Летняя математическая школа "Алгебра и геометрия"

Когомологические инварианты алгебраических групп

Александр Меркурьев (University of California, США)

Видеозаписи лекций

• Лекция 1
• Лекция 2
• Лекция 3
• Лекция 4

Резюме

Резюме: Жан-Пьер Серр ввел в рассмотрение понятие когомологического инварианта алгебраической группы G как метод изучения главных однородных G-пространств, т.е. алгебраических многообразий с однотранзитивным действием группы G. Когомологический инвариант группы G, определенной над полем F, сопоставляет каждому главному однородному G-пространству над произвольным расширением K поля F класс (когомологический инвариант) в группе когомологий Галуа поля K с коэффициентами в некотором фиксированном модуле Галуа.

Главные однородные пространства алгебраических групп тесно связаны с такими классическими алгебраическими объектами как простые алгебры, квадратичные и билинейный формы, алгебры с инволюциями, алгебры Кэли-Диксона и др. Таким образом, метод Серра позволяет изучать классические алгебраические объекты при помощи групп когомологий Галуа. Простейшими примерами когомологических инвариантов являются классы Штифеля-Уитни квадратичных форм (в частности, детерминант и инвариант Клиффорда квадратичной формы) и классы простых алгебр в группе Брауэра поля.

Главные однородные G-пространства перечисляются точками классифицирующего пространства BG. Чем проще устроено BG, тем легче классифицировать главные однородные G-пространства. Поэтому важной задачей является проблема (стабильной) рациональности классифицирующего пространства BG. Связь между этой задачей и когомологическими инвариантами устанавливается следующим утверждением: если группа G имеет непостоянный неразветвленный когомологический инвариант, то пространство BG не стабильно рационально.

В лекциях будет рассказано о методах определения когомологических инвариантов алгебраических групп и их применениях при изучении классифицирующих пространств алгебраических групп.

Предполагается знание основ алгебраической геометрии и теории когомологий Галуа.

Литература:

R.Garibaldi, A.Merkurjev, and Serre J.-P., Cohomological invariants in Galois cohomology, American Mathematical Society, Providence, RI, 2003.