Летняя математическая школа "Алгебра и геометрия" 30 июля - 4 августа, 2024 Суздаль, Россия

Список курсов:

М. Батанин

Полиномиальные монады и пространства узлов Этот миникурс - введение в теорию классификаторов внутренних алгебр полиномиальных монад в категории множеств. Курс состоит из трёх частей. В первой части я напомню некоторые классические конструкции теории неабелевых когомологий малых категорий с непостоянными коэффициентами. Известно, что эти когомологии копредставимы. Представляющие их объекты называются классификаторами внутренних предпучков. Замечательные свойства этих классификаторов позволят нам развить теорию категорий с непостоянными коэффициентами. Во второй части курса я покажу, что те же идеи неабелевых когомологий применимы к категории полиномиальных монад. Категория малых категорий вкладывается в категорию полиномиальных монад как ее линейная часть. Роль предпучков в этой теории играют алгебры полилинейных монад. Мы определим когомологии полилинейных монад с коэффициентами в категорных алгебрах полилинейных монад и покажем, что эти когомологии копредставимы. Представляющие их объекты называются классификаторами внутренних алгебр полилинейных монад. Это некоторые категорные алгебры с замечательными свойствами, которые мы изучим. Пример такого классификатора - моноидальная категория \Delta всех конечных ординалов. Мы покажем что многие классические теоремы гомотопической теории малых категорий (теоремы Квиллена, Томасона, теория кофинальных функторов и многие другие) остаются верными и для полиномиальных монад. В третьей части курса я покажу как развитая техника применяется к доказательству одной важной теоремы из теории узлов. А именно, мы докажем теорему Турчина-Дуайра и Хесс о явном двойном распетливании пространства длинных узлов. Техника классификаторов внутренних алгебр позволяет дать альтернативное и более концептуальное доказательство этой теоремы допускающее дальнейшие обобщения.

Д. Запорожец

Метрическая теория цепных дробей

Курс охватывает фундаментальные аспекты изучения цепных дробей в контексте метрической теории чисел. Лекции будут посвящены введению в цепные дроби, теореме Гаусса-Кузьмина и её обобщениям, а также другим аспектам и приложениям этой теории. Особое внимание уделяется распределению дробных частей иррациональных чисел, эргодическим свойствам и статистическим закономерностям, возникающим в последовательностях элементов цепных дробей.

К. Логинов

Двойственные комплексы пар Калаби-Яу

Я расскажу об одной гипотезе, возникающей на стыке бирациональной геометрии и топологии и описывающей комбинаторику вырождений многообразий Калаби-Яу. Зачем изучать такие многообразия, какие здесь бывают простейшие примеры, и почему эту гипотезу иногда называют алгебро-геометрической версией гипотезы Пуанкаре - вот о чем пойдет речь в этом мини-курсе.

О. Починка

Связь динамики регулярных систем с топологией их несущих многообразий

К регулярным динамическим системам относят системы, имеющие конечное множество периодических траектори. Классическим примером таких систем являются градиентные потоки функций Морса. Они естественно наследуют тесную связь с топологией несущего многообразия, поскольку неподвижные точки потока совпадают с критическими точками функции Морса. Непосредственным обобщением градиентных потоков являются потоки Морса-Смейла, введенные в рассмотрение А.А. Андроновым и Л.С. Понтрягиным в 1937 году, как эталон регулярной структурно устойчивой динамики. Их дискретные аналоги -- диффеоморфизмы Морса-Смейла, как и сами потоки, существуют на любых гладких многообразиях. В свете открытости проблемы классификации многообразий, начиная с размерности 3, становится крайне важным изучение взаимосвязи топологии многообразия и заданной на нем системы Морса-Смейла. В размерности 2 эти взаимосвязи во многом определяются неравенствами Морса и Морса-Ботта и исследование в этой области можно считать завершенным, ввиду однозначной идентификации поверхности по ее эйлеровой характеристике. В размерности 3 такой однозначности нет, но существует несколько характеристик, позволяющих сделать выводы о топологии многообразия. К таким характеристикам относятся разбиение Хегора, разложение Кнезера-Милнора, JSJ-представление. В рамках курса мы проведем параллели, связывающие динамику трехмерных потоков Морса-Смейла с упомянутыми характеристиками. Коснемся некоторых открытых вопросов, связанных с аналогичными взаимоотношениями для диффеоморфизмов Морса-Смейла.

С. Тихонов

Центральные простые алгебры над локальными полями

Я расскажу об описании центральных простых алгебр над локальными полями. Это описание позволяет доказать, что группа Брауэра локального поля изоморфна Q/Z. В завершение я расскажу о группах Брауэра числовых полей, а также о некоторых известных нерешенных проблемах из теории центральных простых алгебр.

А. Шафаревич

Контрпримеры к 14-ой проблеме Гильберта

Известная 14-ая проблема Гильберта спрашивает следующее. Пусть K-поле и L подполе в поле рациональных функций K(x_1,...x_n). Верно ли, что пересечение R поля L с алгеброй многочленов K[x_1,...x_n] является конечно порожденной K-алгеброй? Одним из наиболее интересных частных случаев этого вопроса, является случай, когда L - поле инвариантов для некоторого регулярного действия линейной алгебраической группы. Тогда R - это алгебра регулярных инвариантов для этого действия. В середин 20-го века Нагатой был построен пример действия 13-мерной векторной группы на 32-мерном векторном пространстве, для которого алгебра регулярных функций не является конечно порожденной. Таким образом Нагата дал отрицательный ответ на вопрос Гильберта. Однако позже было получено много других красивых результатов связанных с 14-ой проблемой Гильберта. В этом мини-курсе я постараюсь разобрать контрпримеры Нагаты, а также другие известные контрпримеры. Помимо этого планируется также обсудить и условия, при которых 14-ая проблема Гильберта имеет положительное решение, в частности планируется обсудить теоремы Вайценбека, Гроссханса и Зарисского (о конечности).

Б. Шойхет

Подход к доказательству гипотезы Концевича о швейцарском сыре

Цепная операда Swiss Cheese позволяет определить что значит что 2-алгебра действует на 1-алгебре. (Под n-алгеброй здесь понимается алгебра над цепной операдой маленьких дисков в размерности n). Концевич в 1999 сформулировал гипотезу, утверждающую что при фиксированной 1-алгебре A, гомотопическая категория категории, объекты которой определяются как пары (B,A) где B 2-алгебра действующая на 1-алгебре A, и морфизмы определяются как отображения 2-алгебр согласованные с действием на A, имеет финальный элемент. На самом деле, этот финальный элемент есть (с точностью до квазиизоморфизма) когомологический комплекс Хохшильда 1-алгебры A, и это дает внутреннее определение комплекса Хохшильда, со структурой 2-алгебры на нем. Эта гипотеза была сформулирована Концевичем для любого n, она была доказана Дж. Томасом в 2010. Доказательство очень непростое и непрозрачное. В этом докладе будет предложено альтернативное доказательство (точнее, некоторый подход), хоть и работающее пока только для n=1 (то есть это утверждение про действие 2-алгебр на 1-алгебры). Она основано на (а) нашей конструкции скрученного тензорного произведения малых дг категорий, и (б) общем концептуальном подходе Батанина к гипотезе Swiss Cheese для высших категорий, представленном им в докладе 2011 года. С другой стороны, наш подход работает не только для дг алгебр но и для малых дг категорий.