Symplectic geometry, Fall 2021
NRU HSE (announcement)

В первом приближении, можно сказать, что симплектическая
геометрия изучает симплектические многообразия
и группы симплектоморфизмов, действующие на них.
Я планирую рассказать о классических результатах симплектической
геометрии, и закончу работами Громова по псевдоголоморфным
кривым и симплектической емкости.  

Пререквизиты:

студентам понадобятся знания 
базовой топологии (гомотопии,
когомологии, гомотопические группы)

геометрии многообразий (когомологии де Рама, гладкие
многообразия, потоки диффеоморфизмов, действие групп
и алгебр Ли на многообразиях)

комплексной геометрии (почти комплексные и комплексные
многообразия; совсем немного)

Никаких дополнительных знаний не понадобится,
но гладкие многообразия и потоки диффеоморфизмов
придется знать очень хорошо.

* * * 

Symplectic geometry is a rapidly growing field of
mathematics, studying finite-dimensional and
infinite-dimensional objects. Through Fukaya's
theory, symplectic geometry has many applications
to the string physics and algebraic geometry.
I would discuss basic foundations of symplectic
geometry, starting from Darboux, Moser and Weinstein
theorems, symplectic reduction and moment maps, and
proceed to the work of Gromov on symplectic
capacities, non-squeezing and psedoholomorphic curves.
If time permits, I would give a proof of
Gromov's compactness theorem and non-degeneracy
of Hofer's metric on the group of Hamiltonian
symplectomorphisms.


1. Symplectic structures. Almost complex structures.
Obstructions to existence of symplectic structures.

2. Moser lemma, Darboux and Weistein theorem.
Normal neighbourhood theorems.

3. J-holomorphic curves. Gromov's compactness theorem
(without proof).

4. Hamiltonians, moment maps, symplectic quotients,
toric manifolds. Symplectic cut and the blow-up.

5. Gromov capacity and Gromov non-squeezing theorem.
Symplectic packing. Polterovich-McDuff theorem.

6 (*). Hamiltonian symplectomorphisms. Calabi homomorphism. 

7 (*). Hofer metric and Hofer-Zehnder capacity.

8 (*). Proof of Gromov's compactness theorem.

Students will need solid understanding of
calculus on manifolds (de Rham cohomology,
Cartan formula, diffeomorphism flows associated
with vector fields), basic Lie group theory
(how the Lie groups are related to the Lie
algebras) and basic algebraic topology
(ability to calculate and use de Rham
cohomology, de Rham cohomology with compact
support, Poincare duality.

Literature:

* Dusa McDuff, Dietmar Salamon, Introduction to symplectic topology

* Dusa McDuff,  Lectures on Symplectic Topology; a gentle
introduction to J-holomorphic curves, written in 1994
and published in the IAS/Park City proceedings
(http://www.math.sunysb.edu/~dusa/utahnotaug28.pdf;
Russian translation Элиашберг Я., Трейнор Л. (под редакцией),
Лекции по симплектической геометрии и топологии,
МЦНМО, 2008)

Homepage of the course
http://bogomolov-lab.ru/KURSY/Symplectic-2021/