Первая летняя математическая школа на Фонтанке: Геометрия 20173 - 8 июля, 2017ПОМИ, Фонтанка 27, Санкт-Петербург, Россия |
Научный комитет: Михаил Вербицкий (НИУ ВШЭ, ULB, Brussels), Валерий Гриценко (Université de Lille, IUF, НИУ ВШЭ), Александр Кузнецов (МИАН, НИУ ВШЭ), Иван Панин (ПОМИ).
К3-поверхность есть односвязная комплексная поверхность с тривиальным каноническим классом (допускающая невырожденную голоморфную форму объема). Я расскажу, почему все К3-поверхности диффеоморфны, и опишу пространство деформаций комплексных структур. Потом я расскажу про доказательство теоремы Торелли, утверждающей, что К3 поверхность определяется своей структурой Ходжа. На начальных лекциях от студентов не потребуется ничего, кроме базовых фактов и определений дифференциальной геометрии (многообразия, почти комплексные структуры, симплектические структуры, комплексные структуры). Ближе к концу, потребуется владение основными понятиями комплексной алгебраической геометрии: линейные расслоения, каноническое расслоение, связность Черна на голоморфном расслоении и ее кривизна, но я дам все нужные определения и расскажу вкратце, о чем это.
Я расскажу о многообразиях Фано --- одном из наиболее важных классов алгебраических многообразий. По определению, многообразие Фано --- этот гладкое проективное многообразие с обильным антиканоническим классом. В отличии от многообразий общего типа (многообразий с обильным каноническим классом), в каждой размерности имеется лишь конечное число деформационных классов многообразий Фано, однако полностью классифицировать их удалось только вплоть до размерности 3. Многообразия Фано близки по свойствам к рациональным многообразиям, в частности всякое многообразие Фано рационально связно. Однако, многие многообразия Фано не рациональны, и в общем случае вопрос о рациональности многообразий Фано является сложным и интересным. С другой стороны, многообразия Фано крайне интересны с точки зрения структуры их производной категории когерентных пучков. В частности, их производная категория всегда обладает интересным полуортогональным разложением, а структура его компонент тесно связана с геометрическими свойствами многообразия. Я расскажу о классификации многообразий Фано в размерностях не выше 3 и взаимосвязях между вопросами рациональности и структурой их производных категорий. Кроме того, я постараюсь рассказать о интересных вопросах для многообразий большей размерности.
Пространства Александрова - метрические пространства, которые в определенном смысле имеют ограниченную (сверху или снизу) кривизну. К ним относятся римановы многообразия, негладкие выпуклые поверхности, многие 'полиэдральные' объекты, пределы римановых многообразий и другие примеры. Пространства Александрова неположительной кривизны, называемые CAT(0)-пространствами, связаны с с дельта-гиперболичностью по Громову и, в частности, с гиперболическими группами. В курсе планируется обзор основ теории пространств Алексадрова: сравнение метрических пространств (расстояние по Громову-Хаусдорфу и т.п.), определение кривизны, теоремы глобализации, конструкции и свойства пространств Александрова. Предварительных знаний за пределами университетской программы первого-второго курса не требуется.
Данный курс будет посвящен вопросам, связанным с подходами к пониманию и изучению того,что мы называем некоммутативной алгебраической геометрией. Вначале мы поговорим о коммутативной геометрии и изучении обычных алгебраических многообразий с помощью когерентных пучков, которые естественно рассматривать все в совокупности как объекты производной категории. Будут обсуждаться вопросы описания данных категорий и их взаимосвязи друг с другом. Так же мы поговорим о том, чем хороши данные категории и как их можно выделить среди других похожих категорий,посмотрим на их различные свойства и на то, как увидеть в категорном мире проявление естественных свойств самих многообразий. Далее мы посмотрим на естественные пути появления некоммутативных многообразий и поговорим про их свойства, как на уровне когерентных пучков на них, так и производных категорий. Рассмотрим несложные но нетривиальные примеры таких некоммутативных многообразий и попробуем описать их различные свойства как те, которые приходят из коммутативной геометрии, так и новые эффекты, которые не видны в коммутативном мире.