Локально конформно кэлеровы многообразия спецкурс НМУ/ВШЭ, весна 2014 Локально конформно кэлеровы (LCK) многообразия суть многообразия, универсальное накрытие которых кэлерово, а группа монодромий действует гомотетиями. Это простейший пример некэлерова комплексного многообразия. В последние 10 лет теория LCK-многообразий развивается очень активно. Я изложу основные результаты теории LCK-многообразий в ее современном состоянии. 1. Определение и базовые свойства LCK-многообразий. Весовое расслоение и форма Ли. Теорема Вайсмана о некэлеровости LCK-многообразий: компактное LCK-многообразие с нетривиальным весовым расслоением не допускает кэлеровой структуры. 2. Контактные, сасакиевы и вайсмановы многообразия. Структурная теорема для вайсмановых многообразий. Регулярные, квазирегулярные, иррегулярные вайсмановы и сасакиевы структуры. Теорема об иммерсии вайсмановых многообразий в многообразие Хопфа. 3. Классификация некэлеровых поверхностей и классификация сасакиевых 3-многообразий (Бельгун). Поверхности Инуэ и многообразия Олеклауса-Тома. 4. LCK-многообразия с потенциалом и теорема о вложении LCK-многообразий с потенциалом: каждое LCK-многообразие с потенциалом (в частности, каждое вайсманово) вкладывается в многообразие Хопфа. Явные конструкции вайсмановых и LCK-метрик на многообразиях Хопфа. 5. Строго псевдовыпуклые CR-многообразия и сасакиева геометрия. 6. Когомологии Морса-Новикова и Ботта-Черна для LCK-многообразий. Деформационная устойчивость LCK-многообразий с потенциалом. 7. Группа автоморфизмов вайсманова многообразия. Существование потенциала и существование вайсмановой метрики на LCK-многообразиях с большими группами автоморфизмов. Студентам понадобится знание основ дифференциальной геометрии: кэлеровы метрики, связности, когомологии, векторные расслоения, кривизна риманова многообразия, почти комплексные и симплектические структуры, локальные системы. Понимания содержания осеннего курса "Дифференциальная геометрия и векторные расслоения" должно быть достаточно. 1. Definition and basic properties of LCK-manifolds. Weight bundle and the Lee form. Vaisman's theorem on non-Kaehlerianity of LCK-manifold: a compact LCK-manifold with non-trivial weight bundle does not admit a Kaehler metric. 2. Contact, Sasakian and Vaisman manifolds. Structure theorem for Vaisman manifolds. Regular, quasiregular, irregular Vaisman and Sasakian structures. Immersion theorem for Vaisman manifolds. 3. Classification of non-K\"ahler complex surfaces, and classification of Sasakian 3-manifolds (Belgun). Inoue surfaces and Oeljeklaus-Toma manifolds. 4. LCK-manifolds with potential. Embedding theorem for LCK-manifolds with potential: any LCK manifold with potential (in particular, any Vaisman manifold) can be embedded to a linear Hopf manifold. Explicit constructions of Vaisman and LCK-metrics on Hopf manifolds. 5. Strictly pseudoconvex CR-structures and Sasakian geometry. 6. Morse-Novikov and Bott-Chern cohomology for LCK-manifolds. Deformation stability of LCK-manifolds with potential. 7. Group of automorphisms of Vaisman manifolds. Existence of potential and Vaisman metrics on LCK-manifolds with big automorphism groups. Literature. F. A. Belgun, On the metric structure of non-Kahler complex surfaces, Math. Ann., 317 (2000), 1--40. C.P. Boyer, K. Galicki, Sasakian geometry, Oxford mathematical monographs, Oxford Univ. Press, 2006 S. Dragomir and L. Ornea, Locally conformal Kahler geometry, Progress in Math. 155, Birkhauser, Boston, Basel, 1998. P. Gauduchon and L. Ornea, Locally conformally Kahler metrics on Hopf surfaces, Ann. Inst. Fourier 48 (1998), 1107--1127. H. Grauert, R. Remmert, Theory of Stein spaces, Springer-Verlag 2004. K. Oeljeklaus, M. Toma, Non-Kahler compact complex manifolds associated to number fields, Ann. Inst. Fourier 55 (2005), 1291--1300. Liviu Ornea, Misha Verbitsky Locally conformally Kahler metrics obtained from pseudoconvex shells http://arxiv.org/abs/1210.2080 12 pages Liviu Ornea, Misha Verbitsky, Victor Vuletescu Blow-ups of locally conformally Kahler manifolds http://arxiv.org/abs/1108.4885 14 pages Liviu Ornea, Misha Verbitsky Oeljeklaus-Toma manifolds admitting no complex subvarieties http://arxiv.org/abs/1009.1101 Math. Res. Lett. 18 (2011), no. 04, 747-754 Liviu Ornea, Misha Verbitsky Locally conformally Kahler manifolds admitting a holomorphic conformal flow http://arxiv.org/abs/1004.4645 Mathematische Zeitschrift, Volume 273, Issue 3 (2013), Page 605-611 Liviu Ornea, Misha Verbitsky Automorphisms of locally conformally Kahler manifolds http://arxiv.org/abs/0906.2836 Int. Math. Res. Not. 2012, no. 4, 894-903 Liviu Ornea, Misha Verbitsky Topology of locally conformally Kahler manifolds with potential http://arxiv.org/abs/0904.3362 Int. Math. Res. Not. 2010, No. 4, 717-726 (2010) Liviu Ornea, Misha Verbitsky Morse-Novikov cohomology of locally conformally Kahler manifolds http://arxiv.org/abs/0712.0107 J. Geom. Phys. 59 (2009), no. 3, 295--305. Liviu Ornea, Misha Verbitsky Embeddings of compact Sasakian manifolds http://arxiv.org/abs/math/0609617 Math. Res. Lett. 14 (2007), no. 4, 703--710 Liviu Ornea, Misha Verbitsky Sasakian structures on CR-manifolds http://arxiv.org/abs/math/0606136 Geom. Dedicata 125 (2007), 159--173. Liviu Ornea, Misha Verbitsky Locally conformally Kaehler manifolds with potential http://arxiv.org/abs/math/0407231 Mathematische Annalen, Vol. 248 (1), 2010, pp. 25-33 Liviu Ornea, Misha Verbitsky Immersion theorem for Vaisman manifolds http://arxiv.org/abs/math/0306077 Math. Ann. 332 (2005), no. 1, 121--143 Liviu Ornea, Misha Verbitsky Structure theorem for compact Vaisman manifolds http://arxiv.org/abs/math/0305259 Math. Res. Lett, 10(2003), no. 5-6, 799-805 I. Vaisman, Remarkable operators and commutation formulas on locally conformal Kahler manifolds, Compositio Math, 40 (1980), 227--259. Misha Verbitsky, Vanishing theorems for locally conformal hyperkaehler manifolds http://arxiv.org/abs/math/0302219 Proc. of Steklov Institute, vol. 246, 2004, pp. 54-79