Летняя математическая школа "Алгебра и геометрия"

Арифметика квадратичных форм

Валерий Гриценко (Лаборатория Пенлеве, Лилль и Лаборатория алгебраической геометрии ВШЭ, Москва)

Видеозаписи лекций

• Лекция 1
• Лекция 2
• Лекция 3
• Лекция 4

Резюме

Мой краткий опыт преподавания на факультете математики ВШЭ показал, что многие студенты, занимающиеся алгебраической геометрией, топологией или теорией представлений, мало знакомы с классическими результатами и методами теории квадратичных форм. В этих лекциях мы дадим краткое арифметическое введение в эту теорию в форме удобной для приложений в разных областях математики.

Мы начнем с классических задач представлений целых чисел квадратичными формами, сравнений и p-адических чисел. Затем рассмотрим понятия класса, рода и спинорного рода квадратичных форм, дадим их локальное (p-адическое) и глобальное (адельное) описания вместе с очень важным, с точки зрения приложений, понятием дискриминантной группы. Основным результатом курса будет теорема Минковского-Зигеля для количества представлений числа родом квадратичной формы в ее классической формулировки и в терминах теории алгебраических групп.

Данный курс имеет общеобразовательный характер и доступен всем слушателям. Однако мы постараемся показать научный потенциал предмета и сформулировать несколько новых результатов и нерешенных проблем.

Литература

• Дж. Конвей, Н. Слоэн. Упаковки шаров, решетки и группы. - М.: Мир, 1990.
• Ж.-П.Серр. Курс арифметики. - Мир, 1972.
• L. J. Gerstein. Basic Quadratic forms. Graduate Studies in Mathematics, vol. 90, 2008.
• M. Kneser. Quadratishe Formen. - Springer, 2002.