Летняя математическая школа «Алгебра и геометрия»

Асимптотические поверхности дель Пеццо

Иван Чельцов (Университет Эдинбурга)

Резюме

Этот курс сфокусирован на одном (достаточно узком, но интересном) классе (лог) многообразий Фано (размерности два). Сначала мы дадим (простое) определение этих поверхностей (с границей). Затем мы получим их полную (очень наглядную) классификацию при (очень естественном) условии гладкости и неприводимости граничного дивизора. После этого мы рассмотрим (детально) вопрос их K-стабильности. А именно, мы покажем как использовать (так называемый) альфа-инвариант Тиана для доказательства K-стабильности найденых нами поверхностей, чей лог-канонический дивизор в пределе тривиален. Потом, мы воспользуемся (отфлоппированным) логарифмическим аналогом препятствия Росса и Томаса и покажем что поверхности, чей лог-канонический дивизор в пределе объемен, не являются K-стабильными. Наконец, мы оценим дельта-инвариант оставшихся поверхностей и покажем что почти все они (кроме шести семейств) также являются K-стабильными и (как следствие) обладают метриками Кэлера-Эйнштейна с (коническими) особенностями вдоль граничной кривой. K-стабильность поверхностей в оставшихся шести семействах (пока) неизвестна. Основная цель курса помочь участникам (коллективно) доказать это (по крайней мере в некоторых частных случаях). Курс не требует никаких специальных знаний кроме (базовой) бирациональной геометриии неособых (проективных) поверхностей.

Литература:
https://arxiv.org/abs/1308.2503
https://arxiv.org/abs/1508.04634
https://arxiv.org/abs/1509.02808
https://arxiv.org/abs/1807.07135
https://arxiv.org/abs/1807.08960
https://arxiv.org/abs/1809.09221