Летняя математическая школа "Алгебра и геометрия"

Некоторые приложения p-адической униформизации в алгебраической динамике

Екатерина Америк (НИУ ВШЭ, Москва)

Видеозаписи лекций

• Лекция 1
• Лекция 2
• Лекция 3

Резюме

Пусть X алгебраическое многообразие, определенное над числовым полем K. Всем известно, что изучать комплексную геометрию X приятнее, чем геометрию над незамкнутым полем: даже K-точки на X не всегда существуют. Существование рациональной точки можно гарантировать, перейдя от K к какому-нибудь конечному расширению L; но и L-точек для каждого конкретного L может оказаться мало. Например, такие многообразия X, что для некоторого L множество X(L) плотно по Зарискому, называются потенциально плотными; гипотетически, потенциально плотные многообразия должны описываться в геометрических терминах, но все разумные гипотезы на эту тему очень далеки от доказательства или опровержения.

Про алгебраические точки (т.е. $\bar Q$-точки) хотя бы очевидно, что они плотны в X; но и кое-какие вопросы об алгебраических точках X естественным образом оказываются гораздо труднее, чем соответствующие вопросы о его комплексных точках. Рассмотрим, например, X, снабженное рациональным отображением в себя $f: X\dasharrow X$, и пусть это отображение бесконечного порядка. Очевидно, что существует точка с бесконечной орбитой: в самом деле, точки с конечной орбитой образуют счетное объединение собственных замкнутых подмногообразий, и оно не может совпадать со всем X. С другой стороны, поскольку счетно само $\bar \Q$ , не очевидно, что такая точка найдется уже в $X(\bar Q)$ .

Этот круг вопросов, очевидно, связан с вопросом о потенциальной плотности рациональных точек в случае, когда X снабжено отображением в себя: если мы каким-то образом умеем находить алгебраическую точку с плотной по Зарискому орбитой, то потенциальная плотность получается как прямое следствие.

Я расскажу о достаточно элементарных $p$-адических методах, позволяющих в каких-то ситуациях отвечать на вопросы об орбитах рациональных точек. В частности, мы докажем, что у рационального отображения бесконечного порядка найдется алгебраическая точка с бесконечной орбитой. От слушателей потребуется знакомство с основами алгебраической геометрии.

Обзор по теме лекций можно найти здесь.