Летняя математическая школа "Алгебра и геометрия"

Неожиданные суперсимметрии

Дмитрий Лейтес (Stockholm University, Швеция)

Видеозаписи лекций

• Лекция 1
• Лекция 2
• Лекция 3
• Лекция 4

Резюме

Прежде всего я напомню определения простейших фактов из линейной алгебры на суперпространствах и супермногообразий. Опыт показывает, что даже те слушатели, которые это знают, не уснут: услышат и неожиданное.

1. "Объединение" - вот основная идея физики последних 200 лет приведшая к "SUSY GUTS". А есть и другие, не менее важные: частица - не точка, а струна, но главное: суперпространство Минковского НЕГОЛОНОМНОЕ. (А его "суперность" - мелочь, по сравнению с его неголономностью.)
2. Софус Ли (Sophus Lie) ввел группы и алгебры, носящие его имя, чтобы описать симметрии диффуров. Эли Картан (Elie Cartan) предложил два типа описаний диффуров: как подмногообразий в (бесконечномерном) многообразии струй (джетов) и в терминах внешних дифференциальных форм. Второе описание немедленно показывает, что у каждого диффура есть СУПЕРгруппа симметрии (возможно, сводящаяся к группе).
3. Вперед, к "некоммутативной геометрии"! Недавние результаты В. Овсиенко единственный, на мой взгляд, осмысленный шаг среди многочисленных попыток построить такую некоммутативную геометрию, на которой имелась бы "реальная жизнь": диффуры и интеграл.
4. Говоря о многообразиях, математики и физики имеют обычно ввиду вещественные или комплексные (или p-адические) объекты. Супермногообразие же Минковского, введенное физиками (а не просто супермногообразие "вообще"), --- помесь вещественного и комплексного супермногообразий в присутствии неголономного распределения. Подробности см. в arXiv:1010.4480, где описан аналог тензора Римана, учитывающий неголономность того (супер)многообразия, на котором мы его (тензор) рассматриваем.
5. Некоторые думают, что понятие "супералгебра Ли" появилось в 1970-х в работах физиков. Это не так. "Суперы" появились в 1930-х, у топологов, причем над конечными полями. Недавно было замечено, что представления некоторых простых алгебр Ли над полями положительной характеристики напоминают представления квантовых групп (точнее, алгебр) над полем комплексных чисел. Тут много нерешенных задач.

Классификация простых алгебр Ли над алгебраически замкнутыми полями характеристики p>7 была предложена в 1969 Кострикиным и Шафаревичем в виде гипотезы. С уточнениями гипотезу недавно доказали, в основном, усилиями Премета и Штраде, опиравшимися на результаты Блока и Уилсона. В характеристиках 3 и 2 были известны примеры, не получающиеся в подходе Кострикина-Шафаревича и не было никакой идеи как получить "весь список". Вот такую идею, связанную с предыдущими пунктами лекций, я собираюсь рассказать. Гипотезу, которую я изложу, надо доказать. Будут сформулированы и другие задачи разной степени трудности.