Летняя математическая школа "Алгебра и геометрия"25 - 31 июля, 2013Ярославль, Россия |
Научный комитет: Федор Богомолов (Courant Institute, НИУ ВШЭ), Михаил Вербицкий (НИУ ВШЭ), Алексей Зыкин (НИУ ВШЭ, ИППИ РАН, Лаборатория Понселе).
Симплектическое многообразие есть многообразие, касательное расслоение которого снабжено замкнутой (лежащей в ядре дифференциала де Рама), невырожденной кососимметрической 2-формой. Такая форма называется симплектической. Теорема Дарбу говорит, что симплектические многообразия локально изоморфны симплектическому шару, то есть шару в вещественном пространстве $\R^{2n}$ со стандартной (гамильтоновой) симплектической формой $\sum_i dp_i dq_i$. Теорема Мозера утверждает, что две симплектические формы, которые изотопны (лежат в одном классе связности пространства симплектических форм) диффеоморфны (переводятся друг в друга диффеоморфизмом). Я расскажу основы симплектической геометрии (теорему Дарбу, теорему Мозера) и докажу, что группа симплектоморфизмов (диффеоморфизмов, сохраняющих симплектическую форму) замкнута в группе диффеоморфизмов многообразия.
Симплектическая емкость многообразия M (определенная Экландом и Хофером) равна $\pi r^2$, где r -- супремум радиусов симплектических шаров, которые можно вложить в M. Симплектический объем многообразия -- интеграл старшей степени симплектической формы. Симплектическая емкость может быть конечна даже для многообразия бесконечного объема; это приводит к большому количеству интересных вопросов, связанных с "симплектическими упаковками шаров", то есть подсчетом числа симплектических шаров заданного радиуса, которые можно симплектически вложить в многообразие. Следуя Громову, я вычислю симплектическую емкость симплектического цилиндра (произведения шара и симплектического пространства), и докажу, что она конечна.
Лекции предполагают знакомство с понятием многообразия, дифференциальной формы, и основами топологии.