Летняя математическая школа "Алгебра и геометрия"1 - 7 августа, 2011Ярославль, Россия |
Научный комитет: Михаил Вербицкий (НИУ ВШЭ), Алексей Зыкин (НИУ ВШЭ, ИППИ РАН, Лаборатория Понселе).
Аменабельная группа есть группа, на которой есть ненулевая конечно-аддитивная мера, принимающая конечные значения на всех подмножествах, и инвариантная относительно (правого) действия группы на себе. Аменабельные группы суть интересный класс групп, замкнутый относительно взятия расширений, подгрупп, и содержащий все конечные и все абелевы группы. С другой стороны, свободная группа от двух образующих не аменабельна, что влечет неаменабельность многих матричных групп, таких, как GL(3). С помощью теории аменабельных групп, Брюс Клейнер получил простое доказательство знаменитой теоремы Громова о группах полиномиального роста; я расскажу в общих чертах, в чем там дело.
1. Теорема Хана-Банаха и аменабельность коммутативных групп.
2. Группы полиномиального роста и их аменабельность.
3. Неаменабельность свободной группы и парадокс Банаха-Тарского.
4. Альтернатива Титса и аменабельная альтернатива Титса-Шалома.
5. Теорема Громова о группах полиномиального роста, и набросок ее доказательства по Громову и по Клайнеру (если успеем).
Требуется знание основ анализа и теории меры в объеме хорошего университетского учебника (скажем, Лорана Шварца), и знакомство с основами теории групп Ли. Ссылки на научную литературу, потребную для лекций, содержатся в блоге Теренса Тао.