Algebraic structures in convex geometry:
talks and abstracts
Home | Venue | Schedule | Program
Semyon Alesker
(Tel-Aviv University)
Интегральные преобразования на вещественном Грассмане
(совм. с Д. Гуревичем и С. Сахи)
Преобразование α-косинусов на функциях на вещественном Грассманиане часто возникает в вопросах выпуклой, интегральной, и стохастической геометрии; случай α=1 наиболее геометричен. В докладе мы получим явное аналитическое описание преобразования для некоторых других значений параметра α, а также связь между преобразованиями для различных значений α. В частности оказалось , что преобразование Радона между k- и (n-k)-Грассманианами в R^n совпадает с α= -min{k,n-k} -преобразованием косинусов, а некоторые композиции двух преобразований Радона соответствуют другим значениям α. Основые используемые методы - теория представлений групп GL(n,R) и O(n).
Alexander Esterov (HSE)
Тропические многообразия с полиномиальными весами
Я напомню понятие тропического многообразия и примеры его приложений в
выпуклой и перечислительной геометрии. Затем я расскажу про тропические
многообразия с полиномиальными весами и продемонстрирую, как они
естественным образом возникают в задачах выпуклой и перечислительной
геометрии.
Dmitry Faifman
(Tel-Aviv University)
Конволюция на обобщённых валюациях и алгебра политопов Макмуллена
(совм. с А. Бернигом)
Выпуклые валюации - это конечно-аддитивные меры на множестве выпуклых тел. Ограничимся теми из них, которые инварианты относительно сдвигов. Среди них выделяются классы валюаций с хорошими аналитическими свойствами, например - гладкие валюации, или дуальные к ним обобщённые валюации. На гладких валюациях имеется богатая алгебраическая структура, обнаруженная в работах Алескера, Бернига, Фу и других. Так, например, имеется конволюция валюаций, превращающая валюации в кольцо.
Алгебра Макмуллена, в свою очередь, является универсальным объектом для валюаций на многогранниках. Оказывается, что она естественно отображается в пространство обобщённых выпуклых валюаций. Мы покажем, что это на самом деле есть вложение. Более того, произведение на алгебре Макмуллена соответствует частично определённой конволюции на обобщённых валюациях, продолжающей обычную конволюцию.
Gleb Gusev
(MIPT)
Системы полиномиальных уравнений с единственным решением
We classify general systems of polynomial equations with a
single solution, or, equivalently, collections of lattice
polytopes of mixed volume 1. As a byproduct, this
classification provides an algorithm to evaluate
the single solution of such a system.
The talk is based on the paper
Alexander Esterov, Gleb Gusev,
Systems of equations with a single solution.
Boris Kazarnovskii (Kharkevich Institute)
О действии оператора Монжа-Ампера на кусочно-линейных функциях
Знаменитая теорема Минковского о выпуклых многогранниках эквивалентна описанию результатов действия оператора Монжа-Ампера степени n-1 на кусочно линейных опорных функциях. Действие комплексного оператора Монжа-Ампера на кусочно линейных функциях в комплексном пространстве возникает при тропическом описании множества решений систем экспоненциальных сумм. Оказывается, что кольцо "экспоненциальных тропических многоообразий" (содержащее кольцо обычных тропических многообразий) является кольцом потоков, состоящим из результатов действия комплексного оператора. Будут приведены некоторые геометрические приложения и показано, что конструкция умножения тропических многообразий соответствует некоторому алгоритму умножения когомологий полиэдральных комплексов.
Roman Karasev
(MIPT)
Covering dimension using toric varieties
We are going to discuss some high-tech proofs of the
classical and elementary theorems like the Lebesgues
theorem on covering the cube, the
Knaster--Kuratowski--Mazurkiewicz theorem on covering the
simplex, and the center point theorem for finite point
sets.
We use the toric approach and exploit some elementary
cohomology structure of the toric varieties associated
with the polytopes in question. Besides proving the old
theorems we can prove slightly more with this approach.
Alexander Kolesnikov (HSE)
On the Monge-Ampere equation, related metric-measure spaces, and
isoperimetric inequalities for convex bodies
Об уравнении Монжа-Ампера, метрических пространствах
с мерой и изопериметрических неравенствах для выпуклых тел.
В докладе будет рассказано как о классических, так и
недавних результатах об изопериметрических неравенствах и
неравенствах
типа Брунна-Минковского для выпуклых тел и, более общим
образом, для пространств обобщенной неотрицательной
кривизны (CD(K,N)-пространств). В первой части доклада
будет рассказано о линейных методах (формула Бохнера для
многообразий с краем и линейные эллиптические
уравнения). Во второй части будет рассказано о приложениях
уравнения Монжа-Ампера к такого рода задачам и некоторых
вероятностных свойствах его решения. На основе совместных
работ докладчика с Э. Мильманом (Технион, Хайфа) и
Б. Клартагом (Университет Тель-Авива).
Vitali Milman (Tel-Aviv University)
Remarks on algebraic related structures in the families of Convex sets and log-concave functions
In the talk we discus summations on the families of
convex sets and convex/log-concave functions.
Under mild conditions we describe all possible summations
and locate the one which creates the polarization of
volume; we also introduce the new summation on the family
of log-concave functions which leads to polarization of
the Lebegue integral on the class of log-concave
integrable functions.
We also study all existing polarity relations on the
class of convex functions in R^n and connect it with the
algebraic structure of this family.
Daniil Rudenko (HSE)
Scissor congruence and reciprocity laws
В докладе будет рассказано о связи между понятием
равносоставленности многогранников и алгебраической
К-теорией.
Помимо классических результатов будет рассказано о
гипотезах А. Гончарова, обобщающих эту связь на
пространства высших размерностей.
Особое внимание будет уделено гипотезе под названием
"Усиленный Закон Взаимности Суслина", позволяющей, грубо
говоря, конструировать многогранники с нетривиальными
свойствами, связанными с равносоставленностью, по
алгебраическим функциям на кривых
Vladlen Timorin (HSE)
On the theory of coconvex bodies
(joint work with Askold Khovanskii)
If the complement of a closed convex set in a closed convex cone is bounded, then this complement minus the apex of the cone is called a coconvex set. Coconvex sets appear in singularity theory (they are closely related to
Newton diagrams) and in commutative algebra. Such invariants of coconvex sets as volumes, mixed volumes,
number of integer points, etc., play an important role. We extend various results from the theory of convex bodies to the coconvex setting. These include the Aleksandrov-Fenchel inequality and the Ehrhart duality.
Anatoly Vershik
Башня мер: стандартность и нестандартность в теории проективных пределов
симплексов
Изучение убывающих фильтраций оказалось очень полезным для теории
локально-полупростых алгебр (таких, как групповые алгебры локально-конечных
групп),
комбинаторный двойник которых - так называемая диаграмма Браттели
-$N$-градуированный граф. Но еще один, и при том новый, аналог этой теории
--- теория проективных пределов конечномерных симплексов, т.е.объектов
выпуклой геометрии.
Весь доклад будет вертеться около главного примера: "диадической башни мер"
замечательного бесконечномерного симплекса (полсеновского). Он служит
универсальной и потому нестандартной моделью для фильтраций.
Целый ряд старых и новых проблем об инвариантных мерах, следах, K-функторе
и др.
связан с ним.
Home | Venue |
Schedule | Program