Летняя математическая школа "Алгебра и геометрия"

1 - 7 августа, 2011

Ярославль, Россия

Научный комитет: Михаил Вербицкий (НИУ ВШЭ), Алексей Зыкин (НИУ ВШЭ, ИППИ РАН, Лаборатория Понселе).

Новые направления и перспективы в двумерной теории чисел

Иван Фесенко (University of Nottingham, Великобритания)

Видеозаписи лекций

Резюме

Эйлеровское определение дзета функции для целых чисел расширяется на комплексную переменную и обобщается на числовые и, более общо, одномерные глобальные поля. Глубокие аспекты аналитической и алгебраической теории чисел взаимосвязываются через дзету функцию и ее свойства. Одно из наиболее концептуальных пониманий ее свойств появляется при работе с дзета интегралом, вычисления которого (Ивасава, Тейт, Вейль) используют переплетение арифметических, геометрических, алгебраических методов, а также гармонический анализ.


Легко распространить определение дзета функции на коммутативные кольца, в которых каждый максимальный идеал имеет конечный индекс. Отсюда совсем близко до определения дзета функции схемы конечного типа на целыми числами, например решений системы полиномиальных уравнений с целыми коеффициентами. Разнообразная информация об этих решениях закодирована в одном обьекте - дзета функции схемы. Для схем размерности > 1 с полем функций характеристики 0 мы по-прежнему знаем очень мало о дзета фукциях.


Один из первых нетривиальных примеров двумерных схем поставляется регулярной моделью X эллиптической кривой E над глобальным полем k. Вычисления, выполненные послойно, дают, что дзета функция Z(X,s) поверхности X равна произведению вспомогательного множителя, дзета функции Z(k,s) одномерного глобального поля k и сдвинутой дзета функции Z(k, s-1), поделенному на L-функцию L(E,s) кривой E, т.е. общего слоя. По ряду исторических и технических причин именно последняя функция интенсивно изучалась. Группа Галуа, порожденная точками конечного порядка кривой E над k, неабелева в общем случае, и с этой точки зрения L-функция изучается в целом неабелевыми методами, окольными и специальными в характеристике ноль, использующими дополнительные структуры, которые не распространяются на общий случай. Напротив, ожидается, что дзета функцию арифметической схемы можно изучать абелевыми методами, в частности для Х соответствующая группа G - группа Галуа максимального абелева расширения поля функций Х, двумерного глобального поля. При работе в правильной геометрической размерности два, непростая специальная одномерная неабелева теория заменяется на достаточно общую двумерную абелеву.


Есть три ключевые проблемы о дзета функции Z(X,s). Первая - доказать мероморфное продолжение и функциональное уравнение Z(X,s); для числового поля k это неизвестно в общем случае и следует из теоремы Вайлса (который работает с L-функцией) в самом простом случае когда k - рациональное поле. Вторая (гипотеза BSD) - вычислить вычет Z(X,s) в 1, и, в частности, обьяснить ожидаемое соотношение порядка полюса и арифметического ранга E(k) (или, равносильно, геометрического Пикаровского ранга Х); вычисления проведены лишь в специальных случаях маленького ранга и маленьких полей, где есть дополнительные структуры, такие как т.н. Эйлеровские системы. Третья (2-мерная гипотеза Римана, GRH) - понять причины и доказать, что нецелые полюса Z(X,s) лежат на вертикальной прямой, проходящей через 1; в частности, X как двумерный обьект, более открыт физически мотивированным подходам, которые безуспешно опробывались для дзета функции целых чисел в XX веке.


Данная серия лекций неформально представит ключевые адельные методы для изучения дзета функции Z(X,s). Аналоги многих обьектов из классической теории раздваиваются в размерности два. Например, дивизоры одномерных схем обобщаются до 1-циклов (геометрия) или до 0-циклов (намного более важных для дзета функции) на поверхностях; и есть не одна, а две, геометрическая и аналитическая адельные структуры на поверхности Х. На мультипликативном уровне две адельные структуры взаимодействуют в явной двумерной теории полей классов через отображение взаимности в абелеву группу G. Двумерный дзета интеграл определенным образом учитывает эти структуры и с помощью двумерной тета-формулы сводит изучение трех ключевых проблем к конкретным более простым вопросам об адельных пространствах и интегралам по ним.


Вот содержание семинара для аспирантов первого курса, 2010/2011, охватывающего большую часть материала.


Что можно почитать для подготовки к курсу (очень желательно хотя бы ознакомиться с 1,2,3):


1. Одномерная теория дзета интеграла (zeta integral) короткое изложение неразветвленной (без подкручивания характером) теории на 4 страницах содержится в письме Ивасавы, см. файл iw.pdf на этой странице (на английском), в этом же тексте он заодно доказывает несколько ключевых теорем классической алг. теории чисел. Для подготовки к курсу могут оказаться полезными главы про идели и адели, а также про одномерные дзета- и L-функции, находящиеся в той же папке. Более подробное изложение см. в последней главе русского перевода книги Ленга "Алгебраические числа" и книги Вейля "Основы теории чисел".


2. Теория полей классов (class field theory), знание ее общих структур и теорем. Понимание ТПК существенно улучшилось с момента ее создания, многие части сильно упрощены. Что касается локальной теории, см. вот эту страницу, гл. 4. Основные теоремы глобальной теории полей классов можно прочитать в книге Вейля (однако метод их доказательств не самый оптимальный для первого знакомства) или делая поиск в интернете; если есть возможность, см. также две книги Neukirch'a "Class field theory" (тонкая книга, читается за две недели) и "Algebraic number theory" (толстовата) на английском, они содержат самые простые доказательства основных теорем, см. также главу об одномерных дзета функциях. Другой классический источник - Class Field Theory, Artin and Tate.


3. К_2-группы Милнора двумерных полей и колец используются в двумерной теории полей классов, заменяя мультипликативную группы в классической теории. Простейшие сведения о К-теории Милнора доступны здесь.


4. Введение в многомерные локальные поля и теории полей классов, см. статьи здесь, а также см. здесь текст "An introduction to higher local fields".


5. Арифметика эллиптических кривых и их модели: если есть возможность, см. отличную для первого чтения книгу Silverman'а "Advanced topics in the arithmetic of elliptic curves".


6. Для дзета интеграла арифметических поверхностей нужна инвариантная мера на двумерных обьектах. Достаточно простая и относительно самостоятельная тема: мера и интегрирование на многомерных полях, для обзора см. части этой статьи ; детали см. здесь (основное новшество - разрешить мере принимать значения в степенных рядах R((X)) и учитывать двумерные аспекты расходимости), здесь развитие , где также обсуждение аналогии с (до сих пор не существующим математически) Фейнмановским интегралом, наконец простой метод поднятия меры с поля вычетов см. здесь текст "Integration on valuations fields over local fields".


7. Двумерный адельный анализ, аспекты, приложения: как введение см. части этой статьи, а здесь подробно. Вот слайды одного из докладов. Есть и совсем простая, в основном аналитическая статья о функциях периодичных в среднем и дзета функциях арифметических схем, она использует обобщение "равенства Эйлера": сумма целых степеней х равна 0, если х отличен от 1.


Упомянутые здесь книги, а также многие другие можно найти на этом сайте.