Летняя математическая школа "Алгебра и геометрия"

Тропическая теория Брилля-Нётера

Дмитрий Захаров (Courant, NYU)

Видеозаписи лекций

• Лекция 1
• Лекция 2
• Лекция 3
• Лекция 4

Резюме

Классическая теория Брилля-Нетера изучает специальные дивизоры на алгебраических кривых -- дивизоры, полные линейные системы которых имеют неожиданно большую размерность. Простейшими примерами кривых соспециальными дивизорами являются гиперэллиптические кривые, иалгебраические кривые можно классифицировать по наличию специальныхдивизоров того или иного типа. Интуитивно следовало бы ожидать, чтоналичие специальных дивизоров является исключением, и что наалгебраической кривой общего положения множество специальных дивизоровимеет минимальную возможную размерность. Это утверждение было доказано Гриффитсом и Харрисом в 1980 году (1), и является одним из важнейшихдостижений современной алгебраической геометрии. Тропическая геометрия -- обширная новая область математики, изучающаякомбинаторные аналоги классических геометрических объектов.Тропическим аналогом теории Брилля--Нетера является теория дивизоровна метризованных графах. Можно ввести тропические аналоги основныхпонятий -- дивизора, линейной эквивалентности, канонического класса,теоремы Римана-Роха, и группы Пикара. Более того, существует теснаясвязь между дивизорами на алгебраических кривых и дивизорами награфах. В отличие от классической теории, тропическая теория дивизоровотносится к элементарной алгебре, и все доказательства носяткомбинаторный характер. Тем самым, многие сложные вопросы геометрии кривых можно свести к вопросам о существовании графов с теми или иными свойствами.

Основная задача курса -- разобрать тропическое доказательство теоремы Гриффитса--Харриса, содержащееся в статье (2). Первая и последняялекции потребуют определенных знаний из алгебраической геометрии,тогда как вторая и третья лекции будут вполне элементарными.

Крайне полезными будут лекции курса по тропической теории Брилля--Нетера с сайта Сэма Пейна (6).
(1) P. Griffiths and J. Harris, "On the variety of special linear systems on a general algebraic curve", Duke Math. J. 47 (1980), no. 1,233-272.
(2) Filip Cools, Jan Draisma, Sam Payne, Elina Robeva, "A tropical proof of the Brill-Noether Theorem", arXiv:1001.2774
(3) Andreas Gathmann, Michael Kerber, "A Riemann-Roch theorem intropical geometry", arXiv:math/0612129
(4) Matthew Baker, Serguei Norine, "Riemann-Roch and Abel-Jacobitheory on a finite graph", arXiv:math/0608360
(5) Matthew Baker, "Specialization of linear systems from curves tographs", arXiv:math/0701075
(6) Dave Jensen, Sam Payne, lecture notes for a seminar course ontropical Brill--Noether theory: http://users.math.yale.edu/%7Esp547/Math665.html