Летняя математическая школа "Алгебра и геометрия"

25 - 31 июля, 2015

Ярославль, Россия


Научный комитет: Федор Богомолов (Courant Institute, НИУ ВШЭ), Валерий Гриценко (Université de Lille, НИУ ВШЭ), Алексей Зыкин (UPF, НИУ ВШЭ, ИППИ РАН), Александр Кузнецов (МИАН, НИУ ВШЭ).


Когомологические инварианты алгебраических групп

Александр Меркурьев (University of California, США)

Видеозаписи лекций

Резюме

Резюме: Жан-Пьер Серр ввел в рассмотрение понятие когомологического инварианта алгебраической группы G как метод изучения главных однородных G-пространств, т.е. алгебраических многообразий с однотранзитивным действием группы G. Когомологический инвариант группы G, определенной над полем F, сопоставляет каждому главному однородному G-пространству над произвольным расширением K поля F класс (когомологический инвариант) в группе когомологий Галуа поля K с коэффициентами в некотором фиксированном модуле Галуа.


Главные однородные пространства алгебраических групп тесно связаны с такими классическими алгебраическими объектами как простые алгебры, квадратичные и билинейный формы, алгебры с инволюциями, алгебры Кэли-Диксона и др. Таким образом, метод Серра позволяет изучать классические алгебраические объекты при помощи групп когомологий Галуа. Простейшими примерами когомологических инвариантов являются классы Штифеля-Уитни квадратичных форм (в частности, детерминант и инвариант Клиффорда квадратичной формы) и классы простых алгебр в группе Брауэра поля.


Главные однородные G-пространства перечисляются точками классифицирующего пространства BG. Чем проще устроено BG, тем легче классифицировать главные однородные G-пространства. Поэтому важной задачей является проблема (стабильной) рациональности классифицирующего пространства BG. Связь между этой задачей и когомологическими инвариантами устанавливается следующим утверждением: если группа G имеет непостоянный неразветвленный когомологический инвариант, то пространство BG не стабильно рационально.


В лекциях будет рассказано о методах определения когомологических инвариантов алгебраических групп и их применениях при изучении классифицирующих пространств алгебраических групп.


Предполагается знание основ алгебраической геометрии и теории когомологий Галуа.

Литература:

R.Garibaldi, A.Merkurjev, and Serre J.-P., Cohomological invariants in Galois cohomology, American Mathematical Society, Providence, RI, 2003.

Страница Лаборатории алгебраической геометрии и ее приложений