Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2010,

BT1

F. Bogomolov and Y. Tschinkel, Density of rational points on elliptic K3 surfaces, Asian J. Math. 4 (2000), no. 2, p. 351-368.

BT2

Bogomolov, F.; Tschinkel, Yu., Rational curves and points on K3 surfaces, Amer. J. Math. 127 (2005), no. 4, 825-835.

BT3

Bogomolov, F.; Tschinkel, Yu., Reconstruction of function fields, Geom. Funct. Anal. 18 (2008), no. 2, p. 400-462.

BT4

Cohomological and geometric approaches to rationality problems. New perspectives. Edited by Fedor Bogomolov and Yuri Tschinkel. Progress in Mathematics, 282. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2010. x+311 pp.

BT5

Bogomolov, F.; Tschinkel, Yu., Introduction to birational anabelian geometry, arXiv:1011.0883, 51 pages.

Br

Marco Brunella, Locally conformally Kaehler metrics on Kato surfaces, arXiv:1001.0530

D1

J.-P. Demailly, Holomorphic Morse inequalities, Several complex variables and complex geometry, Part 2 (Santa Cruz, CA, 1989), 93-114, Proc. Sympos. Pure Math., 52, Part 2, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1991.

D2

Demailly, Jean-Pierre, Regularization of closed positive currents and Intersection Theory, J. Alg. Geom. 1 (1992) 361-409

DT

S. K. Donaldson and R. P. Thomas, Gauge theory in higher dimensions, in The Geometric Universe (Oxford, 1996), Oxford Univ. Press, Oxford, 1998, 31-47.

GHR

Gates, S. J., Jr.; Hull, C. M.; Rocek, M., Twisted multiplets and new supersymmetric nonlinear $\sigma$ -models, Nuclear Phys. B 248 (1984), no. 1, 157-186.

GV

Gueo Grantcharov, Misha Verbitsky, Calibrations in hyperkahler geometry, arXiv:1009.1178, 31 pages.

Gu

Gualtieri, M., Generalized complex geometry, Oxford University Ph. D. thesis, 107 pages, math.DG/0401221

HL

R. Harvey, B. Lawson, Calibrated geometries, Acta Math. 148 (1982), 47-157.

KO

Y. Kamishima and L. Ornea, Geometric flow on compact locally conformally Kahler manifolds, Tohoku Math. J. 57 (2005), 201-221, arxiv:math/0105040.

KK

G. Kokarev, D. Kotschick, Fibrations and fundamental groups of Kähler-Weyl manifolds, arXiv:0811.1952, Proc. Amer. Math. Soc 138 (2010), 997-1010

KZ

Maxim Kontsevich, Yan Soibelman, Homological mirror symmetry and torus fibrations, arXiv:math/0011041, Symplectic geometry and mirror symmetry (Seoul, 2000), World Sci. Publishing, River Edge, NJ, 2001, pp. 203-263.

MV

Ruxandra Moraru, Misha Verbitsky, Stable bundles on hypercomplex surfaces, math.DG/0611714, Cent. Eur. J. Math. 8 (2010), no. 2, 327-337

OV0

L. Ornea and M. Verbitsky, Structure theorem for compact Vaisman manifolds, Math. Res. Lett. 10 (2003), 799-805.

OV1

L. Ornea and M. Verbitsky, An immersion theorem for compact Vaisman manifolds, Math. Ann. 332 (2005), no. 1, 121-143.

OV2

Ornea, Liviu; Verbitsky, Misha, Locally conformal Kähler manifolds with potential, Math. Ann. 348 (2010), no. 1, 25-33.

OV3

L. Ornea and M. Verbitsky, Embeddings of compact Sasakian manifolds, math.DG/0609617, 10 pages, Math. Res. Lett. 14 (2007), no. 4, 703-710.

OV4

L. Ornea and M. Verbitsky, Morse-Novikov cohomology of locally conformally Kähler manifolds, J.Geom.Phys. 59,(2009), 295-305. arXiv:0712.0107

OV5

Ornea, Liviu; Verbitsky, Misha, Topology of locally conformally Kähler manifolds with potential, Int. Math. Res. Not. IMRN 2010, no. 4, 717-726

OV6

Liviu Ornea, Misha Verbitsky, A report on locally conformally Kähler manifolds, arXiv:1002.3473, 14 pages.

SYZ

A. Strominger, S.-T. Yau, and E. Zaslow, Mirror Symmetry is T -duality, Nucl. Phys. B479, (1996) 243-259.

TT

Tao, T., Tian, G., A singularity removal theorem for Yang-Mills fields in higher dimensions, J. Amer. Math. Soc. 17 (2004), no. 3, 557-593, math.DG/0209352

T

Tian, G., Gauge theory and calibrated geometry, I, math.DG/0010015, 76 pages, Ann. of Math., (2) 151 (2000), no. 1, 193-268.

TY

R. P. Thomas and S.-T. Yau, Special Lagrangians, stable bundles and mean curvature flow, Comm. Anal. Geom. 10 (2002), no. 5, 1075-1113.

M

Martínez Torres D., Contact isometric embeddings in standard contact spheres via approximately holomorphic geometry, preprint, 2010.

Va

Vaisman, Izu, On locally conformal almost Kähler manifolds, Israel J. Math. 24 (1976), no. 3-4, 338-351.

V1

Verbitsky, M., Hyperholomorphic bundles over a hyperkähler manifold, Journ. of Alg. Geom., 5 no. 4 (1996) pp. 633-669.

V2

Verbitsky, M., Cohomology of compact hyperkähler manifolds and its applications, GAFA vol. 6 (4) pp. 601-612 (1996).

V3

Verbitsky, M., Vanishing theorems for locally conformal hyperkaehler manifolds, Proc. Steklov Inst. Math. 246 (2004) 54-78, arXiv:math/0302219.

V4

Verbitsky, M., Positive forms on hyperkahler manifolds, arXiv:0801.1899, Osaka J. Math. Volume 47, Number 2 (2010), 353-384.

V5

Verbitsky, M., Plurisubharmonic functions in calibrated geometry and q-convexity, arXiv:0712.4036, Math. Z., Vol. 264, No. 4, pp. 939-957 (2010)

V6

Verbitsky, M., Hyperkahler SYZ conjecture and semipositive line bundles, arXiv:0811.0639, GAFA 19, No. 5, 1481-1493 (2010)

V7

Verbitsky, M., Parabolic nef currents on hyperkaehler manifolds, arXiv:0907.4217

About this document ...

This document was generated using the LaTeX2HTML translator Version 2008 (1.71)

Copyright © 1993, 1994, 1995, 1996, Nikos Drakos, Computer Based Learning Unit, University of Leeds.
Copyright © 1997, 1998, 1999, Ross Moore, Mathematics Department, Macquarie University, Sydney.

The command line arguments were:
latex2html -split 0 2010-otchet

The translation was initiated by on 2010-12-29